浙教版九年级数学同步训练：二次函数与几何结合压轴题（Ⅱ）（原卷版）

第11讲中考热点04二次函数与几何结合压轴题(II)

目录：题型一：最值问题；题型二：存在性问题；题型三：特殊四边形问题；题型四：相似三角形问题；

五、其他问题

一、解答题

题型一：最值问题

1.(2022•浙江湖州•统考中考真题)如图1,已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的

正方形，其中顶点A,C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线＞=-/+法+。经过A,C两点，

图2

②求b,c的值.

(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP,过点P作PMLAP,交y轴于点M(如图2所示).当点P在

BC上运动时，点M也随之运动.设BP=m,CM=n,试用含m的代数式表示n,并求出n的最大值.

2.(2023•浙江嘉兴•统考一模)“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离.现在我们定

义一种新的距离：已知P(a,b),Q(c,d)是平面直角坐标系内的两点，我们将称作P,Q

间的“L型距离”，记作L(P,Q),^L(P,Q)=\a-c\+\b-d\.

已知二次函数％的图像经过平面直角坐标系内的A,B,C三点，其中A,B两点的坐标为A(-1,0),

B(0,3),点C在直线x=2上运动，且满足L(3,C)WBC.

⑴求L(A,B)；

(2)求抛物线8的表达式;

(3)已知%=2及+1是该坐标系内的一个一次函数.

①若D,E是%=2代+1图像上的两个动点，且DE=5,求,.CDE面积的最大值;

②当fWxWf+3时，若函数＞=%+%的最大值与最小值之和为8,求实数t的值.

3.(2022・浙江丽水.统考二模)如图，已知抛物线y=o?+6x+c(a/))的对称轴为直线x=-l,且抛物

线经过A(1,0)，C(0,3)两点，与x轴交于点B.

⑴若直线y=mx+n经过B,C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使MA+MC的值最小，求点M的坐标；

(3)设P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.

4.(2022・浙江丽水•统考一模)如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A,D,C三点，已知点A(4,0),点

C(0,4).若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG:GB=3:1.

(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；

(2)若线段OA,OC上分别存在点E,F,使EFLFG.

已知OE=m,OF=t.

①当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？

②若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称.问是否存在3使点Q恰好落在抛物

线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由.

5.(2022•浙江温州・二模)如图，对称轴为x=-1的抛物线y=ax?+bx+c(a^O)与x轴相交于A,B两点,

其中点A的坐标为(-3,0).

(1)求点B的坐标.

⑵已知a=l,C为抛物线与y轴的交点.

①求抛物线的解析式.

②若点P在抛物线上，且S=4S,求点P的坐标.

③设点Q是线段AC上的动点，作QDLx轴交抛物线于点D,请直接写出线段QD长度的最大值和对应的

点Q的坐标.

6.(2021•浙江湖州•统考模拟预测)在平面直角坐标系中，0c与x轴交于点A,B,且点B的坐标为(8,

0),与y轴相切于点D(0,4),过点A,B,D的抛物线的顶点为E.

备用图

(1)求圆心C的坐标与抛物线的解析式；

(2)判断直线AE与。C的位置关系，并说明理由；

(3)若点M,N是直线y轴上的两个动点(点M在点N的上方)，且MN=1,请直接写出的四边形EAMN

周长的最小值.

题型二：存在性问题

7.(2022•浙江金华•校联考一模)如图，把两个全等的的一和RJCOZ)分别置于平面直角坐标系中，使

直角边OB、OD在x轴上.已知点A(2.4),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F,抛物线y=aY+6x+c

经过0、A、C三点.

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求G到直线OC的最大距离和此时点G的坐

标；

(3)点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样

的点P,使得四边形ABPM的边AM与边BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理

由.

8.(2021•浙江台州•校考一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A,B,其中点A(-1,0),交

3

y轴于点C(0,2),对称轴父X轴于点M(万，0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)作点C关于点M的对称点D,顺次连接A,C,B,D,判断四边形ACBD的形状，并说明理由；

(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点P,使仆BMP与4BAD相似？若存在，求出所有满足条件的P点的坐

标；若不存在，请说明理由.

9.(2023•浙江金华•统考中考真题)如图，直线>=或尤+遥与x轴，，轴分别交于点A,8,抛物线的顶点

2

P在直线A3上，与无轴的交点为C,。，其中点C的坐标为(2,0).直线3C与直线PD相交于点E.

(1)如图2,若抛物线经过原点0.

①求该抛物线的函数表达式；②求能RF的值.

(2)连接PCNCPE与能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明理由.

10.(2020・浙江•统考中考真题)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c(c>0)的顶点

为D,与y轴的交点为C.过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延

长线上，连结OA,OB,DA和DB.

(D如图1,当AC〃x轴时，

①已知点A的坐标是(-2,1),求抛物线的解析式；

②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2=4c.

(2汝口图2,若b=-2,除=之,是否存在这样的点A,使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A

的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

11.(2019•浙江・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在x

轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点.点P为抛物线

y=-（无一⑼2+%+2的顶点.

(1)当机=0时，求该抛物线下方(包括边界)的好点个数.

(2)当机=3时，求该抛物线上的好点坐标.

(3)若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点，求m的取值范围.

12.(2023•浙江宁波•校考一模)如图，抛物线y=o?_8办+12a(a<0)与x轴交于A,B两点(点A在点

B的左侧)，抛物线上另有一点C在第一象限，满足NACB为直角，且使

(1)求线段OC的长；

(2)求该抛物线的函数关系式；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条

件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

13.(2023•浙江杭州•模拟预测)如图1,抛物线y=gx2+bx+c(c<o)与x轴交于A,B两点(点A在点

B的左侧)，与y轴交于点C,过点C作CD〃龙轴，与抛物线交于另一点D,直线与AD相交于点M.

(1)已知点C的坐标是(0,-4),点B的坐标是(4,0),求此抛物线的解析式；

(2)若》=3。+1,求证：AD.LBC-,

(3)如图2,设第(1)题中抛物线的对称轴与x轴交于点G,点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点

P的横坐标为3点Q是直线BC上一点，是否存在这样的点P,使得是以点G为直角顶点的直角三

角形，且满足NGQP=/OC4,若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由.

14.(2022.浙江丽水•校联考三模)定义：对于抛物线y="2+6x+c(〃-4ac>0),把它在x轴下方的部分

图形作关于无轴的轴对称图形，所得的图形称为y=ax2+bx+c的“W型曲线”.如图为>=小2-以+2的“亚

型曲线”，与x轴的交点为A,B,与>轴的交点为C,与对称轴的交点为P,有CP〃x轴.

J'

（1）求加的值.

（2）若直线y=x+〃与y=〃优°-4x+2的“W型曲线”有且只有三个公共点,求”的值.

（3）在y=,加-4x+2的“W型曲线”是否存在点Q,使得tan/POQ=g,若存在，求点。的横坐标；若不存

在，说明理由.

15.（2019•浙江杭州•模拟预测）如图，已知抛物线y=加+扇+c经过A（0,4）,B（4,0）,C（-l,0）三点.过

点A作垂直于y轴的直线/.在抛物线上有一动点尸，过点尸作直线尸。平行于y轴交直线/于点。.连接”.

（1）求抛物线〉=ad+6x+c的解析式；

（2）是否存在点P,使得以AA。三点构成的三角形与一AOC相似.如果存在，请求出点尸的坐标，若不

存在，请说明理由

（3）当点尸位于抛物线y=a/+bx+c的对称轴的右侧.若将△APQ沿AP对折，点。的对应点为点求

当点/落在坐标轴上时直线AP的解析式.

16.（2020•浙江杭州•统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、

B两点，与y轴交于点C,对称轴为直线x=2,点A的坐标为（1,0）.

（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC.当/PCB=/ACB时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D,点P的

对应点为点Q,当OD_LDQ时，求抛物线平移的距离.

(备用图)

题型三：特殊四边形问题

17.(2022・浙江绍兴•模拟预测)如图，抛物线过点A(0,1)和C,顶点为D,直线AC与抛物线的对称

轴BD的交点为B(6，0),平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E,与直线AC交于点F,点F的横坐

标为生8,四边形BDEF为平行四边形.

3

(1)求点F的坐标及抛物线的解析式；

(2)若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当APAB面积最大时，求点P的坐标及APAB面积的

最大值；

(3)在抛物线的对称轴上取一点Q,同时在抛物线上取一点R,使以AC为一边且以A,C,Q,R为顶点

的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标.

18.(2019・浙江绍兴•统考模拟预测)如图1,抛物线,=狈2+法+4过4(2,0)、8(4,0)两点，交V轴于点C,

过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为连接AC、8c.点P是该抛物线上一动点，设点尸的

横坐标为m(m>4).

(1)求该抛物线的表达式和-ACB的正切值；

(2)如图2,若ZACP=45。，求用的值；

(3)如图3,过点A、尸的直线与y轴于点N,过点尸作尸MLCD,垂足为直线与x轴交于点Q,

试判断四边形A。"。的形状，并说明理由.

19.（2019•浙江宁波・统考模拟预测）矩形对角线的四等分点叫做矩形的奇特点.如图，在平面直角坐标系

中，点A,B为抛物线y=Y上的两个动点（A在5的左侧），且48〃x轴，以A3为边画矩形ASCD,原

点。在边8上.

（1）如图1,当矩形A3CD为正方形时，求该矩形在第一象限内的奇特点的坐标.

图1

（2）如图2,在点A,8的运动过程中，连结AC交抛物线于点E.

①求证：点E为矩形的奇特点；

②连结BE,若抛物线上的点尸为矩形的另一奇特点，求经过A,E,尸三点的圆的半径.

图2

20.（2017•浙江金华•统考一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数丫=2*2+6*+。的图象经过点A（-1,

0）,B（0,-指），C（2,0）,其对称轴与x轴交于点D

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD,求JPB+PD的最小值；

(3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个;

②连接MA,MB,若/AMB不小于60。，求t的取值范围.

题型四：相似三角形问题

21.(2022•浙江嘉兴•校考一模)如图，抛物线y=-；x2+bx+c与x轴交于点A(-2,0)和点B(8,0),

与y轴交于点C,顶点为D,连接AC,BC,BC与抛物线的对称轴1交于点E.

(1)求抛物线的表达式；

7

(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB,PC,当SAPBC=疝SAABC时，求点P的坐标；

(3)点N是对称轴1右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M,使得以点M,N,E为顶点的三角形

与AOBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.

22.(2021•浙江金华・统考一模)如图1,抛物线y=ax2-6ax+6(a^O)与x轴交于点A(8,0),与y轴

交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<8),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于

点P,过点P作PMLAB于点M.

图1图2

(1)求抛物线的函数表达式；

3

(2)当APMN的周长是AAOB周长的《时，求m的值；

(3)如图2,在(2)的条件下，将线段OE绕点。逆时针旋转得到OE，，旋转角为30。，连接E，A、EB,在

平面直角坐标系内找一点Q,使△AOE's/^BOQ,并求出点Q的坐标.

23.(2020・浙江金华・统考一模)如图，己知抛物线y=-1x2+bx+c的图象经过点A(-1,0)和点C(0,2),

点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线1交

抛物线于点Q,交直线BD于点M.

(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式.

(2)已知点F(0,；),当点P在x轴正半轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与ABOD相似？若存

在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

24.(2019•浙江•校联考三模)如图，B(2m,0)、C(3m,0)是平面直角坐标系中两点，其中m为常数,

且m>0,E(0,n)为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD,使AB=2BC,画射线OA,

把AADC绕点C逆时针旋转90。得AADC,连接ED，，抛物线y=ax2+bx+n(a#))过E、A，两点.

(1)填空：ZAOB=°,用m表示点A，的坐标：N；

BP1

(2)当抛物线的顶点为A1抛物线与线段AB交于点P,且不时，与^ABC是否相似？说明

AP3

理由；

(3)若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为M,过M作MN垂直y轴，垂足为N：

①求a、b、m满足的关系式；

②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为5,请你探究a的取值范围.

图1备用图

25.（2020・浙江•模拟预测）我们定义：如图1,在」与△AB'C'中，两三角形有公共顶点A,AB所在

射线逆时针旋转a到AC所在射线，A"所在射线逆时针旋转尸到AC所在射线，

NBAC=a,ABAC=/3,a+fi=180°,—二=--,则我们称与AAB'C互为“旋补比例三角形”.

ABAC

(1)如图1,ABC与△AB'C互为旋补比例三角形,N54C=60°,AB=6,AC=3,A3'=2时,

SVAB'c'_

①ZBNC

SvABC

（2）如图2,在一ABC中，AD1BC于点。，DB4与4c互为旋补比例三角形，延长CB至点E,使

EB=BD,连结AE,求证：-与V3C4互为旋补比例三角形；

（3）如图3,在。中，ZAOB=135°,点A在x轴的正半轴上，0A=2,点8在第二象限，08=20，

抛物线>=-：/+法+。经过点8,与>轴交点为（0,5）,△。尸Q（点。尸,。按逆时针排列）与，QW互为旋

4

补比例三角形，点尸在抛物线的对称轴上运动，当点A民P构成的三角形是以A3为腰的等腰三角形时，求

点Q的坐标.

题型五：其他问题

26.（2023•浙江金华・统考二模）定义：若n为常数,当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称

该点为这个函数图象关于n的“恒值点”，例如：点（1,2）是函数y=2无图象关于3的“恒值点”.

mi图2

（1）判断点（1,3）,（2,8）,（3,7）是否为函数y=5x-2图象关于10的“恒值点”.

（2）如图1,抛物线y=2/+6x+2与x轴交于A,B两点（A在B的左侧），现将抛物线在x轴下方的部分

沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示.

①求翻折后A,B之间的抛物线解析式.（用含b的代数式表示，不必写出x的取值范围）

②当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c.

27.（2021•浙江嘉兴•统考二模）定义：平面直角坐标系xOv中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为

该二次函数的坐标圆.

（1）已知点P（2,2）,以P为圆心，石为半径作圆.请判断。尸是不是二次函数y=f-4x+3的坐标圆，

并说明理由；

（2）已知二次函数y=/-4x+4图象的顶点为A,坐标圆的圆心为尸，如图1,求11PQ4周长的最小值；

（3）已知二次函数丁=依2-4%+4（0＜。＜1）图象交x轴于点A,B,交，轴于点C,与坐标圆的第四个交

点为。，连结尸C,PD,如图2.若NCP£＞=120。，求。的值.

28.(2022•浙江金华•校联考模拟预测)定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y