《5.3.4导数在研究函数中的应用-生活中的优化问题》学案

高中数学精编资源2/2§5.3.4导数在研究函数中的应用—生活中的优化问题举例目标要求1、理解生活中的优化问题．2、掌握用导数解决生活中的优化问题的方法和步骤.3、能利用导数解决与函数有关的综合问题．学科素养目标通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．重点难点重点：用导数解决生活中的优化问题的方法和步骤；难点：利用导数解决与函数有关的综合问题．教学过程基础知识积累1.函数的最大值与最小值前提在函数定义域I内存在x0条件对任意的x∈I，总有f(x)_______f(x0)对任意的x∈I，总有f(x)_______f(x0)结论f(x0)为最大值f(x0)为最小值【友情提醒注意】函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是定义域内所有函数值中的最大者，最小值必须是定义域内所有函数值中的最小者．2.求f(x)在[a，b]上的最值的两个步骤第一步：求f(x)在(a，b)上的________；第二步：将第一步中求得的极值与______________比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．【友情提醒注意】最值不一定是极值，极值也不一定是最值．【课前预习思考】结合图形观察y＝f(x)在[a，b]上的最值可能出现在哪里．【课堂题组训练】类型一平面几何中的最值问题(数学建模、数学运算)【典例】题1.如图所示，半径为2的⊙M切直线AB于点O，射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB，旋转过程中，OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PnO的面积为S＝f(x)，那么f(x)的图象是如图中的()题2．将边长为1m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝eq\f(（梯形的周长）2,梯形的面积)，则S的最小值是()A．eq\f(32\r(3),3)B．eq\f(16\r(3),3)C．eq\f(8\r(3),3)D．eq\f(4\r(3),3)题3．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________.题4.如图是一块地皮OAB，其中OA，AB是直线段，曲线段OB是抛物线的一部分，且点O是该抛物线的顶点，OA所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量，OA＝2km，AB＝eq\r(2)km，∠OAB＝eq\f(π,4).现要从这块地皮中划一个矩形CDEF来建造草坪，其中点C在曲线段OB上，点D，E在直线段OA上，点F在直线段AB上，设CD＝akm，矩形草坪CDEF的面积为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))km2.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))，并写出定义域．(2)当a为多少时，矩形草坪CDEF的面积最大？类型二立体几何中的最值问题(数学运算、直观想象)【典例】题5.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．题6.如图所示的某种容器的体积为90πcm3，它是由圆锥和圆柱两部分组合而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为rcm.圆锥的高为h1cm，母线与底面所成的角为45°；圆柱的高为h2cm.已知圆柱底面造价为2a元/cm2，圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为eq\r(2)a元/cm2.(1)将圆柱的高h2表示为底面圆半径r的函数，并求出定义域．(2)当容器造价最低时圆柱的底面圆半径r为多少？类型三实际生活中的最值问题(数学建模)角度1用料最省、费用最少问题【典例】题7.某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A．900元B．840元C．818元D．816元题8.某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为8元，则箱子的最低总造价为多少？题9．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．角度2利润最大问题【典例】题10.树人中学2019级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该商品一个阶段的调研得知，发现该商品每日的销售量g(x)(单位：百件)与销售价格x(元/件)近似满足关系式g(x)＝eq\f(a,x－2)＋2(x－5)2，其中2<x<5，a为常数．已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品10百件．(1)求函数g(x)的解析式．(2)若该商品A的成本为2元/件，根据调研结果请你试确定该商品销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润(单位：百元)最大．题11．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为()A．eq\f(a,b)B．eq\f(a2,b)C．eq\f(b,a)D．eq\f(b2,a)题12.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)，经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝eq\f(1,40)a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－eq\f(1,800)b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米．(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF.且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价eq\f(3,2)k(万元)(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？【课堂检测达标】题13．有一长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为()A．4m2B．8m2C．12m2D．16m2题14．一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))(0<x<60)，则当箱子的容积最大时，x的值为()A．30B．40C．50