《5.3.2导数在研究函数中的应用-极大值与极小值》学案

高中数学精编资源2/2§5.3.2导数在研究函数中的应用—极大值与极小值目标要求1、通过实例分析，了解函数的极值及相关的概念．2、能利用导数求某些函数的极值．3、体会导数在求极值中的应用.4、能利用导数研究函数极值等相关的问题．学科素养目标通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．重点难点重点：体会导数在求极值中的应用；难点：能利用导数研究函数极值等相关的问题．教学过程基础知识积累极大值（1）特征：函数在点的附近有意义，且函数图象在点处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减）.（2）实质：，且在点附近的左侧_______________，右侧______________.（3）极大值为___________.【友情提醒注意】极大值是个局部的概念，是函数在某点处的值与其附近左右两侧的函数值比较的结果．2．极小值（1）特征：函数在点的附近有意义，且函数图象在点处从左侧到右侧由“下降”变为“上升”（函数由单调递减变为单调递增）.（2）实质：，且在点附近的左侧_____________，右侧_____________.（3）极小值为_____________.【友情提醒注意】函数的极值不是惟一的，极大值与极小值之间无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值．3．极值点、极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为___________．(2)极小值、极大值统称为____________．【课前预习思考】(1)导数值为0的点一定是函数的极值点吗？(2)极值刻画的是函数的整体性质还是局部性质？【课前小题演练】题1．（多选）下列说法正确的是()A.一个函数在一个区间的端点不能取得极值．B.一个函数在给定的区间上一定有极值．C.函数极大值一定比极小值大．D.极值刻画的是函数的局部性质．题2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点题3．函数f(x)＝x＋2cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的极大值点为()A．0B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)【课堂题组训练】类型一求函数的极值(点)(数学抽象、数学运算)题4．函数y＝2－x2－x3的极值情况是()A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值C．既无极大值也无极小值D．既有极大值又有极小值题5．(多选题)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是()A．－3是f(x)的一个极小值点B．－2和－1都是f(x)的极大值点C．f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞)D．f(x)的单调递减区间是(－∞，－3)题6．(多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是()A．y＝x3 B．y＝x2＋1C．y＝|x| D．y＝2x题7.当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9x题8．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．类型二求含参数的函数的极值(数学抽象、数学运算)【典例】题9.设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0).(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．题10．若函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，求函数f(x)的极值．题11．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)(a＋2)x2＋2ax＋eq\f(1,3)(a∈R).(1)若函数f(x)在x＝2处取得极小值1，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．类型三函数极值的综合应用(数学运算、逻辑推理)角度1已知极值点求参数值【典例】题12.若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________．题13.若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，试求f(x)的极大值．角度2与参数相关的极值问题【典例】题14.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是____．题15．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________．题16．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．【课堂检测达标】题17．函数f(x)＝eq\f(x4,4)－eq\f(x3,3)的极值点为()A．0B．－1C．0或1D．1题18．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列说法正确的是()A．x＝a是函数y＝f(x)的极小值点B．当x＝－a或x＝b时，函数f(x)的值为0C．函数y＝f(x)关于点(0，c)对称D．函数y＝f(x)在(b，＋∞)上单调递增题19．设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C