《 备考指南 数学 》课件-第10章 第1讲

第十章第1讲[A级基础达标]1．(2021年咸阳二模)某校有男教师150人，女教师200人，为了了解该校教师的健康情况，从中随机抽取男教师15人、女教师20人进行调查，这种抽样方法是()A．简单随机抽样法 B．抽签法C．随机数表法 D．分层随机抽样法【答案】D2．下列抽样试验中，适合用抽签法的是()A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验【答案】B3．(2021年榆林模拟)某班60名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将60名同学按01,02，…，60进行编号，然后从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为()0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676(注：表中的数据为随机数表的第一行和第二行)A．24 B．36C．46 D．47【答案】C4．(2021年广州综合测试)某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4，为检验该公司的产品质量，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝()A．96 B．72C．48 D．36【答案】B5．(2021年广东三校联考)在中国共产党建党100周年之际，某外国语学校组织了“党史知识竞赛”活动，已知该外国语学校共有高中生2700名，用分层随机抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人，则该校高一年级学生人数为()A．1680 B．1020C．960 D．720【答案】C6．(2021年常德期末)(多选)某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2∶5∶3，现用分层随机抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，则()A．此样本量n为20B．此样本量n为80C．样本中B型号产品有40件D．样本中B型号产品有24件【答案】BC【解析】工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2∶5∶3，现用分层随机抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，设样本为n，则n＝16÷eq\f(2k,2k＋5k＋3k)＝80，故A错误，B正确；样本中B型号产品有80×eq\f(5k,2k＋5k＋3k)＝40件，故C正确，D错误．故选BC．7．(多选)港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径．某旅行社统计了大桥建成以后，由该大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为5∶2∶3，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，则()A．老年旅客抽到100人B．中年旅客抽到20人C．n＝200D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200【答案】AC【解析】由题意知，由大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为5∶2∶3，若青年旅客抽到60人，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，所以eq\f(60,n)＝eq\f(3,5＋2＋3)，解得n＝200人，则老年旅客抽到60×eq\f(5,3)＝100人，中年旅客抽到40人．8．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果学号为1号到30号的同学的平均成绩为90分，那么学号为31号到50号的同学的平均成绩为________分．【答案】95【解析】设所求平均成绩为eq\x\to(x)分，由题意知50×92＝30×90＋20×eq\x\to(x)，解得eq\x\to(x)＝95.9．一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________；第三次抽取时，剩余小球中的某一特定小球被抽到的可能性是________．【答案】eq\f(1,2)eq\f(1,4)【解析】因为简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性为eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，所以某一特定小球被抽到的可能性是eq\f(1,2)；因为此抽样是不放回抽样，所以第一次抽样时，每个小球被抽到的可能性均为eq\f(1,6)；第二次抽取时，剩余5个小球中每个小球被抽到的可能性均为eq\f(1,5)；第三次抽取时，剩余4个小球中每个小球被抽到的可能性均为eq\f(1,4).10．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，每个职工只能参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%；登山组的职工占参加活动总人数的eq\f(1,4)，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本，试求：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解：(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，则有eq\f(x·40%＋3xb,4x)＝47.5%，eq\f(x·10%＋3xc,4x)＝10%，解得b＝50%，c＝10%.故a＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占的比例为40%,50%,10%.(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×eq\f(3,4)×40%＝60；抽取的中年人人数为200×eq\f(3,4)×50%＝75；抽取的老年人人数为200×eq\f(3,4)×10%＝15.[B级能力提升]11．(2021年锡林郭勒盟二模)青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．已知某校有小学生3600人，有初中生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层随机抽样的方法从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是()A．24 B．48C．72 D．96【答案】A【解析】由题意得抽样比为eq\f(120,3600＋2400)＝eq\f(1,50)，所以小学生应抽取的人数为3600×eq\f(1,50)＝72，初中生应抽取的人数为2400×eq\f(1,50)＝48，所以小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是72－48＝24.故选A．12．(2021年南昌二模)从编号依次为01,02，…，20的20人中选取5人，现从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，由左向右依次选取两个数字，则第五个编号为()53083395550262152702436932181826099478465887352224683748168595271413872714955656A．09 B．02C．15 D．18【答案】A【解析】从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，依次读取：08,33(舍)，95(舍)，55(舍)，02,62(舍)，15,27(舍)，02(舍)，43(舍)，69(舍)，32(舍)，18,18(舍)，26(舍)，09，则第五个编号为09.故选A．13．(多选)在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00,01,02，…，99，用抽签法抽取20个；方法2：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．对于上述问题，下列说法正确的是()A．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是eq\f(1,5)B．采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同C．在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征D．在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征【答案】AC【解析】根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是eq\f(n,N)，故A正确，B错误；由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故方法2抽到的样本更有代表性，C正确，D错误，故AC正确．14．(2021年南京十三中月考)(多选)某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1～1000的1000名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否经常吸烟？按调查者从设计好的随机装置(内有除颜色外完全相同的白球50个、红球50个)中摸出一个小球(摸完放回)；摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌地给出真实的答案，最后统计得出，这1000人中，共有260人回答“是”，则下列表述正确的是()A．估计被调查者中的有510人吸烟B．估计约有10人对问题2的回答为“是”C．估计该地区约有2%的中学生吸烟D．估计该地区约有1%的中学生吸烟【答案】BC【解析】随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是eq\f(1,2)，其编号是奇数的概率也是eq\f(1,2)，所以回答问题1且回答“是”的学生人数为1000×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝250，回答问题2且回答“是”的学生人数为260－250＝10，由此可估计该地区中学生吸烟人数的百分比为eq\f(10,500)＝2%，估计被调查者中吸烟的人数为1000×2%＝20.故选BC．15．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两个年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则(1)高一、高二抽取的样本量分别为________；(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为________．【答案】(1)90,70(2)84.375【解析】(1)由题意可得高一年级抽取的样本量为eq\f(160,450＋350)×450＝90，高二年级抽取的样本量为eq\f(160,450＋350)×350＝70.(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为eq\x\to(ω)＝eq\f(90,90＋70)×80＋eq\f(70,90＋70)×90＝84.375(分)．16．为了节约用水，制定阶梯水价，同时又不加重居民生活负担，某市物价部门在8月份调查了本市某小区300户居民中的50户居民，得到如下数据：用水量(单位：m3)181920212223242526频数24461210822物价部门制定的阶梯水价实施方案为月用水量水价(单位：元/m3)不超过21m33超过21m3的部分4.5(1)计算这50户居民的用水的平均数；(2)写出水价的函数关系式，并计算用水量为28m3时的水费；(3)物价部门制定的水价合理吗？为什么？解：(1)eq\x\to(y)＝eq\f(1,50)×(18×2＋19×4＋20×4＋21×6＋22×12＋23×10＋24×8＋25×2＋26×2)＝22.12(m3)．(2)设月用水量为xm3.则水价为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，0≤x≤21，,4.5x－31.5，x>21，))当x＝28时，f(28)＝4.5×28－31.5＝94.5(元)．(3)不合理，从时间上看，物价部门是在8月份调查的居民用水量，而这个月，该市的居民用水量普遍偏高，不能代表居民全年的月用水量，从居民比例上看，仅仅有16户居民，即32%的居民月用水量没有超过21m3，加重了大部分居民的负担．[C级创新突破]17．(2021年太原一模)某公司初级、中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q的等比数列，现采用分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为10，则被抽取的初级职工的人数为________．【答案】90【解析】根据题意知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝10，,a11＋q＋q2＝130，))消去a1，解得q＝eq\f(1,3)，或q＝－eq\f(1,4)(不合题意，舍去)，当q＝eq\f(1,3)时，a1＝90，即被抽取的初级职工的人数为90.18．(2021年延边州一模)某地准备修建一条新的地铁线路，为了调查市民对沿线地铁站配置方案的满意度，现对居民按年龄(单位：岁)进行问