《 备考指南 数学 》课件-第8章 第4讲

立体几何与空间向量第八章第4讲直线、平面垂直的判定与性质课标要求考情概览1．能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形中垂直关系的简单命题考向预测：从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容．预测本年度将会以以下两种方式进行考查：①以几何体为载体考查线面垂直的判定和性质；②利用直线与平面垂直的性质证明线线垂直或面面垂直．试题以解答题第一问直接考查，难度不大，属中档题型．学科素养：主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏02重难突破

能力提升03配套训练基础整合自测纠偏11．直线与平面垂直(1)定义：直线l与平面α内的______一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．任意(2)判定定理与性质定理相交a，b⊂α

a∩b＝O

l⊥a

l⊥b

平行a⊥α

b⊥α

2．直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的______所成的______叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)线面角θ的范围：________.射影锐角3．平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的__________所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱______的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．③二面角α的范围：________.两个半平面垂直[0，π]

(2)判定定理与性质定理l⊥α

l⊂β

α∩β＝a

【特别提醒】1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．【常用结论】直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．1．(教材改编)PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是 (

)A．PA⊥BC

B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB

D．PC⊥BC【答案】C2．(2021年淄博期末)在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有

(

)A．平面ABD⊥平面ADCB．平面ABD⊥平面ABC

C．平面ADC⊥平面BCDD．平面ABC⊥平面BCD【答案】C3．(2021年广州月考)(多选)如图，在三棱锥A－BCD中，CD⊥BC，AB⊥BD，平面ABC⊥平面BCD，则下列判断中正确的有 (

)A．CD⊥AC

B．AB⊥平面BCD

C．AD⊥BC

D．图中恰有三对平面互相垂直【答案】ABD4．(教材改编)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________.5．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．【答案】AB，BC，AC

AB1．两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面α的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.2．两平面垂直的判定(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一个平面的垂线．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α. (

)(2)垂直于同一个平面的两平面平行． (

)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．

(

)(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β. (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×重难突破能力提升2

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为D1D的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥AP.证明：如图，易证AB1＝CB1．又因为O为AC的中点，所以B1O⊥AC.直线与平面垂直的判定与性质在矩形BDD1B1中，O，P分别为BD，D1D的中点．易证△POD∽△OB1B，所以∠POD＝∠OB1B.所以B1O⊥PO.又AC∩PO＝O，且AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，所以B1O⊥平面PAC.又AP⊂平面PAC，所以B1O⊥AP.【解题技巧】1．证明直线和平面垂直的常用方法(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质．2．证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．【变式精练】1．(2021年成都期末)如图1，在矩形ABCD中，E，F在边CD上，BC＝CE＝EF＝FD.沿BE，AF将△CBE和△DAF折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，如图2．(1)试判断图2中直线CD与AB的位置关系，并说明理由；(2)若平面DFA∩平面CEB＝l，证明：l⊥平面ABEF.证明：(1)CD∥AB.理由如下：如图所示，连接CD，分别取AF，BE的中点M，N，连接DM，CN，MN，由题干图1可得，△ADF与△BCE都是等腰直角三角形且全等，则DM⊥AF，CN⊥BE，DM＝CN.因为平面ADF⊥平面ABEF，交线为AF，DM⊂平面ADF，DM⊥AF，所以DM⊥平面ABEF.同理得，CN⊥平面ABEF，所以DM∥CN.又因为DM＝CN，所以四边形CDMN为平行四边形，所以CD∥MN.因为M，N分别是AF，BE的中点，所以MN∥AB.所以CD∥AB.(2)证明：由第(1)问可知，DM∥CN，DM⊂平面DFA，CN⊄平面DFA，所以CN∥平面DFA，因为CN⊂平面CEB，平面DFA∩平面CEB＝l，所以CN∥l，因为DM∥CN，所以DM∥l，由(1)问有DM⊥平面ABEF，所以l⊥平面ABEF.

(2021年北京模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3，PC＝CD＝2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．求证：(1)AD∥平面PCB；(2)平面PDE⊥平面PAC.平面与平面垂直的判定与性质证明：(1)直角梯形ABCD中，∠ADC＝∠DCB＝90°，可得AD∥BC，又AD⊄平面PCB，BC⊂平面PCB，所以AD∥平面PCB；所以∠CDE＋∠DCA＝90°，即DE⊥AC，因为PC⊥底面ABCD，DE⊂平面ABCD，所以PC⊥DE，又PC∩AC＝C，所以DE⊥平面PAC，因为DE⊂平面PDE，所以平面PDE⊥平面PAC.【解题技巧】证明面面垂直的2种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．(1)证明：因为AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，AB＝AD＝1，E为CD的中点，所以四边形ABED是边长为1的正方形，且BE＝EC.如图，取AE的中点M，连接PM，BM，CM，

(2021年甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1．(1)求三棱锥F－EBC的体积；(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.平行、垂直关系的综合应用(2)证明：如图，取BC的中点为G，连接EG，B1G，设B1G∩BF＝H，因为点E是AC的中点，点G是BC的中点，所以EG∥AB，所以EG∥AB∥B