中考第一轮复习第四讲几何空间和图形

第二部分

空间和图形三角形和四边形第一讲线、角、相交线和平行线1．会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行简单换算．2．了解角平分线及其性质．3．了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等．4．了解垂直、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义．5．知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．6．了解线段垂直平分线及其性质．

7．知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质．

8．知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用三角尺或直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．9．会度量两条平行线之间的距离．10．了解定义、命题、逆命题、定理等相关概念，会识别两个互逆命题．1．直线、射线、线段的联系与区别122.角周角60360060角平分线

(1)角的分类：锐角、直角、钝角、平角、________.相等角平分线

(3)角平分线及其性质：

①定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的____________；

②性质及其推论：角平分线上的点到这个角的两边的距离__________；到一个角两边距离相等的点在这个角的__________上．

(4)余角、补角和对顶角：

①∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；同角(或等角)的余角________；

②∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为________；同角(或等角)的补角相等；

③一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这两个角是对顶角；对顶角______．相等补角相等3．垂线一条垂线段垂直平分线(1)过一点有且仅有________直线与已知直线垂直．(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，________最短．相等垂直平分线

(3)线段的垂直平分线及其性质：

①定义：垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的____________；

②性质及其推论：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离________；到一条线段两端点的距离相等的点在这条线段的____________上．4．平行线(1)平行公理：一条内错角互补

过直线外一点，有且仅有________直线与已知直线平行．

(2)平行线的性质和判定：

①性质：两直线平行，同位角相等，________相等，同旁内角________；

②判定：同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行．题设结论真命题假命题定理证明

5．命题、定理、证明

(1)命题：判断一件事情的语句叫做命题，每个命题都是由________和________两部分组成．

(2)真命题和假命题：正确的命题叫做__________；错误的命题叫做__________．

(3)用推理的方法判断为正确的命题叫做________．

(4)从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程叫做________．BB1．下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是()2．(2011年山东日照)如图

4－1－1，已知直线AB∥CD，)∠C＝125°，∠A＝45°，则∠E的大小为( A．70° B．80° C．90°D．100°图4－1－13．(2012年北京)如图

4－1－2，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠BOM＝()A．38°D．144°B．104°

图4－1－2C．142°

图4－1－3

4．将一直角三角板与两边平行的纸条按如图4－1－3所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠4＝90°；④∠4＋∠5＝180°.其中正确的个数是()CDA．1个B．2个C．3个D．4个

5．有如下命题：①三角形的内角和等于180°；②两直线平行，同位角相等；③矩形的对角线相等；④相等的角是对顶角．其中属于假命题的有__________(填序号)．④考点1余角、补角、对顶角154A．35°B．55°C．65°D．145°B3．(2011年湛江)如图

4－1－4，直线AB，CD相交于)B点E，DF∥AB，若∠AEC＝100°，则∠D＝(

图4－1－4A．70°B．80°C．90°D．100°

规律方法：互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°，对顶角相等.考点2平行线的性质与判定4．(2011年茂名)如图

4－1－5，已知AB∥CD，则图中与∠1互补的角有()ACA．2个B．3个C．4个D．5个图4－1－5图4－1－65．(2010年)如图

4－1－6，已知∠1＝70°，如果CD∥BE，则∠B的度数为()A．70°B．100°C．110°D．120°6．(2009年清远)如图

4－1－7，AB∥CD，EF⊥AB于)点E，EF交CD于点F，已知∠1＝60°，则∠2＝(

图4－1－7A．20°B．60°C．30°D．45°

规律方法：在平行线与相交线的角度计算中，主要运用：①两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；②对顶角相等；③余角、补角性质．C考点3角平分线、线段的垂直平分线的应用

例题：(2009年肇庆节选)如图

4－1－8，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE.

求证：∠CBE＝36°.图4－1－8∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∴∠CBE＝∠ABC－∠EBA＝36°.

证明：∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA＝EB. ∴∠EBA＝∠A＝36°.

7．(2011年茂名)如图

4－1－9，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5千米，村庄C到公路l1

的距离)B为4千米，则村庄C到公路l2

的距离是(

图4－1－9A．3千米B．4千米C．5千米D．6千米20PD＝PC图4－1－10图4－1－11

9．(2008年肇庆)如图4－1－11，P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出图中一对相等的线段_____________(答案不唯一，只需写出一对即可)．考点4命题与证明10．(2012年深圳)下列命题：D

①方程x2＝x的解是x＝1；②4的平方根是2；③有两边和一角相等的两个三角形全等；④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形．其中正确的个数有(A．4个C．2个 B．3个

D．1个)11．(2011年广州)已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，则b⊥c；②如果b∥a，c∥a，则b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，则b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，则b∥c.其中是真命题的是__________(填写所有真命题的序号)．①②④)12．(2010年茂名)下列命题是假命题的是(A．三角形的内角和是180°B．多边形的外角和都等于360°CC．五边形的内角和是900°D．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和第二讲三角形第2讲三角形第1课时三角形

1.了解三角形有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)，会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性．2．掌握三角形中位线的性质．3．了解全等三角形的概念，掌握两个三角形全等的条件．1．三角形的边角关系大于小于180°360°等于

(1)边与边的关系： 三角形的任意两边之和________第三边，任意两边之差________第三边．(2)角与角的关系：等角等边大边大角

①三角形的内角和等于______，外角和等于______；

②三角形的一个外角_______与它不相邻的两个内角的和．

(3)在同一个三角形内，等边对______，等角对______，大角对______，大边对______．

2．三角形的主要线段

(1)角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的________．

(2)中线：连接三角形的一个顶点和它对边________的线段．

(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画________，顶点和垂足间的线段．

(4)中位线：连接三角形两边______的线段．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的______．线段中点垂线中点一半3．三角形的四心平分线垂直平分线中线

(1)内心：三角形三条内角____________的交点，即其内切圆的圆心.内心到三边距离相等．

(2)外心：三角形三条边的____________的交点，即其外接圆的圆心．外心到三角形的三个顶点距离相等．

(3)重心：三角形三边________的交点．

(4)垂心：三角形三条高的交点．锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心在三角形的直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外部．4．三角形的分类(1)按角的关系分类：①SSS：三边对应相等的两个三角形全等；②SAS：两边和它们的______对应相等的两个三角形全等；③ASA：两角和它们的________对应相等的两个三角形全等；④AAS：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；⑤HL：斜边和__________对应相等的两个直角三角形全等．5．三角形全等的判定(1)定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(2)判定：夹角夹边一条直角边相等相等相等相等

6．全等三角形的性质

(1)全等三角形的对应边、对应角________．

(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高线________．

(3)全等三角形的周长________、面积________．1．(2011年山东滨州)若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三条边的是()BBA．1B．5C．7D．92．在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线的交点()A．高C．中线B．角平分线D．垂直平分线3．(2012年四川巴中)三角形的下列线段中能将三角形的面)积分成相等两部分的是( A．中线

C．高B．角平分线D．中位线4．下列说法不正确的是()ADA．全等三角形一定能重合B．全等三角形的面积相等C．全等三角形的周长相等D．周长相等的两个三角形全等5．如图4－2－1，△ABC≌△ABD，且△ABC的周长为12，3若AC＝4，AB＝5，则BD＝________.

图4－2－1考点1三角形的边的计算1．(2012年)已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是()CCA．5B．6C．11D．162．(2011年茂名)如图

4－2－2，在△ABC中，D，E)分别是AB，AC的中点，若DE＝5，则BC＝(

图4－2－2A．6B．8C．10D．12

3．(2009年茂名)如图

4－2－3，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要用篱笆的长是()C36A．15米D．30米

B．20米图4－2－3C．25米 图4－2－4

4．(2010年清远)如图

4－2－4，DE是△ABC的中位线，若△ADE的周长是18，则△ABC的周长是________．

规律方法：三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．考点2三角形的角的计算5．(2012年肇庆)如图

4－2－5，已知D，E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B＝60°，∠AED＝40°，则∠A的度数为()A．100°D．70°

B．90°图4－2－5C．80°

图4－2－6

6．(2011年河源)如图

4－2－6，在Rt△ABC中，∠B＝90°.ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠BAE＝30°，则∠C的度数为()CAA．30°B．45°C．20°D．35°A图4－2－7A．150°B．210°C．105°D．75°规律方法：三角形的内角和为180°.考点3全等三角形的性质和判定

例题：(2012年佛山)如图

4－2－8，已知AB＝DC，DB＝AC. (1)求证：∠ABD＝∠DCA(注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据)；

(2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？图4－2－8图4－2－9(1)证明：连接AD，如图4－2－9.∴△BAD≌△CDA(SSS)．∴∠ABD＝∠DCA(全等三角形对应角相等)．(2)解：作辅助线的意图是构造全等的三角形，即两个三角形的公共边．不是AC＝DF

8．(2011年湛江)如图

4－2－10，点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝FE，∠1________(填“是”或“不是”)∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是________________(只需写出一个)． 图4－2－10

图4－2－11A．110°B．80°C．40°D．30°B

10．(2012年广州)如图4－2－12，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求图4－2－12证：BE＝CD.图4－2－13∴△AEB′≌A′ED.∴AE＝A′E.∴点E也在AA′的垂直平分线上，∴直线CE是线段AA′的垂直平分线．

规律方法：SSA、AAA不能识别两个三角形全等．识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边、一角对应相等时，此角必须是两边的夹角．第二课时等腰三角形与直角三角形1．了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件．

2．了解等边三角形的概念及其性质．3．了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件．4．会运用勾股定理解决简单问题，会运用勾股定理的逆定理判断直角三角形．

1．等腰三角形

(1)定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形．

(2)判定：

①有两条边________的三角形是等腰三角形；

②有两个角________的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”．相等相等(3)性质：两边两底角重合底边上的中线

①等腰三角形的______相等，______相等；

②三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相________；

③对称性：等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是__________________(结论开放)．

2．等边三角形

(1)定义：三边相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形是特殊的等腰三角形．(2)对称性：等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴．(3)判定：①三条边都________的三角形是等边三角形；②三个角都________的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的______三角形是等边三角形．3．直角三角形(1)判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②有一边上的中线是这边的________的三角形是直角三角形．三相等相等等腰一半(2)性质：互余一半中线等于平方

①直角三角形的两个锐角________；

②直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的________；

③直角三角形中，斜边上的______长等于斜边长的一半．

(3)勾股定理及其逆定理：

①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和________斜边的平方；

②勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的________，则这个三角形是直角三角形．1．有一个内角是60°的等腰三角形是()A．钝角三角形C．直角三角形B．等边三角形D．以上都不是BC图4－2－25A．55°B．65°C．75°D．85° 3．等腰三角形的周长为14，其一边长为4，则，它的底边长为______． 4．已知△ABC的三边长分别为5,13,12，则△ABC的面积为______．4或630则其底边上的高是____________．考点1等腰三角形的性质和判定

例题：(2012年肇庆)如图

4－2－26，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD.

求证：(1)BC＝AD；

(2)△OAB是等腰三角形．

图4－2－261．(2012年肇庆)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为()C15°A．16B．18C．20D．16或20图4－2－26

图4－2－2734．(2012年珠海)如图

4－2－28，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．(1)用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN(保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)设DN与AM交于点，判断FADF的形状(只写结果)．图4－2－28解：(1)如图D10.图D10(2)△ADF的形状是等腰直角三角形．规律方法：在等腰三角形中，等边对等角，等角对等边．考点2直角三角形的性质和判定5．(2011年肇庆)在直角三角形

ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝9，则AB＝________.15BA．AB＝BEB．AD＝DCC．AD＝DED．AD＝EC图4－2－297．(2010年湛江)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()CA2A．1,2,3B．2,3,4C．3,4,5D．4,5,6图4－2－30第三讲：四边形与多边形第一课时：多边形与平行四边形1．了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念。2．掌握平行四边形的概念和性质，了解四边形的不稳定性．3．掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件。4．了解平行四边形的重心及物理意义(如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心)．5．知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．平行相等相等互补平分1．平行四边形的性质和判定2.多边形(1)多边形的性质：n边形的内角和公式为__________，外角和为__________；从n边形的一个顶点可以引______条

对角线，并且这些对角线把多边形分成了________个三角形；n边形对角线条数＝_________；正n边形的每个内角为________________．(2)多边形的镶嵌：①当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为________度时，可以镶嵌；②同一种正多边形可以镶嵌的正多边形是正三角形、____________和正六边形．(n－2)·180°360°n－3n－2360正四边形1．(2011年浙江宁波)一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是()CBA．4B．5C．6D．7 A．53° B．37° C．47° D．123°图4－3－13．(2012年四川巴中)不能判别四边形是平行四边形的条件是()BCA．两组对边分别平行B．一组对边平行，另一组对边相等C．一组对边平行且相等D．两组对边分别相等4．下列图形不能在平面中进行密铺(镶嵌)的是()A．三角形C．正五边形B．正四边形D．正六边形5．已知平行四边形ABCD的面积为4，O为两对角线的交点，则△AOB的面积是________．1考点1多边形的概念及性质1．(2012年肇庆)一个多边形的内角和与外角和相等，)则这个多边形是( A．四边形

C．六边形

B．五边形D．八边形A2．(2012年梅州)正六边形的内角和为______度．3．(2012年佛山)一个多边形的内角和为

540°，则这个多边形的边数是______.7205B考点2平行四边形的性质和判定4．(2011年广州)已知▱ABCD

的周长为32，AB＝4，则BC＝()A．4B．12C．24D．28

5．(2010年清远)如图

4－3－2，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为(A

)A．4cmC．6cm图4－3－2 B．5cm D．8cm

6．(2012年)已知：如图

4－3－3，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，BO＝DO.

求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AB∥CD，图4－3－3∴∠ABO＝∠CDO.在△ABO与△CDO中，∵∠ABO＝∠CDO，BO＝DO，∠AOB＝∠DOC，∴△ABO≌△CDO.∴AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形．7．(2012年湛江)如图

4－3－4，在平行四边形ABCD中，E，F分别在AD，BC边上，且AE＝CF.求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形BFDE是平行四边形．图4－3－4证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB＝CD.在△ABE和△CDF中，∵AB＝CD，∠A＝∠C，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF.∴四边形BFDE是平行四边形．

规律方法：一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形；但一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．考点3平面图形的密铺与镶嵌8．(2009年广州)只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是()CCA．正十边形B．正八边形C．正六边形D．正五边形

9．(2010年湛江)小亮的父亲想购买同一种大小一样、形状相同的地板砖铺设地面，小亮根据所学的知识告诉父亲，为了能够做到无缝隙、不重叠地铺设，购买的地板砖形状不能是()A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形

10．(2008年湛江)如图

4－3－5，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( A．2008 C．2010

)

图4－3－5B．2009D．2011解析：由图中可知：1个三角形组成的图形的周长是3；2个三角形组成的图形的周长是3＋1＝4；3个三角形组成的图形的周长是3＋2＝5；……则2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是3＋2007＝2010.故选C.答案：C

规律方法：平面图形的密铺，一般首先要考虑一个或几个多边形的内角和是否能组成一个周角，其次要考虑对应边长是否相等，在两者都满足的情况下就可以密铺．第三讲：四边形与多边形第2课时特殊的平行四边形1．掌握矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系．2．掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件．3．了解矩形的重心及物理意义(如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心)．1．四边形的相互转化菱形正方形等腰直角2．四边形的性质和判定四个角都是直角续表轴对称，中心对称3.四边形的有关计算矩形面积＝长×宽．正方形面积＝边长×边长．平行四边形面积＝底×高．1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是()A．对角线相等BAB．对角线互相平分C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A．正三角形B．菱形C．直角梯形D．正六边形3．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()DC24A．AB＝CDC．AB＝BC

B．AD＝BCD．AC＝BD4．正方形四边中点的连线围成的四边形(最准确的说法)一定是()A．矩形C．正方形B．菱形D．平行四边形

5．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为__________cm2.考点1菱形的性质与判定

例1：(2011年广州)如图

4－3－16，AC是菱形ABCD的对角线，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝AF.求证：△ACE≌△ACF.∴△ACE≌△ACF(SAS)．图4－3－16

证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴∠BAC＝∠DAC.

又∵AE＝AF，AC＝AC，1．(2012年肇庆)菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为______．204

2．(2010年珠海)如图4－3－17，P是菱形ABCD对角线BD上的一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是________cm.

图4－3－173．(2010年肇庆)菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为()CDA．2C．1D．5

4．(2009年湛江)如图4－3－18，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点在原点，点C的坐标为(4,0)，点B的纵坐标是－1，则顶点A的坐标是(

)图4－3－18A．(2，－1)B．(1，－2)C．(1,2)D．(2,1)

规律方法：菱形中有关对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分；两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形．考点2矩形的