机械工程测试与控制技术课件：机械系统的数学模型

机械工程测试与控制技术机械系统的数学模型3.1系统微分方程的建立3.2拉氏变换与反变换3.3系统传递函数的求法3.4系统函数方框图及简化3.1系统微分方程的建立连续系统的微分方程的一般形式：分别为系统输出和输入;为微分方程系数若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微分方程表示的系统为线性系统；否则，系统为非线性系统。对线性系统，若系数为常数则为线性定常系统。线性定常系统线性时变系统非线性系统3.1系统微分方程的建立线性系统的叠加原理3.1系统微分方程的建立一、机械系统Fv2v1cFv2v1mv2v1Fk质量弹簧阻尼两端相对速度v21机械系统中以各种形式出现的物理现象,都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素:较大惯性的构件抽象为质量块；较小惯性且柔度较大的构件抽象为弹簧；这样受控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。3.1系统微分方程的建立例1：图示机械系统m-c-k，列写微分方程。1.明确：2.牛顿第二定律列写原始微分方程：3.整理：

系统输入f(t)，系统输出x(t)3.1系统微分方程的建立3.1系统微分方程的建立J-旋转体转动惯量;k-扭转刚度系数;D-粘性阻尼系数.例2：机械旋转系统，列写微分方程。1.明确：输入qi，输出qo3.消除中间变量，并整理：ccc2.微分方程：3.1系统微分方程的建立例3：列写微分方程1.明确：输入T，输出x(t)2.微分方程：3.消除中间变量，并整理：q0c1c23.1系统微分方程的建立二、电路系统电路网络由三个基本元件:电阻、电容和电感.电路元件两端电位差v21电感电阻电容基尔霍夫定律3.1系统微分方程的建立例4：图示电网络，列写微分方程。1.明确系统的输入与输出：

输入ui(t)，输出uo(t)2.列写原始微分方程：3.消除中间变量，并整理3.1系统微分方程的建立例5：图示电网络，列写微分方程。1.明确系统的输入与输出：

输入u(t)，输出电量q2.列写原始微分方程：3.消除中间变量，并整理列写微分方程的一般方法：确定系统的输入量和输出量。注意：输入量包括给定输入量和扰动量2.按信息传递顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵循的物理定律，列写系统中各环节的动态微分方程。注意：负载效应，非线性项的线性化。3.消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。4.整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。3.1系统微分方程的建立3.1系统微分方程的建立数学模型形式相同组成系统的物理元件不同质量元件弹簧元件阻尼元件电感元件电阻元件电容元件例：弹簧-质量-阻尼单自由度系统(a)(b)初始状态：系统固有特性：外界作用：与外界的关系：系统的输出：初始状态、系统固有特性、外界作用、与外界的关系等四大因素决定系统响应3.1系统微分方程的建立3.1系统微分方程的建立数学模型线性化问题的提出:(1)几乎所有的实际物理系统都是非线性的:机械系统中的高速阻尼器,阻尼力与速度的平方有关;齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性传输特性.(2)非线性系统的理论还不完善,求解非线性系统也很复杂.(3)线性系统的理论相当成熟:将非线性系统简化为线性系统,利用线性系统理论解决非线性系统是解决问题的一个方法.实际的系统通常都是非线性的,线性只在一定的工作范围内成立.为分析方便通常在合理条件下将非线性系统简化为线性系统处理.非线性方程的线性化3.1系统微分方程的建立线性化的条件：1.非线性函数是连续函数(即不是本质非线性)。2.系统在预定工作点附近作小偏差运动线性化的方法：1.确定预定工作点。2.在工作点附近将非线性方程展开成Taylor级数形式。3.忽略高阶小项。4.表示成增量化方程的形式。非线性方程的线性化3.1系统微分方程的建立例:单摆运动线性化解:根据牛顿第二定律:将非线性项sinθ0在θ0=0点附近泰勒展开,

3.1系统微分方程的建立3.2拉氏变换与反变换3.3系统传递函数的求法3.4系统函数方框图及简化3.2拉氏变换与反变换

对于利用微分方程表达的数学模型形式,手算是很麻烦的.利用拉氏变换,可将微分方程转换为代数方程,使求解大为简化,故拉氏变换成为分析机电控制系统的基本数学方法之一.皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵(Pierre-SimonmarquisdeLaplace，1749-1827)3.2拉氏变换与反变换一.拉氏变换定义函数x(t)的拉普拉斯变换定义为:其中s=σ+jω(σ,ω均为实数)拉氏变换存在的条件:(1)当t<0时,x(t)=0;当t>0时,x(t)在每个有限区间上是分段连续的;(2)存在一正实数σ,使得:X(s)称为函数x(t)的拉普拉氏变换或象函数,它是一个复变函数;x(t)称为X(s)的原函数;L为拉氏变换的符号.3.2拉氏变换与反变换二

简单函数的拉氏变换1）单位阶跃函数(1(t))单位阶跃函数的拉氏变换:幅度为A的阶跃函数的拉氏变换为:t10u(t)3.2拉氏变换与反变换2）指数函数（a为常数）指数函数的拉氏变换:3.2拉氏变换与反变换3）简谐函数正弦函数的拉氏变换:余弦函数的拉氏变换:3.2拉氏变换与反变换4）单位脉冲函数δ(t)由洛必达法则：3.2拉氏变换与反变换5）单位斜坡函数t10f(t)1单位斜坡函数的拉氏变换:斜率为A的斜坡函数的拉氏变换为:3.2拉氏变换与反变换6）单位加速度函数3.2拉氏变换与反变换7）幂函数3.2拉氏变换与反变换3.2拉氏变换与反变换拉氏变换的性质1）叠加原理显然,拉氏变换为线性变换.若L[x1(t)]=X1(s),

L[x2(t)]=X2(s)则L[ax1(t)+bx2(t)]=aX1(s)＋bX2(s)3.2拉氏变换与反变换2）微分定理零初始条件(当x(0)=0,x(1)(0)=0,…,x(n－1)(0)=0时)3.2拉氏变换与反变换3）积分定理当初始条件为零时3.2拉氏变换与反变换4）衰减定理L[e−at

x(t)]=X(s+a),a为实数5)延时定理3.2拉氏变换与反变换6)初值定理初值定理建立了函数x(t)在t=0处的初值与函数sX(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系.7)终值定理x(t)稳定值与sX(s)在s=0时的值相同.3.2拉氏变换与反变换8)时间比例尺定理即若一个函数在时间上展宽(或压缩)a倍,则它的象函数在复平面上向原点将收缩(或伸展)a倍.9)时间乘函数定理3.2拉氏变换与反变换10)卷积分的象函数3.2拉氏变换与反变换3.2拉氏变换与反变换L－1为拉氏反变换的符号.三.拉氏反变换直接求解复杂,不便于工程应用.对于大多数控制系统,可避免积分,而是利用部分分式展开,化象函数为拉氏变换常见的形式,查表得到原函数.3.2拉氏变换与反变换如果x(t)的拉氏变换X(s)已分解成为下列分量:X(s)=X1(s)+X2(s)+…+Xn(s)假定X1(s),X2(s),…，Xn(s)的拉氏反变换可以容易地求出,则L-1[X(s)]=L-1[X1(s)]+L-1[X2(s)]+…+L-1[Xn(s)]=x1(t)+x2(t)+…+xn(t)部分分式法思想:3.2拉氏变换与反变换例1试求如下式子的拉氏反变换:3.2拉氏变换与反变换在控制系统中,拉氏变换X(s)可写成下列一般形式:因式分解:式中,-p1,-p2,…,-pn称为X(s)的极点3.2拉氏变换与反变换1）只含不同单极点的情况3.2拉氏变换与反变换例求的拉氏反变换解3.2拉氏变换与反变换2、含多重极点的情况3.2拉氏变换与反变换例:的拉氏反变换3.2拉氏变换与反变换例:解方程其中,解:将方程两边取拉氏变换,得:利用拉氏变换求解微分方程机械工程测试与控制技术机械系统的数学模型复习3.1系统微分方程的建立3.2拉氏变换与反变换3.3系统的传递函数3.4系统函数方框图及简化3.5典型环节的传递函数3.3系统的传递函数线性定常系统的微分方程的一般形式：在零初始条件下，对方程两边拉氏变换，得：

零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。传递函数的定义与输入、输出无关3.3系统的传递函数线性定常系统的微分方程的一般形式：在零初始条件下，对方程两边拉氏变换，得：

零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。与输入、输出无关传递函数的性质：1、只适用于线性定常系统；2、零起始条件下定义；3、反应的是系统本身固有特性，与输入、输出无关3.3系统的传递函数已知系统的输入和传递函数，预知系统的输出已知系统的输出和传递函数，推知系统的输入已知系统的输入和输出，获得系统的传递函数传递函数的用途结构振动预估设备安全裕度设计故障来源诊断输入的规划结构参数设计固有特性的计算3.3系统的传递函数如何直观的理解传递函数？G(s)Xi(s)Xo(s)3.3系统的传递函数如何直观的理解传递函数G(s)G(s)？1原函数原函数工程上常采用脉冲冲击法获得系统的传递函数3.3系统的传递函数G(s)冲击✔正确的挫折观：总结问题的原因，找出解决方法机械系统认识系统的特性人挫折了解自己的不足✖错误的挫折观：垂头丧气，一蹶不振3.3系统的传递函数？xi(t)xo(t)=xi(t)*g(t)3.3系统的传递函数求下面微分方程的传递函数3.3系统的传递函数传递函数的求解例：求如图系统的传递函数1、受力分析，并列微分方程2、拉氏变换并整理解：3.3系统的传递函数若m=1kg，c=4N/(m/s)，k=100N/m，f(t)=100N，求零状态下的响应x(t)解：

t=0:0.01:3;xt=-exp(-2*t).*cos(4*6^0.5*t)-6^0.5/12*exp(-2*t).*sin(4*6^0.5*t)+1;plot(t,xt)3.3系统的传递函数m=1kgc=4N/(m/s)k=100N/mF(t)=100N与SolidWorks仿真结果比照3.3系统的传递函数m=1kgc=4N/(m/s)k=100N/mF(t)=100Nm=1kgc=1N/(m/s)k=100N/mF(t)=100Nm=1kgc=0N/(m/s)k=100N/mF(t)=100N参数改变传递函数改变影响改变3.3系统的传递函数特征方程、零点和极点D(s)=0称为系统的特征方程,其根称为系统的特征根.特征方程决定着系统的动态特性.D(s)中s的最高阶次等于系统的阶次.3.3系统的传递函数将G(s)写成零极点形式:式中,N(s)=K(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m),称为传递函数的零点;D(s)=(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n),称为传递函数的极点;系统的传递函数的极点就是系统的特征根.零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数.零、极点分布图将传递函数的零极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图.图中,零点用“O”表示极点用“×”表示.3.3系统的传递函数3.1系统微分方程的建立3.2拉氏变换与反变换3.3系统的传递函数3.4系统函数方框图及简化3.5典型环节的传递函数3.4系统函数方框图及简化系统方框图是系统控制系统的动态数学模型的图解形式.可以形象直观地描述系统中各环节间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程.注意:即使描述系统的数学关系式相同,其方框图也不一定相同.3.4系统函数方框图及简化一、方块图的基本单元G(s)X1(s)X2(s)图中方块中的G(s)表示其传递函数.指向方块的箭头表示输入,从方块出来的箭头表示输出,箭头上表明了相应的信号，这两个箭头称为信号线。1）方块与信号线2）比较点比较点:它代表两个或两个以上的输入信号进行相加或相减的元件,对于相减的元件又称为比较器,用符号“⊗”及相应的信号箭头表示,每个箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此