函数平均变化率

函数的变化率第1页第2页

怎样用数学来反应山势平缓与陡峭程度？第3页HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如图，是一座山剖面示意图:A是登山者出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示；问题：当自变量x表示登山者水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？登山问题x第4页HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx1x2y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)选取平直山路AB放大研究

:若自变量改变量函数值改变量直线AB斜率:第5页D1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)直线AB斜率:直线CD1斜率:x第6页y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)第7页y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)第8页

显然，“线段”所在直线斜率绝对值越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。（举例）

现在摆在我们面前问题是：山路是弯曲，怎样用数量刻画弯曲山路陡峭程度呢？

一个很自然想法是将弯曲山路分成许多小段，每一小段山坡可视为平直。能够近似地刻画。（举例：地球表面与平面）（微分思想）第9页

函数图象上也有类似定义，由此我们引出函数平均改变率概念。思索：比值表示意义是什么？（举例：如地产量）它表示每一个单位上函数值平均增量。第10页平均改变率曲线陡峭程度数形变量改变快慢

建构数学第11页华罗庚数缺形少直观形缺数难入微华罗庚第12页函数平均改变率已知函数在点及其附近有定义，令,则当时,比值叫做函数在到之间平均改变率第13页思索:函数平均改变率几何意义？

OABxyY=f(x)x0X0+△xf(x0)f(X0+△x)△x直线AB斜率函数平均改变率:函数值改变量与自变量改变量之比

观察函数f(x)图象过曲线上点割线斜率。第14页思索：（1）△x、△y符号是怎样？（2）该变量应怎样对应？了解：2、对应性：若第15页

美国康乃大学曾经做过一个有名“青蛙试验”。试验人员把一只健壮青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险，拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉，毫无戒备。一段时间以后，锅里水温度逐步升高，而青蛙在迟缓水温改变中却没有感到危险，最终，一只活蹦乱跳健壮青蛙竟活活地给煮死了。

阅读材料第16页例1.求函数在到之间平均改变率解:当函数在到之间改变时候函数平均改变率为分析:当取定值,取不一样数值时,

该函数平均改变率也不一样.第17页(2)求函数

在到之间平均改变率解:当函数在到之间改变时候函数平均改变率为第18页图1图2课堂练习：甲乙二人跑步旅程与时间关系以及百米赛跑旅程和时间关系分别如图（1）（2）所表示，（1）甲乙二人哪一个跑得快？（2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快？第19页知识利用再做两个题吧!1、已知函数f(x)=-x2+x图象上一点A(-1,-2)及邻近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A、3B、3Δx-(Δx)2C、3-(Δx)2D、3-Δx

Dy=kx+b在区间上平均改变率有什么特点？

2.求以下函数在区间平均改变率：（1）y=1

（2）y=2x+1（3）y=-2x第20页例3：已知函数，计算函数在以下区间上平均改变率。解:当函数在到之间改变时候函数平均改变率为改变区间自变量改变量平均改变率

（1，1.1）0.12.1（1，1.01）0.012.01(1,1.001)0.0012.001(1,1.0001)0.00012.0001………第21页

要准确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动快慢程度．假如物体运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t瞬时速度v，就是物体在t到t+Dt

这段时间内，当Dt

0时平均速度极限．即瞬时速度第22页函数瞬时改变率设函数在附近有定义，当自变量在附近改变时，函数值对应发生改变假如当趋近于０时，平均改变率趋近于一个常数，则数称为函数在点处瞬时改变率。第23页导数概念也可记作★

若这个极限不存在，则称在点x0

处不可导。

设函数y=f(x)在点x=x0附近有定义，当自变量x

在x0处取得增量△x(点x0+△x仍在该定义内）时，对应地函数y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y与△x之比当△x→0极限存在，则称函数y=f(x)在点x0

处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0

处导数记为即第24页说明：（1）函数在点处可导，是指时，有极限．假如不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数．点是自变量x在处改变量，，而是函数值改变量，能够是零．

（2）第25页由导数定义可知，求函数在处导数步骤:（1）求函数增量:；（2）求平均改变率:；．（3）取极限，得导数:第26页例:高台跳水运动中，秒时运动员相对于水面高度是（单位：），求运动员在时瞬时速度，并解释此时运动状态;在呢?

第27页同理，

运动员在时瞬时速度为，上升下落这说明运动员在附近，正以大约速率。第28页割线PQ改变情况２．在过程中，请在函数图象中画出来．你能描述一下吗？第29页PQM求已知曲线切线.第30页作业书本82.B2报纸A14第31页一是:依据物体旅程关于时间函数求速度和加速度.二是:求已知曲线切线.第32页例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不一样产品，需要对原油进行冷却和加热。假如第时，原油温度（单位：℃）为计算第2h和第6h，原油温度瞬时改变率，并说明它们意义。第33页3.1.1导数几何意义Pxy0T第34页一是:依据物体旅程关于时间函数求速度和加速度.二是:求已知曲线切线.第35页课堂小结：函数平均改变率函数瞬时改变率第36页例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不一样产品，需要对原油进行冷却和加热。假如第时，原油温度（单位：℃）为计算第2h和第6h，原油温度瞬时改变率，并说明它们意义。第37页3.1.1导数几何意义Pxy0T第38页PxyoT切线方程为即第39页

圆切线定义并不适合用于普通曲线。经过迫近方法，将割线趋于确实定位置直线定义为切线（交点可能不惟一）适合用于各种曲线。所以，这种定义才真正反应了切线直观本质。

第40页

依据导数几何意义，在点P附近，曲线能够用在点P处切线近似代替

。

大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近曲线能够用过此点切线近似代替，即“以直代曲”（以简单对象刻画复杂对象）第41页

1.在函数图像上，(1)用图形来表达导数，几何意义.

第42页(2)请描述，比较曲线分别在附近增（减）以及增（减）快慢情况。在附近呢？

第43页(2)请描述，比较曲线分别在附近增（减）以及增（减）快慢情况。在附近呢？

增（减):增（减）快慢：=切线斜率附近：瞬时改变率（正或负）即：瞬时改变率（导数）（数形结合，以直代曲）画切线即：导数绝多值大小=切线斜率绝对值大小切线倾斜程度（陡峭程度）以简单对象刻画复杂对象第44页(2)曲线在时，切线平行于x轴，曲线在附近比较平坦，几乎没有升降．

曲线在处切线斜率0在附近，曲线，函数在附近单调

如图，切线倾斜程度大于切线倾斜程度，

大于上升递增上升

这说明曲线在

附近比在附近得快速．递减下降小于下降第45页

2．如图表示人体血管中药品浓度c=f(t)（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）改变函数图像，依据图像，预计

t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药品浓度瞬时改变率，把数据用表格形式列出。(准确到0.1)第46页

血管中药品浓度瞬时改变率,就是药品浓度从图象上看,它表示曲线在该点处切线斜率.函数f(t)在此时刻导数,（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂对象第47页

抽象概括：

是确定数是函数

导函数概念：t0.20.40.60.8药品浓度瞬时改变率

第48页小结：１.函数在处导数

几何意义，就是函数图像在点处切线AD斜率（数形结合）