高一创新班数学参考答案

高一创新班入学考试数学参考答案一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的．）题号12345678选项ABAAD二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）题号91011选项ACDBCABD12.13.14.②③④8.【详解】解：令，因为，所以，所以．所以，，故，所以，因为函数单调递增，所以的范围是，因为，，所以，即，解得，所以，，因为，，所以，所以，所以，．又因为，且，所以．又因为，，所以，所以．所以，所以．故选：D11.详解】由题意可知：.对于A，当为底面的中心时，则，即，，，所以，故A正确；对于BC，若点分别与重合时，长度分别为6，6，3，所以长度的最大值为6，故B正确；当时，可知点在及内部，设，点到平面的距离为，由题意可知：为等边三角形，且，可得，，因为，即，解得，所以长度的最小值为，故C错误；对于D，若，则，又因为，则，所以为定值，故D正确；故选：ABD.14.【详解】对于①，若函数具有性质，则存在，使得，都有，即，则不是常数，所以函数不具有性质，①错；对于②，因为，即，所以函数具有性质，②对；对于③，函数具有性质，则存在，使得，都有，又因为函数为偶函数，则，又因为，即，因，则，故函数为周期函数，③对；对于④，若函数具有性质，且是奇函数，则存在，使得，都有，，所以，所以，是的一个对称中心，④对.故答案为：②③④.15.【详解】（1）因为，，，所以，，所以，即向量与向量的夹角的余弦值为；（2）因为，又与互相垂直，所以，解得.16.【小问1详解】取为三等分点，且，过作，则，所以为平行四边形，所以，又，，所以平面.【小问2详解】由题意平面底面，平面底面，，平面，所以，所以直线与平面所成角的平面角为，在中，由，得.设中点为，设中点为，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为m=x,y,z，由，取，可得，易求平面法向量，设平面与平面夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为.17.【详解】（1）如图，由题意知，则，由余弦定理得，即，整理得，因为，所以．（2）因为，所以，因为，所以，所以．又因为，，所以四边形是等腰梯形，所以．设，则，解得．．在中，由正弦定理可得，又因为，所以18.【小问1详解】若选条件①：点的坐标为，则，，由题意可得，，化简得，进而曲线的方程为．若选条件②：设点的坐标为，则，，由题意可得，，化简得，进而曲线的方程为．【小问2详解】若选条件①：（ⅰ）若直线的斜率存在，设，由，得，则，即，设Px1,y1，Q因为以为直径的圆经过原点，所以，则，即，整理得．，设为点到直线的距离，则，所以，又，所以．（ⅱ）若直线的斜率不存在，则，不妨设，则，代入方程，得，所以，则．综上，存在这样的直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．且．若选条件②：（ⅰ）若直线的斜率存在，设，由得，则，即，设Px1,y1，Q因为以为直径的圆经过原点，所以，则，即，整理得．，设为点到直线的距离，则，所以，又，所以．（ⅱ）若直线的斜率不存在，则，不妨设，则，代入方程，得，所以，则．综上，存在这样的直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．且．19.【小问1详解】因为平面，平面，则，且，，平面，可得平面，且平面，所以.【小问2详解】做，垂足分别为，连接，若为等边三角形，则为中点，因为平面，平面，则，且，平面，可得平面，且平面，所以.对于平行四边形，建立平面直角坐标系，如图所示，则，设，则，若，可得，即，因为为中点，可知：，则，即，由可知直线，且，设，则，由可得，解得，即，则，可知三棱锥的高，在中，边的高，设点到平面的距离为，由可得，解得，所以点到平面的距离为.【小问3详解】由题意可知：，由（2）可知：点在直线上，结合（2）中数据可得：，在中，由余弦定理可得，设的外接圆半径为，则，设三棱锥的外接球半径为，则，且，可知当时，取到最小值，即外接球表面积取到最小值，此时，由（2）可设，则，解得，即，可知，且