《备考指南 理科数学》课件-第7章 第6讲

第七章第6讲[A级基础达标]1．用数学归纳法证明“2n＞2n＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2 B．3C．5 D．6【答案】B【解析】n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n＞2n＋1不成立；n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2n＋1不成立；n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n＋1成立．所以n的第一个取值n0＝3.2．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可以推出n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时该命题成立，那么()A．n＝4时该命题成立B．n＝4时该命题不成立C．n≥5，n∈N*时该命题都成立D．可能n取某个大于5的整数时该命题不成立【答案】C【解析】显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错误．3．利用数学归纳法证明不等式“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2)(n≥2，n∈N*)”的过程中，由“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边增加了()A．1项 B．k项C．2k－1项 D．2k项【答案】D【解析】左边增加的项为eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)，共2k项．故选D．4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．eq\f(k＋14＋k＋12,2)D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2【答案】D【解析】当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2.当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故选D．5．对于不等式eq\r(n2＋n)<n＋1(n∈N＋)，某学生采用数学归纳法证明过程如下：(1)当n＝1时，eq\r(12＋1)<1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即eq\r(k2＋k)<k＋1，则n＝k＋1时，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1.故当n＝k＋1时，不等式成立．所以eq\r(n2＋n)<n＋1(n∈N＋)．上述证法()A．过程全部正确B．n＝1的验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确【答案】D【解析】n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．6．用数学归纳法证明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n)>eq\f(13,24)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．【答案】eq\f(1,2k＋12k＋2)【解析】不等式的左边增加的式子是eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,k＋1)＝eq\f(1,2k＋12k＋2).7．(2018年咸阳模拟)用数学归纳法证明：1＋eq\f(1,1＋2)＋eq\f(1,1＋2＋3)＋…＋eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)＝eq\f(2n,n＋1)时，由n＝k到n＝k＋1左边需要添加的项是________．【答案】eq\f(2,k＋1k＋2)【解析】因为n＝k时，左边最后一项为eq\f(2,kk＋1)，n＝k＋1时，左边最后一项为eq\f(2,k＋1k＋2)，所以从n＝k到n＝k＋1，不等式左边需要添加的项为一项为eq\f(2,k＋1k＋2).8．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋eq\f(an,1＋an)(n∈N*)．用数学归纳法证明：an＜an＋1(n∈N*)．【证明】当n＝1时，a2＝1＋eq\f(a1,1＋a1)＝eq\f(3,2)，a1＜a2，所以n＝1时，不等式成立．假设n＝k(k∈N*)时，ak＜ak＋1成立，则n＝k＋1时，ak＋2－ak＋1＝1＋eq\f(ak＋1,1＋ak＋1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(ak,1＋ak)))＝eq\f(ak＋1,1＋ak＋1)－eq\f(ak,1＋ak)＝eq\f(ak＋1－ak,1＋ak＋11＋ak)＞0.所以n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，不等式an＜an＋1(n∈N*)成立．[B级能力提升]9．不等式1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(127,64)，n≥n0且n∈N*恒成立，则n0的最小值为()A．7 B．8C．9 D．10【答案】B【解析】左边＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)＝eq\f(1－\f(1,2n),1－\f(1,2))＝2－eq\f(1,2n－1)，代入验证可知n0的最小值是8.10．设函数f(n)＝(2n＋9)·3n＋1＋9，当n∈N*时，f(n)能被m(m∈N*)整除，猜想m的最大值为()A．9 B．18C．27 D．36【答案】D【解析】f(n＋1)－f(n)＝(2n＋11)·3n＋2－(2n＋9)·3n＋1＝4(n＋6)·3n＋1.当n＝1时，f(1)＝108＝36×3，据此可得f(n)能被36整除．故选D．11．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”那么，下列命题总成立的是()A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立【答案】D【解析】选项A，B的答案与题设中不等号方向不同，故A，B错；选项C中，应该是k≥3时，均有f(k)≥k2成立；选项D符合题意．12．一个正六边形的序列如图所示，则第n个图形的边数为________．【答案】5n＋1【解析】第①图共6条边，第②图共11条边，第③图共16条边，…，其边数构成等差数列，则第n图的边数为an＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.13．(2018年无锡模拟)一个与自然数有关的命题，若n＝k(k∈N)时命题成立可以推出n＝k＋1时命题也成立．现已知n＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是________．(填上所有正确命题的序号)①n＝11时，该命题一定不成立；②n＝11时，该命题一定成立；③n＝1时，该命题一定不成立；④至少存在一个自然数n0，使n＝n0时，该命题成立．【答案】③【解析】n＝11时，该命题可能成立，也可能不成立，故①②不正确．由题意得，若n＝k＋1(k∈N)时命题不成立，可以推出n＝k时命题也不成立，故由n＝10时该命题不成立，可以推出n＝9时该命题也不成立，同理可得，n＝1时该命题一定不成立，③正确．题目条件无法推出④正确．14．已知f(n)＝1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋eq\f(1,43)＋…＋eq\f(1,n3)，g(n)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n2)，n∈N*.(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．【解析】(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n＝2时，f(2)＝eq\f(9,8)，g(2)＝eq\f(11,8)，所以f(2)<g(2)；当n＝3时，f(3)＝eq\f(251,216)，g(3)＝eq\f(13,9)＝eq\f(312,216)，所以f(3)<g(3)．(2)由(1)，猜想f(n)≤g(n)(当且仅当n＝1时等号成立)，下面用数学归纳法给出证明．①当n＝1,2,3时，不等式显然成立．②假设当n＝k(k≥3)时f(n)<g(n)成立，即1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋eq\f(1,43)＋…＋eq\f(1,k3)<eq\f(3,2)－eq\f(1,2k2).那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋eq\f(1,k＋13)<eq\f(3,2)－eq\f(1,2k2)＋eq\f(1,k＋13).因为eq\f(1,2k＋12)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2k2)－\f(1,k＋13