《备考指南 理科数学》课件-第5章 第1讲

第五章第1讲[A级基础达标]1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a【答案】B2．设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】D3．(2018年辽宁模拟)如图，正六边形ABCDEF中，设eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(DB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(EF,\s\up6(→))等于()A．eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b B．eq\f(1,4)b－eq\f(1,4)aC．eq\f(1,4)a－eq\f(1,4)b D．eq\f(1,3)b－eq\f(1,3)a【答案】D4．(2018年鸡西月考)已知平行四边形ABCD，O是平行四边形ABCD所在平面内任意一点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则向量eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A．a＋b＋c B．a＋b－cC．a－b＋c D．a－b－c【答案】C5．(2018年温州八校检测)设向量a，b不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A．－2 B．－1C．1 D．2【答案】B6．在△ABC中，已知D是边AB上的一点，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ＝________.【答案】eq\f(2,3)【解析】因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).又eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(2,3).7．(2018年辽宁高三模拟)向量e1，e2不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3(e1＋e2)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e2－e1，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________．【答案】④【解析】由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝4e1＋2e2＝2eq\o(CD,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上．8．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？【解析】因为d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．9．如图所示，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝c，试用a，b，c表示eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→)).【解析】依题意得eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－a＋b＋c.因为eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))，所以2eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝－b－(－a＋b＋c)＝a－2b－c.所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b－eq\f(1,2)c.所以eq\o(DN,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(DM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))＝a－2b－c.[B级能力提升]10．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，则()A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上【答案】B【解析】因为2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，所以2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).所以点P在线段AB的反向延长线上．故选B．11．设e1与e2是两个不共线向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为()A．－eq\f(9,4) B．－eq\f(4,9)C．－eq\f(3,8) D．不存在【答案】A【解析】由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2.所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2.所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ3－k，,2＝－λ2k＋1，))解得k＝－eq\f(9,4).12．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心 B．内心C．重心 D．垂心【答案】B【解析】如图所示，作∠BAC的平分线AD．因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))＝λ′eq\f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)(λ′∈[0，＋∞))．所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(λ′,|\o(AD,\s\up6(→))|)·eq\o(AD,\s\up6(→)).所以eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→)).所以P的轨迹一定通过△ABC的内心．13．设G为△ABC的重心，且sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，则角B的大小为()A．45° B．60°C．30° D．15°【答案】B【解析】因为G是△ABC的重心，所以eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，eq\o(GA,\s\up6(→))＝－(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，将其代入sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，得(sinB－sinA)eq\o(GB,\s\up6(→))＋(sinC－sinA)eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.又eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))不共线，所以sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0，则sinB＝sinA＝sinC．根据正弦定理知b＝a＝c，所以△ABC是等边三角形，则角B＝60°.故选B．14．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状为________．【答案】直角三角形【解析】eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．15．(2018年南京模拟)设P为锐角△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝k(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))(k∈R)，若cos∠BAC＝eq\f(2,5)，则k＝________.【答案】eq\f(5,14)【解析】取BC的中点D，连接PD，AD，则PD⊥BC，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→)).因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝k(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))(k∈R)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝2keq\o(AD,\s\up6(→))，即A，P，D三点共线，故AB＝AC．所以cos∠BAC＝cos∠DPC＝eq\f(DP,PC)＝eq\f(DP,PA)＝eq\f(2,5)，得AP＝eq\f(5,7)AD．所以2k＝eq\f(5,7)，解得k＝eq\f(5,14).16．若a，b是两个不共线的非零向量，则当t为何值时，共起点的三向量a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)的终点在同一条直线上？【解析】设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝tb，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝tb－a.要使A，B，C三点共线，只需eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.因为a与b为不共线的非零向量，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＝－λ，,\f(1,3)＝λt))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,t＝\f(1,2).))所以当t＝eq\f(1,2)时，三向量终点在同一直线上．17．已知O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.【证明】(1)若m＋n＝1，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋m(eq