《备考指南 理科数学》课件-第8章 第4讲

第八章第4讲[A级基础达标]1．有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【解析】命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确．2．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】m，n⊂α，若α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．3．如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能【答案】B【解析】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，因为AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，所以A1B1∥平面ABC．因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE.所以DE∥A1B1，所以DE∥AB．4．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④【答案】B【解析】①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，所以平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图)．④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP；在②③中不能判定AB∥平面MNP.5．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【答案】B【解析】若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．6．(2018年清远校级月考)已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC分别于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝()A．2∶3 B．2∶5C．4∶9 D．4∶25【答案】D【解析】因为平面α∥平面ABC，平面ABC∩平面PAB＝AB，平面α∩平面PAB＝A′B′，所以A′B′∥AB．因为PA′∶AA′＝2∶3，即PA′∶PA＝2∶5，所以A′B′∶AB＝2∶5.由于相似三角形的面积比为相似比的平方，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.7．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．【答案】平面ABD与平面ABC【解析】如图，取CD的中点E.连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分别过M，N，且EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB．因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC．8．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．【答案】eq\r(2)【解析】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq\r(2).又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F为DC中点，所以EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．【解析】(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.【证明】(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，所以HD1∥MC1.又因为MC1∥BF，所以BF∥HD1.(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE綊eq\f(1,2)DC．又D1G綊eq\f(1,2)DC，所以OE綊D1G，所以四边形OEGD1是平行四边形，所以GE∥D1O.又GE⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D．(3)由(1)知BF∥HD1，又BF⊄平面B1D1H，HD1⊂平面B1D1H，所以BF∥平面B1D1H.又BD∥B1D1，BD⊄平面B1D1H，B1D1⊂平面B1D1H，所以BD∥平面B1D1H.又DB∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.[B级能力提升]11．(2018年福州模拟)已知直线a，b异面，给出以下命题：①一定存在平行于a的平面α使b∥α；②一定存在平行于a的平面α使b⊂α；③一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．则其中为真命题的是()A．①② B．①③C．②③ D．①②③【答案】D【解析】对于①，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，所以①正确；对于②，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，所以②正确；对于③，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，所以③正确．综上，①②③均正确．12．如图所示，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°【答案】C【解析】因为截面PQMN是正方形，所以MN∥QP.又PQ⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC．又MN⊂平面PQMN，AC⊄平面PQMN，则AC∥截面PQMN.同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故A，B正确．又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．13．已知E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1上的点，且AE＝eq\f(1,2)AB，AF＝eq\f(1,3)AA1，M，N分别为线段D1E和线段C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有()A．1条 B．3条C．6条 D．无数条【答案】D【解析】在线段A1F上任取一点H，过点H可以作与平面ABCD平行的平面α，显然D1E，C1F都与这个平面α相交，连接两个交点的直线必与平面ABCD平行，故满足条件的直线MN有无数条．故选D．14．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC＝eq\f(π,3)，AC＝4，M为AA1的中点，点P为BM的中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC，则PQ的长度为________．【答案】eq\r(13)【解析】由题意知，AB＝8，过点P作PD∥AB交AA1于点D，连接DQ，则D为AM中点，PD＝eq\f(1,2)AB＝4.又因为eq\f(A1Q,QC)＝eq\f(A1D,AD)＝3，所以DQ∥AC，∠PDQ＝eq\f(π,3)，DQ＝eq\f(3,4)AC＝3.在△PDQ中，PQ＝eq\r(42＋32－2×4×3×cos\f(π,3))＝eq\r(13).15．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．【答案】1【解析】设BC1∩B1C＝O，连接OD．因为A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，所以A1B∥OD．因为四边形BCC1B1是菱形，所以O为BC1的中点，所以D为A1C1的中点，则eq\f(A1D,DC1)＝1.16．如图所示，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．(1)求证：CE∥平面PAD．(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明：取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝eq\f(1,2)AB．又AB∥CD，CD＝eq\f(1,2)AB，所以EH∥CD，EH＝CD．因此四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD，CE