考研概率全程笔记

三随机变餐的独立性

3.3.1独立性的概念

定义1:设（X,Y）的分布函数为F（X,Y）,边缘分布函数为•弓「X）和弓6"如果对一切X,丫有,

尺XJb&W5G）则称X与丫是相互独立的。

3.3.2独立性的充要条件

1.离散型随机变量的情况

定理1：设（x,Y）的分布律为"丫=乙¥="=5」/=L2…边缘分布律分别为

p..、•pj.]2,・・p«・、+Pi・L2••・

/*‘，及'i'，则X与丫相互独立的充分必要条件为

4=片,马，一切IJ.证略。

例8.袋中有2个白球，3个黑球，从袋中（1）有放回地；（2）无放回地取二次球，每次取一个，令

底（1第一次取得白球vfl第二次取得白球

（0第一次取得黑球10第_号郴解试问X与Y是否相互独立？

解：⑴有放回地取球

容易验证，对一切'J=L2有

014.

弓■巴弓故X,Y相互独立

09/256/253/5

16/254/252/5

Pj3/52/51

⑵无放回地取球

633

01n

4112055

X可见，

06/206/203/5

故X,丫不独立

16/202/202/5

号3/52/51

例9：设（X,Y）的分布律为

(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)⑵2)⑵3)

问a,b,c为何值时，X与丫相互独立？

解：（X,Y）的分布律及边缘分布律可由下表给出P1/61/91/18abC

V123耳

11/61/91/181/31

<2=—

2abCa+b+c3

14le解得T4右=提

马一♦♦+1

69189

1

c=—

需使X与丫相互独立，下列式子应满足:9

2.连续性随机变■的情况

定理2设（X,Y）的概率密度为其边缘概率密度为〃（x）和刚X与丫相互独立

的充分必要条件为了（xj）・A（xVrE,一切x,y.证略

例10设X,丫相互独立，同分布，均服从U［o］〕分布，试求刊

解：由于X,丫均在［0,1］上服从均匀分布，即

\0<x11,、1

Zr（x）=<n苴油AW-

0其他

X的概率密度为［U,丹电，丫的概率密度为

1Olxil,

又由x与丫相互独立，所以（X,Y）的概率密度为=

0其他

于是年♦八】）・R（"）W0）其中人卜/

例11设（X,Y）〜".，/，。/，与’，句，证明：X与丫相互独立的充要条件为

证：由于

（7Or

己求得其边缘概率密度为*）=4尸厂/加霜_,M

,V2/ra

“充分性”，当0・0时，对一切X,y

%力4用勺L流朝互独立。

了侬也卜那曲式外）

“必要性”，如果X,丫独立，于是应有

__1_■―—__1•_——___1.1,

即为加灯.Jl-dJ2xax、国/2名<卬2解得

四条件分布

§3.4.1条件分布函数

在实践中常会遇到这样的问题：在已知随机变量丫取值为y条件下，求随机变量X落在某区间（a,

b）内的概率，即P{a<XWbIY=y}由于形式上这一条件概率可表为

4<x«4RxH-耳x«用一尸）

因此，对任意实数X,研究形如P{XWxIY=y}的条件概率就是一件很重要的事情。然而，需殛由

是：如果P{丫=y}=0,上述条件概率将无意义，特别对连续型随机变量Y,无论y为何值，总有P{丫=y}=0。

为了解决这一问题，可采取下列办法。

设丫在区间（yAy,y）内的概率不为零，即P{yA>y<YWy}>0,此时条件概率P{XWxIyZ\y<YWy}便

有意义，如果当△¥-（）+时，此条件概率的极限存在，我们便将此极限定义为P{XWx|Y=y},并称它为X

的条件分布函数。

hm尸

定义1：设对固定的实数y及任意△¥>（）有P{yz^y〈YWy},如果

3加哈"一修

存在，则称此极限为在丫=丫条件下，X的条件分布函数。“5P[y<y)

同样,可定义在x=x条件下,丫的条件分布函数M«y（"八）•氏、P（x-^<Xix.Yiy}

§3.4.2条件分布律

定义2：设（X,Y）为二维离散型随机变量，其分布律为F（X=阳）=）,}=得=…

如果对固定的j,P{Y=yj}>0,则称下列一组条件概率

加加和年斤1年飞

为在Y=yj条件下，X的条件分布律.

同样,对固定i,若P{X=xi}>0,则称下列一组条件概率F{y里J-1,2,...

为在X=xi条件下，丫的条件分布律‘

不难看出,对数轴上子集A有

进而有

P{Xe<-71)-X^-

F

x(x/打)-Ep/pWdM»」P$

p{re^-xj-y^P

例1设（X,设的分布律为\12