考研数学一矩阵

考研数学一矩阵

1.1单项选择题】设A是n（n》3）阶可逆方阵，下列结论正确的是（）.

'④A

①②

A.②③

B.③④

C.

①②③④

D.

正确答案：D

参考解析：利用伴随矩阵的公式AA*=A*A=|A|E,由A可逆，知|A|W0,故

又A(.4'),=|A1|E.知(A»=.故(A，尸=(AJ，=

结论①正确.

由（左=|kA|E.知(ML=k'A・(kAK'=k"

=L।A|A।=k"-lA',

故结论②正确.

由.4T(AT)*=IArIE»IAIE.知(W=|A|(A，〕由

(AA*)T=(A*)7AT=(IA|=IA|E・

知(A.A=AUA')'•故(A，=(A•儿结论③正确.

由A，(A•尸=|*|E=|A「E.知

(A*),=|A|i(A•尸=|A尸(4>=1A尸・|AT|・(A-1)-,=|A

故结论④正确.

1.【单项选择题】设A是n（n23）阶可逆方阵，下列结论正确的是（）.

①•尸）,=kr'A'（i#Oi

-④\z

①②

A.②③

B.③④

C.①②

D.

正确答案：D

参考解析：利用伴随矩阵的公式AA*=A*A=|A|E,由A可逆，知|A|#0,故

(A,尸=

又A"4=|AI|E.知(A」),=.故(A•尸=(A>=

结论①正确.

由=|£4IE.知(£4)，=A"A•(ML=《|A|・g4।

k

=-TIA|A"=NW,

故结论②正确.

由AT(AT)*=|川IE=|AIE.知(A，)，=|AI(ADL由

(/U*)T=(A*)TAT=(|A|E)T=|A|E,

知(A.)T=|A|(AT)%故GT)，=儿结论③正确.

由A，(A•厂=|A*|E=|AFE.知

(A'>=|A|i(A，尸=A|I(A-I).=A尸・|A-i|・(APT=|A尸"，

故结论④正确.

2.【单项选择题】

[I2k]

设A=1*4-11.H是3阶作零用阵.且A»O.MK)«

21J

A.当k=l时，r(B)=l

B.当k=-3时，r(B)=l

C.当k=l时,r(B)=2

D.当k=-3时，r(B)=2

正确答案：B

参考解析：由AB=O知，r(A)+r(B)W3.

若k=l,则r(A)=l,故r(B)W2,所以r(B)=l或r(B)=2,A,C不正确.

若k=-3,则r(A)=2,故r(B)W3-r(A)=l,又B是非零矩阵，故r(B)2L从而

r(B)=l.

abb

设/4=hab(a方均不为0),且厂(A，)=l,则必有(),

3.【单项选择题】卜ba

A.a=b

B.a=b或a+2bW0

C.a+2b=0

D.a#b且a+2bW0

正确答案：C

参考解析：由r(A*)=l,知r(A)=n-1=3-1=2,故|A|=0.又

lab611100

A=bah*(a+2b)1a-60,(a+2b)(a:0.

16ba|10a-b\

用a+2S=0或a=h.

又当〃，时.r(A)=1w2,故a+2b-0(由均不为零•可知a+26=0C经西2

uWb)•故C正鼻.

4.【单项选择题】

duI100।।

设Aau；a：i)10♦|lP"AP=A*则正整数可以

(d)!ana13J1100]

为().

A.n=m=4

B.n=5,m=4

C.n=4,m=5

D.n=m=5

正确答案：A

参考解析：P是初等矩阵，P左乘A,相当于把A的第1,3行交换，故交换偶数

次，相当于不变，右乘A相当于把A的第1,3列交换，同理交换偶数次，相当

于不变，故A正确.

5.【单项选择题】设A是任意n(n23)阶矩阵，A*是其伴随矩阵，又k为常

数，且kWO,则必有(kA)*=

A.nA*.

B.k""*.

C.knA*.

正确答案：B

参考解析：作为选择题，可加强条件来分析.因为对任何n阶矩阵都要成立,

那么对于特殊的n阶矩阵自然也要成立，故可对可逆矩阵A来分析推理.

由A可逆有A'=AA.于是

(kA)'=|M|(M)-1=^"|A|«

6.【单项选择题】

「2421

1

a-2是3阶非零矩阵且AB=O,则

2

-3a+2」

/B\

\(71的必要条件.

A.艮

/B\

\(/)=1的充分必要条件.

cfBX

x71=1的充分条件.

zB\

x(7=1的充分必要条件.

正确答案：C

242

由IA|=1a—2=2(a+l)(a—3).

参考解析：23a+2

如a=1,则|A|#0.A是可逆矩阵,由AB=0,有E=0与BRO矛盾，

于是(A)(B)均不可能.

如a=3或a=-1时,都有r(A)=2.由AB=。有r(A)+r(B)43,r(B)41.

又因B¥0,从而r(B)=1,所以应选(C).

7.【单项选择题】设A是n阶实对称矩阵，将A的i列和j列对换得到B,再

将B的i行和j行对换得到C,则A与C

A.等价但不相似.

B.合同但不相似.

C.相似但不合同.

D.等价、合同且相似.

正确答案：D

将初等行、列变换,用左、右乘初等阵表出,由题设

参考解析：AEO==C.

故

C=E,B=E„AE„,

因E„=Ej=EJ，故

C=E.,AE„=用AE„=E：A号,

即OA,C〜A.且A,故应选(D).

8.【单项选择题】设a”a2,a3,B”也均为四维列向量，Ia”a2,a

3,B11=a,Qi»a2fB2,a31=b,贝a3,a2,a1，B1+2B21=

A.2a-b.

B.2a+b.

C.2b-a.

D.2b+a.

正确答案：C

参考解析：Ia3,3.2fa1，3i+2321=Ia，3>a，2»a1，311+1a.3,a2,a”2321

=-I31>0.21&3,B

11+2133,a”B21

=-a-2I3.2»62,

31I

=-a+2b

9.1单项选择题】已知A,B均是n阶可逆矩阵，则错误的是

AO『_"TO■

A.LoBJ-LOB!」，

B._BO」-4OJ

AonLA”O-

c.LOLO

roA"[

D.-8

：D

参考解析：(A)(B)(C)是基本公式.关于(D)

2

mOAA'r2r~noAnmAAI[=[rAABHOt-

O-_BO__BoJLoBA.

~OA~3ABOA~OABA'

O.-OBA」B().~LBABO-

OA-4-ABoT[(AB)2O-

-BO.-OBA-~Lo(BA)2.

10.【单项选择题】设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=l,贝ij().

A.r(A)=l

B.r(A)=2

C.r(A)=3

D.r(A)=4

正确答案：C

参考解析：因为r(A*)=L所以r(A)=4T=3,选(C).

11.【单项选择题】

设A.B分别为小阶和〃阶可逆矩阵，则(0的逆矩阵为(

).

\2BO/

OyB1

正确答案：D

A.B都是可逆矩阵•因为

参考解析:

12.【单项选择题】

/O01

=010

'100

/I00\

P2=012,则().

'oor

A.B=P,AP2

B.B=P2AP)

p；

C.B=cAP|

n/\p--

正确答案：D

/O0h00

显然B=0101-2=P1APJ*.

参考解析：'100）01'

因为PV=巴，所以应选（D）.

13.【单项选择题】设A,B,A+B,A」+Bi皆为可逆矩阵，则（A'+B】广等于

().

A.A+B

B.A^+B-1

C.A(A+B)HB

D.(A+B)t

正确答案：C

参考解析:A(A+B)HB(A^+B-1)=[(A+B)A-1]-1(BAH+E)=(BA-1+E)-1(BAH+E)=E,所以C

正确。

14.1单项选择题】设A,B都是n阶可逆矩阵，则().

A.(A+B)*=A*+B*

B.(AB)*=B*A*

C.(A-B)*=A*-B*

D.(A+B)*一定可逆

正确答案：B

参考解析：因为(AB)*=|AB|(AB)T=|A||B|B"T=|B|BV♦|A|AT=B*A*,B正确。

15.【单项选择题】设A是mXn矩阵，且m>n,下列命题正确的是().

A.A的行向量组一定线性无关

B.非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多组解

C.ArA一定可逆

D.A为可逆的充分必要条件是r(A)=n

正确答案：D

参考解析：若A'A可逆，则rWA)=n,因为r(A'AAr(A),所以r(A)=n,反之，

若r(A)=n,因为r(A,A)=r(A),所以A,A可逆，D正确。

16.【单项选择题】设A是n阶矩阵，则下列说法错误的是().

A,对任意的n维列向量有A&=0,则A=0

B.对任意的n维列向量&,有&『A&=0,则A=0

C.对任意的n阶矩阵B,有AB=O,则A=0

D.对任意的n阶矩阵B,有B'AB=O,则A=0

正确答案：B

参考解析：当A是反对称矩阵且A不等于0,即A二-AW0时，则对任意的n维

列向量因LA&是数，故有&%&=(『人&)二「非&=-『人&,得2LA1

=0,CA€=0,但是AW0,选B。

17.【单项选择题】设A,B均为n阶矩阵，且AB=A+B,则下列命题中：

①若A可逆，则B可逆；②若A+B可逆，则B可逆；

③若B可逆，则A+B可逆；④A-E恒可逆.

正确的个数为().

A.1

B.2

C.3

D.4

正确答案：D

参考解析：由(A-E)B=A,可知当A可逆时，|A—E||B|W0,故|B|W0,因此B可

逆，可知①是正确的。

当A+B可逆时，|AB|=|A||B|W0,故⑻#0,因此B可逆，可知②是正确的，

当B可逆时，A可逆，故|AB|=|A||B|W0,因此AB可逆，故A+B也可逆，可知

③是正确的，最后由AB=A+B可知(A-B)B-A=0,也即(A-E)B-(A-E)=E,进一步有

(A-E)(B-E)=E,故A-E恒可逆，可知④也是正确的。所以选D

18.【单项选择题】

一/「AB1\\A\\B\

设A.BC,D都是2X2矩阵,r，=2,则行列式=().

\LCDJ/|C|\D\

A.|A||D|

B.-|B||C|

C.1

D.0

正确答案：D

参考解析：

记0=:[“，则D=|4||。|一|8||。|.若|4|=0且|5|=0,则

D=0.若AW0或B|声0,不妨设1A|工0,则A可逆.因为

「EOFB-rE-A0'

L-CA'1EJLCD--0EJ-LGD-CA'B/

并注意到r(A)=2,r(；:[)=2,所以ND-C4®=0,故D=CA」B.因此

D=|A|ICATBHW<|=|A|\C\―网-网|C|=0.

综上所述,D=0.

19.【单项选择题】

-12r

设A,E都是3阶矩阵，其中A=34a,加一A+B=E，且BHE,r(A+B)=3,则常数

J22一

a=().

7_

A.2-

B.7

13

C.~2

D.13

正确答案：C

参考解析：

由AB-AT8=£,有(4+£)(8E)0•于是r(A+E)+r(8-E)43,

又

3=r(A+B)=r[(A+E)+(B-E)]&r(A+E)+r(B-E),

故r(4+E)+r(B-E)=3.

IF2T

由r(A+E)=rjIL352u」！^2,r(li-E)>1,

故r(A+E)=2•于是

,221

A+E=35a=13-2a=0,得a=笔

123

20.【单项选择题】已知r(A)=r”且方程组Ax=a有解，r(B)=r2,且6丫=自无

解，设人=[&1,a2,…，an],B=[Bi,B2,…，BJ,且r(a”a2,…，a

n,a,Bi,B2,…，3”B)=r,贝lj().

A.r=ri+r2

B.r>ri+r2

C.r=ri+r2+l

D.rWn+n+l

正确答案：D

参考解析：由题设有

r(a1,a2,…，a0，a)=r”r(B”B2,…，Bn,B)=n+1,故r(a”a

2,,,,,an>a,Bj,B2,•••,Bn,B)Wri+r2+10

21.【单项选择题】

设a[1.0.1]T,a-=[1,-1,1]T；P=[3,0,「Tj=[2,0.0]T.

P")22?是R的两个屈片响花作刈.p.p下的坐标为口20-则"E版山.aH

的坐标为().

A.[1,3,3]T

B.[-1,3,3]T

C.[-1,-3,3]T

D.[-1,3,-3]T

正确答案：A

设&在基由，血，依下的坐标为[吃.孙，工3了•由题设可得

丁

[人,怯2=«]a2.a3]x2•

参考解析:0工一

=6，怯，ajp，小，P-2

故《在基a.a;.a下的坐标为［1,3.3：L应选(A).

22.［填空题］:“：，,“'I•$

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析:

【解析】

由Aafl.知，(人)fla3,故小

23.【填空题】设a=(2,-1,3)T,3=(1,2,0)T,A=a0T,E是3阶单位矩

阵，则(A+E)n=.

请查看答案解析后对五题进行判断：答对了答错了

正确答案:

0

0

参考解析：3"6〃1

【解析】

由于A?=(a由于aBT)=a(01a)3T,

[2

Hpa—-1一。♦故AO.

(1.2.0)

n0

02。•则A"-

24.【填空题】

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

2"02l1]

02,0,

参考解析：--02-]

【解析】

2,先求工・找出A。的规律.

101[10111202)

020020-00

101101]202

02"''

即/V=2A♦从而A'=2A*=22A•….A"=2"，A•故A"02"0

2102--1

0-10

设8=100.A=P3P.则A*-2B=

25.【填空题】0o1

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案:

300

030

参考解析：0

【解析】

由A=P'BP,有A2=P'BP・P'BP=P'B2P,一般地，有A"=PHP,所以AJPE'P.

fo0]01

由B00•得60-10,故B(B)sE,所以A

0000

300

PEP£.「是00

00

123

2345

设A，则r(A)

3456

26.【填空题】367.

请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了

正确答案：

参考解析：2

【解析】

利用初等行变换化A为阶梯形，

2342j

3450一1-L

56000

14a00

故r(A)=2.

故<EA)'f-

X4,4,4.4-AE・得(AA).<AA*)(AA'),)=

因A与人•可交换.故(/U.)•-AYAAA1'EE.于是(A

^(A-3E).

由A3A2EO,得A(A3E)=2E.即A・1(A3E)-i

由A?=A.知A?-A-2E+2E=O.即(A+E>(A2E)=-2E.故

(A+E尸=-y(A-2E).

依黑毒・B-E>tA.K为m位矩阵E交换第行后所得的初等矩阵•则

AB-A(EArAiE,.\-E-

27.【填空题】若A・E,n为正整数，则(A*)。：

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：E

【解析】

由A"=E,知|A|n=l.

又A'A=AA，=|AE,得(A4,)"=(AA，)(AA•)…(A4,)=|A|"E.

因A与A•可交换.故(?U•)"二A"(A•尸=IA|”E=£,于是(A，)"=E.

28.【填空题】设方阵A满足A2-3A-2E=0,则A、.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析:RA-3E).

【解析】

利用可逆矩阵的定义.

由浦一3A-2E=O.得A(A-3E)=2E.即A・y(A-3E)=E.故

A-'=j(A-3E).

29.【填空题】设方阵A满足A2=A,则(A+E)'.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：-(A-2E)/2

【解析】

由A?=A,知A?-A-2E+2E=0,即(A+E)(A-2E)=-2E,故(A+E)三一(A-2E)/2

30.【填空题】设A是n阶可逆矩阵，将A的第i行和第j行交换得B,则行列

式|AB」|=

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：~1

【解析】

依题意.8=E,“A・E”，为单位矩阵E交换第"j行后所得的初等矩阵,则

AB1=A(E-A厂

故|ABT=|E“|=T.

31.【填空题】

设存在3的矩阵A・对任。的r.y.s有AJ.则A

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

'001\I

00

参考解析：10

【解析】

交换L2行y交换1.3fj

依题设•有X

V

001

故010010()

1o01

32.【填空题】

设aaa产♦则

k=_______.

请蠡善橐解析后对本题进行判断:答对了答错了

正确答案：

参考解析：「।戒」

【解析】

:

AA=(Eaa)(E+Jaaan4-4aa-iaaaa

而aa2A,故

于是一10.制得k=—1或A=不

33.【填空题】

设A.4星”阶方阵.H3.4*Ji分别/A.B的伴随矩阵《

/AO,-

I.C*=

^()BI

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

A'O

参考解析:()2H

【解析】

由c・rc|E.ffj

CTCIL，％H(oH)

HI/AI)

(I»4-O\<3A-O\

'()IA\B''O21r八

34.【填空题】设A是n阶可逆矩阵，A的每行元素之和均为k,则Z的每行

元素之和均为.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

1

参考解析：广

【解析】

先说明6#0.由已知.将|A的第2,3.….〃列加到第1列,有

4]|On乐卜a12•••au

M|=飞誓…丁=f-2…a2w

••••

anJa„t•••%kac%

由A可逆•故|A|#0•所以k^Q.

将A.ALE写成分块矩阵（以列分块）・.1百

.4=（仆.or；♦A=（p・P.…@E=（e]・e?.・・・・e,）,

由A'A=E.得A1（a：»a；,•”,%）==E=

故Aa=e,（i=1.2/”.〃）.于显

A~la：+A-a-+H-A-a,==A、。】+a+…+a.）

'k'1

1

=A-1.=e+七+…+e・■

*n

ki

ki+良+•••+，）=J：L

即（，”一••,，）f=M]

u

故fltft-+4

T,

即A1的每行元素之和均为1.

k

0100

0010

设A=cc八1，则（E+A）T=_______.

0001

35.【填空题】

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

[1—11—\\

01—11

001--1・

参考解析：,1

【解析】

注意到A的特殊性，

[0010](0001

j0001<10000

—0ooo*—|ooooO.

(00ooI[o000

故E—A£,从而(£»A><E—A+A—A')—E.故

36.【填空题】

ri-201

已知A=213.矩阵B满足BA=B+2E,则(5B)-2B

|012

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正确答案：

参考解析：-2

【解析】

由BA=8+2E有B(AE)=2E.故

B>\AE=,2E\=TE|=8.

0-20

又A-E\=203=4,得|8|=2.所以

011

-B|=(-1)3IB1\=~~.

37.【填空题】

-1-2-21ri28'

已知矩阵劣=1aa和8=23a等价•则a.

a4a122a

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正确答案：

参考解析：W-2

【解析】

AtB<=>r(A)=r(B).

1-2-2128

1aa=d)(a+2),B1=23a=2a-8

4a122a

当a=4时,r(A)=r(B)=2,当a44且a——2时,r(A)=r(B)=3,仅a=-2时,

r(A)=2,r(B)=3,故aW-2时矩阵A和B等价.

38.【填空题】

120

若A=340,则矩阵A的伴随矩阵A•=

005

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正确答案：

~20—100■

-1550

参考解析：00-2

【解析】

按定义，求出行列式A的代数余子式，有

40303

Au20♦A12=-15.Au=0

050500T

A21

A31-■20-100

所以A'=A12A22A32—-1550

.A]3A23・'00-2

--210n

3_2

0

或者，由A'=|A|A：现在|A|=-10.A~2~2

1

00

5.

--210n

3_2■20-100

0

而得A'=-107一1550

100-2

00

5J

39.【填空题】已知(A+E)J(A-2E)3,则A-

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正确答案：

参考解析：E-A

【解析】

由A3+3A2+3A+E=A-6A2+12A-8E

-A2-A=—EfA(E—A)=E

40.【填空题】

*1200

|3o0

四阶矩阵A和B满足=加+6后,若4=（）0,则3=

2

00-10

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正确答案：

■2-400-

-2-200

0022

参考解析：-00-12_

【解析】

化简矩阵方程，矩阵方程两边左乘、右乘A有

2B=BA+6E

于是BC2E-A)=6E

-1-200■

—1—100

所以B=6(2E-A)T=6

002-2

_0012.

_

_200

~3

11「2—4001

■1I■"-i.100

八33-2-200

=6*

J_0022

00

~3~3.00一12.

00

"6~3_

41.【填空题】

133

—132

若矩阵A=,B是三阶非零矩阵•满足AB=O/h=

20/

19z+7

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正确答案：

参考解析：由AB=O得r(A)+r(B)W3,因为r(析》由所以r(A)W2,

又因为矩阵A有两行不成比例,所以r(A)22•于是r(A)=2.

133’133133

—132065065

由A=—►—>得Z=L

20t0一6z—600t—1

19t+706z4-400/—1

23—h

设A=120，则A-1*

2/

42.【填空题】i2——

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正确答案:

参考解析：

23-1100\/I20010

(A:E)=1200100—1—11-20

-12-200r'04-201i

2_21

100

333

/I20010

52

f011—120010

366

00一64-7V

27]_

001

366

4一4—J2

则『=4-25L1

0

——47「J

设4=22尸

5/

43.【填空题】'34

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正确答案：

参考解析:

/I00、

\A|=10,因为A'=|A|所以A'=10A，故(A')'=^A=^

220.

'345/

44.【填空题】设A为n阶可逆矩阵(n22),则E(A*)*「=(用A*表示).

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正确答案：

参考解析：由A=；AA।得

(A*),=|A*|.(A*)-1=|A|--1•(|A|A-1)-1=|A\""2A,

_1T_|A|A-A・

故[(A.厂产：

~lA尸41AI"”'1AI--1

/O0h21/Qi02/O1O\

|仇

010b2b3100

,100,

45.【填空题】ClC2C3'00u

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正确答案:

参考解析：

/00h/01°\

010=E”.100=&2,因为=E“，所以E:=E,

'l0o''o

0V

21

/001\iaxa2a3\/01/«!a2产C2c3

63j11001=E\3bi62=b[bzbj

于是010b}l)i

'10o'V,

c,001C2Ci<2ja2a3

46.【填空题】

1021

设4=>，且存在三阶非零矩阵B,使得AB=O.则a=,b=

10a-2--------------------

114-2.

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参考解析：

102

01-1

Af，因为AB=0,所以r(A)+r(B)43,又BWO,于是

0a-20

006-1故

r(A)W2,从而a=2,b=l.

47.【填空题】已知4阶行列式|A|的第一行元素为1,-2,3,1,余子式

Mu=2,M12=-3,M[3=l,MH=-1,贝IJ|A|=.

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参考解析：0

【解析】

由余子式可得代数余子式分别当A”=2*必=3,Am=1,AU=1•然后根据行

列式的性质计算可得|A|=£>网,=lX2+(-2)X34-3Xl+lXl=0.

48.【填空题】

r-ioooi

100

设A，A，P为4阶矩阵，其中P可逆,A=,4=1，7后\则/°=

00-10------

.000L

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正确答案：

参考解析：E

【解析】

r(-1)10ooo-

0I1000

A11==E.

00(-1)100

0001,0.

因此A10=pfA1°P=P-P=E.

49.【填空题】设A为4阶方阵，A*为其伴随矩阵，若r(A)=2,则

A*=.

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正确答案：

参考解析：0

【解析】

方法一由矩阵A的秩与其伴随矩阵A*的秩的关系知，r(A)=2<3,知r(A*)=O,

故A*=O.

方法二从伴随矩阵的构成直接得出结果.即由于r(A)=2,知A的所有3阶子式

为零，即A『O(i,j=l,2,3,4),所以A*=O.

.AQ=0D,E是3阶单位矩阵,则4-3万+

5E=

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正确答案：

参考解析：

11-1

因为。I=-103=-1工0,所以。是可逆矩阵•从而有A=

0

QDQ

\于是

-1

—1

.0

1-7

一6

0

51.【填空题】

1101FI00'

已知A=12-1010,若有可逆矩阵C,使CTAC=4则。=

0—1L00-5

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正确答案:

「1一1—11

011

参考解析：001

【解析】

00-'I00：100*

72一

101~1;—110

Q-f|

ij

0.0-1-4：