考研数学一参数估计

考研数学一参数估计

1.【单项选择题】

假设总体X的方差DX存在,Xi,….X”是取自总体X的简单随机样本,其均值和方

差分别为_X・S?.则EX的矩估计量是

A.S2+X2.

B.(n—1)S:+X2.

C.nS2+X2.

^=J-s2+x2.

D.

正确答案：D

参考解析：

根据矩估计址的定义确定选项，由于EX2;DX+(EX)2•而DX与EX矩估计

量分别为怨X,—"=千，与氏=生九所以EX2的矩估计量为7S?+¥.

选择(D).

2.【单项选择题】设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为人的指数分

布，其中人＞0未知.从这批器件中任取n(n22)只，并在时刻t=0时投入独立

寿命试验，试验进行到预定时间T。结束，此时有k(0〈k〈n)只器件失效，贝U入的

最大似然估计量I为().

1O"T6

A.Te

1e**To

B.Te

1.n—k

Jin--

D./nk

正确答案：D

参考解析：记T的分布函数为F(t),则

1-e—,/>0,

F〃)=

0.其他.

一只器件在/=0时投入试验，则在时间T以前失效的概率为RT)=1-e

故在时间「未失效的概率为

ST

P｛T>To｝=l-F(To)=e».

考虑事件八=｛试验直至时间「为止，有6只器件失效，”一上只未失效)的概率.

由于各只器件的试验是相互独立的.因此事件A的概率为

L(A)=C(l-e"J(e-

这就是所求的似然函数.取对数得

InL(A)=lnC+Mn(l-e")+("T)(7T).

d[ln1(A)]盯°e"".,

令-^-r--=：——k-(n-k)Tr,=0.

dA-e1T»

得ne=n-k.

所以A的最大似然估计量为

=知口n

3.【单项选择题】设总体x在非负整数集｛0,1,2,…，k｝上等可能取值，k

为未知参数，xl,x2,…，xn为来自总体X的简单随机样本值，则k的最大似

然估计值为().

A.Xn

B.X

C.min{xi,…，xj

D.max{xi,…，xn)

正确答案：D

参考解析：由题意知，X的分布列为

X011•k

1111

P

A+16+1H1%+1

似然而数为

L(.ri\.(04z,46，i=1.2.•••.»).

(«+D,

则InL=-Mn(A+1),故

Ln/c

d-in--=-----<0,

dk计1

又k》©「“，［》工.06》max出,…,工…所以3的最大似然件计值为％=maxE，…，4).

4.【填空题】

X01?

设总体X的概率分布为，其中

P件26(1-。)(1—6)2

计值为.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

9

参考解析：20

【解析】

就有一个参数仇估矩估计量用EX=X.

EX=0・£+1•2夕(1-6)+2・(1一。尸=2(1一夕).

*=！£©=5(5・1+3・2+2・0)=告

11-Q

总之.2(1-6)=苫源=亦

5.【填空题】‘一

设X|,X2・・••,X”为来自正态总体N(iM)的简单随机样本,其中6已知,〃未知,则

参数〃的被大似然估计£=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

lyx,

参考解析：，，1

【解析】

设乃白“为样本观测值,则似然函数

/.(〃)=(2s)

InL（〃）=^-ln（27t（7o）—£（x,.

i,乙曲一,

令瑞=0♦得以£2（乙一〃）=0.从而得"的最大似然估计，=}£X,.

6.【填空题】设总加X的概率密度为

“0<x<l,

/（工）=

h其他，

其中6>—1为参数”是来自总体X的样本观测值,则未知参数6的最大似淤件计值

为______.

请看看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

1

1

-Inj,

参考解析：〃y

【解析】

似然函数为

N

L（ji,必，…;0)=JI(0+1)/=(8+1)”(0・必

n

i-l

取对数得InL=“In（夕+1）+夕〉：In1,,

令曙-舟+E—

解得。的最大似然估计值为

0=-——-----1.

7.【填空题】

设总体x服从均匀分布,其概率密度义工明=/T°•'4'X,x：,….x”为来自总

E其他.

体X的简单随机样本,则总体X的方差DX的最大似然估计景位=.

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正确答案：

参考解析：I'm”

【解析】

记X”X2,…，Xn为样本值，则似然函数为

rr!,0〈莺<小

1.=[[/(莺M='7

10.岫

L关于d是单区递减函机故0=max{XJ是0的最大似然拈计出

KtCw

总体X的方差DXS,由于8>0,S是夕的单调的数,根据此大似然忖计的不变性原理,行

X4*1M

-*-X1]

DX=-02=—(max{XJ)2.

1212ici<«

8.【填空题】Xi是来自正态总体x〜N(O,。9(。>0)的一个简单随机样本，X1

为其样本值，则。2的一个无偏估计量为.

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正确答案：

参考解析：Xi

【解析】

由于EX=0,所以不能用样本一阶原点矩X求一的矩估计优令X：=

F(X2)=DX+(EX)2=/,所以/的以估计ft为乎=X,且E(X；)=DX1+(EX)=/,所以

¥是/的一个无偏估计此

9.【解答题】(I)设总体x的概率分布为

X1123

p子20{1-0)(1-0)1

已知容量为3的样本值为xi=l,X2=2,X3=1,求0的矩估计值和最大似然估计

值.

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参考解析：由

EX-什-2•28(1-初—3(1—8)：=-28+3・

得"・)二异L,故8的矩估计值/二二二乂

一+工；+工3_1+2+14

Xa_.一一一一一-■

333

所以3-之

6

似然函数为L”)7•26(1-020(1一8)・取对数•得

InL(&)=In2+Sin6十ln(19)•

令蛔a=3一丁二二0•胡用&的最大似然估计值为3■

cWftI-«6I

10.【解答题】

［一T>0•

,

设总体X的概.率密度为，(J)=I(0*A1).(A•X•••,.

10.10

XJ为总体X的简单随机样本，求人的矩估计量.

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EX|jr•/(r;A)<Lr|/•2inAdr

a-furd(JT)=—xX4+|A4d-r

A*广=_1

参考解析：In，5/

即EX=一」.解得4=e★•故a的矩估计量知・。号・北中4=L£x.

InAH±7

11.【解答题】

设总体X的概率密度为/(工/)=卜"・'：,1•其中6>0为未知参数.

Io.其他.

(Xl,X2,…，Xn)为X的简单随机样本值.

(I)求。的矩估计值；

(II)求。的最大似然估计值.

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参考解析：(I)由

EX・|x•/(xytf)dx—J1•而.=^3r"^<br——---«

J**J•w+1

M得。=(1空.•故e的距估计值为3・(三)’•

(II)

似然函数为/.”)=立痴产=/(力>,)".取对数，得

〃

8+历-

InIA0)=2-InS1In

din1.(0)

■~z+---、1InJ,=0«

由262品W

阳。的最大似然估计值为6----r-1

(22Inx,

12.【解答题】设X],X2,Xn是来自总体X的简单随机样本，X的概率密度

14RR

为为e',-求•数6的疝估计量8及:

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E(X2)=Jx2/(x)dx=jdx

L2jT**p*

=—e-r