2025北京八一学校高三零模数学（教师版）

第1页/共1页2025北京八一学校高三零模数学2025.03一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合则集合可以是（A）（B）（C）（D）（2）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则（A）（B）（C）（D）（3）设．若，则（A）（B）（C）（D）（4）已知，，，则（A）（B）（C）（D）（5）设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（6）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为若，则

（A）（B）（C）4（D）（7）如图是函数在一个周期内的图像，该图像分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交于另外两点C、D，为x轴上的基本单位向量，则

（A） （B） （C） （D）（8）已知点P是直线上的动点，过点P引圆的两条切线PM,PN，M,N为切点，当的最大值为时，则r的值为（A）4 （B）3 （C）2（D）1（9）如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（A）（B）（C）（D）（10）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则

（A）10（B）40（C）45（D）50二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）的展开式中的系数是____．（12）若数列的前项和，，则满足的的最大值为___.（13）在△中，，，，则△的面积为_______.（14）已知，函数，当时，不等式的解集是

.若函数恰有2个零点，则的取值范围是

.（15）对于给定的数列，如果存在实数p、q，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，数列满足，，=1\*GB3①等差数列是“线性数列”；=2\*GB3②等比数列是“线性数列”；=3\*GB3③若是等差数列，则是“线性数列”；=4\*GB3④若是等比数列，则是“线性数列”；其中正确的有__________．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数，同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期；②的图像可以由的图像平移得到；③函数的最大值为2；④（Ⅰ）请选出这三个条件并说明理由，再求出函数的解析式；（Ⅱ）若曲线的图像只有一个对称中心落在区间内，求a的取值范围．（17）（本小题15分）已知平行四边形ABCD，，，点F是CD的中点．沿AF把进行翻折，使得平面平面（Ⅰ）求证：平面ADF；（Ⅱ）点E是AB的中点，棱CD上一点M使得，求二面角的余弦值．（本小题14分）某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按分组，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求a的值，并估计该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数；(Ⅱ)现从年龄在的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在的人数，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k名市民的年龄在的概率为…，，当最大时，写出k的值．（不用写出理由）（19）（本小题14分）已知函数（Ⅰ）若函数的极值点在内，求m的范围；（Ⅱ）若有两个零点，求m的范围.（20）（本小题15分）已知椭圆的短轴长为2，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且轴，（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）已知直线且与椭圆C交于A，B两点，点A关于原点的对称点为、关于x轴的对称点为，直线与x轴交于点D，若与的面积相等，求m的值.（21）（本小题14分）若实数数列满足，则称数列为“数列”.（Ⅰ）若数列是数列，且，求，的值；（Ⅱ）求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；(Ⅲ)若数列为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值.

参考答案1．【答案】B【解析】逐一验证选项即可得出结果.【详解】已知集合，.对于A选项，，则，不合乎题意；对于B选项，，则，合乎题意；对于C选项，，则，不合乎题意；对于D选项，，则，不合乎题意.2．【答案】C【详解】设点，因为，所以.3．【答案】A【详解】因为，所以，故.4．【答案】B【详解】因为函数在上为减函数，所以，即；又函数在上为增函数，所以；函数在上为增函数，所以，综上可得：.5．【答案】A【详解】分析：由方程为的渐近线为，且渐近线方程为的双曲线方程为，即可得结果.详解：若的方程为，则，渐近线方程为，即为，充分性成立，若渐近线方程为，则双曲线方程为，“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件，故选A.6．【答案】C【详解】由抛物线的定义知：，又，∴△为等边三角形，易知：.故选：C.7．【答案】D【详解】由题意得，，为的中点，，，，，，所以．故选：D．8．【答案】D【详解】由题意知，点在直线上，连接，当时，最大，此时，所以，故，又圆心到直线的距离，所以.故选：D9．【答案】B【详解】因为是正四棱台，，得，，取、中点、，作平面，故侧面与底面所成锐二面角的平面角为，因为，为，所以，所以该四棱台的体积为，故选：B.10．【答案】C【详解】由题知：，，，，，，，，，，则，故选：C11．【答案】15【详解】展开式的通项为，令可得，所以的展开式中的系数是，故答案为：1512．【答案】4【详解】由已知，时，，适合此式，所以，由得，即共4项．最大值为4．故答案为：4．13．【答案】【详解】，即，即，解得或（负值舍去），则.14．【答案】【详解】由得：；由得：，时，不等式的解集为；令得：；令得：或，恰有两个零点，当时，、是的两个零点，满足题意；当时，、、是的三个零点，不合题意；当时，、是的两个零点，满足题意；当时，是的唯一零点，不合题意；综上所述：的取值范围为.故答案为：；.15．【答案】①②④【详解】对于①，数列为等差数列，则，即，满足“线性数列”的定义，①正确；对于②，数列为等比数列，则，即，满足“线性数列”的定义，②正确；对于③，是等差数列，设，则，若是“线性数列”，则，则应有，故不是“线性数列”，③错误；对于④，是等比数列，设首项为，公比为，若时，，则，满足“线性数列”的定义；若时，由，得，，累加的，则，经验证当时，满足，则，若是“线性数列”，则存在实数，使得成立，则，，，则，则，则是“线性数列”，④正确.故答案为：①②④.16．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由题意知条件②：，最大值为，与③矛盾，故②③不能同时成立，则①④必满足，所以，所以，故排除②，所以同时满足①③④．所以，，此时，因为，所以，即，因为，所以，所以；（2）令，，解得，所以的对称中心是，因为曲线只有一个对称中心落在区间，内，所以，所以的取值范围是．17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：在中，，，，由余弦定理知，，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）解：设是的中点，因为，，则为正三角形，则，，且，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴.由题可知，，∴为正三角形，∴.以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，设，则，，，∵，∴，即，解得.∴当点为棱的中点时满足题意，即，设平面的一个法向量为，，，则，取，得，又平面的一个法向量为，∴，由图可知，二面角为锐角，∴二面角的余弦值是.18．【答案】(1)，；(2)分布列见解析，期望为；(3)【详解】（1）由题意，，年龄在间的频率为，而间的频率为，设中位为，则，．所以年龄中位数为，（2）由频率分布直方图知，年龄在，的人员比为，因此抽取的8人中，年龄在的有6人，在的有2人，从这8人中抽取3人，X表示参与座谈的居民的年龄在的人数，则的可能值是，，，，所以的分布列为：012；（3）用样本的频率代替概率，从中任取1名人员，年龄在的概率为，则，由，解得，，所以，所以时，最大．19．【详解】解：（1），令，则，因为函数的极值点在内，所以，解得，故的取值范围为.（2）若，则，所以在上单调递增，故至多一个零点；若，当，则，故在上单调递增，当，则，故在上单调递减，若有两个零点，则，即，令，则构造函数，因为为增函数，，所以当，故，即，综上所述，的取值范围为.20．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为短轴长为2，所以，因为，，所以，，又因为轴，所以，，且，解得，∴.（2），，，联立直线和椭圆方程得，整理得，，，，直线：令，，，，的中点坐标为，由中点在上，可得，，，解得，，所以.21．【答案】（1），；（2）见解析；（3）的取值集合为．【详解】（1）因为是数列，且，所以，所以,所以，解得,所以．（2）假设数列的项都是正数，即，所以，，与假设矛盾．故数列的项不可能全是正数,假设数列的项都是负数，则而,与假设矛盾,故数列的项不可能全是负数．