2024-2025学年河南省周口市高二上册10月月考数学检测试题合集2套（含解析）

2024-2025学年河南省周口市高二上学期10月月考数学检测试题（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(1,1,0)，b=(−1,1,2)，则a⋅A.−1 B.0 C.1 D.22.将直线l1:x−y+1=0绕点(0,1)逆时针旋转90∘得到直线l2，则lA.x+y−2=0 B.x+y−1=0 C.2x−y+2=0 D.2x−y+1=03.圆C1:x2+yA.内含 B.内切 C.外离 D.相交4.若椭圆x2λ+y25=1的右焦点坐标为A.1 B.1或3 C.9 D.1或95.已知O是空间任意一点，A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，若OD=12OA+xOB+yA.12 B.14 C.186.如图，正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为2，M，N分别为AB，BC的中点，则点M到直线PN的距离为(

)

A.153 B.203 C.7.已知函数f(x)=−x,x≥0−x,x<0，若对任意a∈[0,3]，A.[−3,1] B.(−∞,−3]∪[1,+∞)

C.[0,2] D.(−∞,0]∪[2,+∞)8.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥A−BCD，该三棱锥为鳖臑，O1，O2为半圆柱的圆心，半径为2，BD=4，∠AO2C=60∘，动点Q在△ACD内运动(含边界)，且满足BQ=A.2π B.3π C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是A.ω=2 B.φ=π3

C.x=−π6是曲线y=f(x)的一条对称轴 D.10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的体积为8，E，F，G，M分别为AA1，ADA.直线EF与MB为异面直线

B.向量EM在向量FG上的投影向量为12FG

C.若Q为CA1上靠近点A1的四等分点，则4AQ=AB+AD11.设圆C:(x−1)2+(y−1)2=2，直线l:x+y+1=0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为AA.若圆心C到直线AB的距离为22，则|AB|=6

B.直线AB恒过定点(13,13)

C.若线段AB的中点为M，则|PM|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P(A∪B)=__________.13.已知点M(1,−2)，N(0,−2)，P是直线l:x+2y−2=0上一点，则|PM|+|PN|的最小值为__________.14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(0<b<a≤3b2)的左，右焦点分别为F1，F2，过原点的直线与四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(1−(1)求角A的大小;(2)若a=27，b=2，角A的平分线交BC于点D，求线段AD的长16.(本小题12分)已知圆C的圆心在y轴上，且经过点A(2,0)，B(1,3).(1)求圆C的标准方程;(2)若圆C上存在一点P满足△ABP的面积为5，求直线BP的方程.17.(本小题12分)

图1是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，E，F，E1，F1分别是CD，AD，C1D1，A1D1的中点，截去三棱柱EDF−E1D1F1和三棱柱BCE−B1C1(1)求线段FM的长;(2)求平面A1B1G与平面18.(本小题12分)在直角坐标系xOy中，点E1(−2,0)，E2(2,0)，动点T(x,y)(1)求Γ的方程，并说明Γ是什么曲线;(2)过左焦点F1且与坐标轴不垂直的直线l，与曲线Γ相交于A，B两点，AB的中点为M，直线OM与曲线Γ相交于C，D两点.求四边形ACBD面积的取值范围.19.(本小题12分)已知集合S={1,2,3,⋯,n}，n为正整数且n≥5，M为集合S的子集，记card(M)表示集合M中元素的个数.(1)当n=5时，card(M)=4，请写出满足条件的集合M;(2)当n=15时，对任意的x，y，z∈M，(x,y,z可以相同)，都有x+y+z∉M，求card(M)的最大值;(3)若M1，M2，⋯，Mn，Mn+1均为S的子集，且card(Mi)=3(1≤i≤n+1)答案和解析1.【正确答案】B

【分析】本题考查空间向量的数量积运算，属于基础题。

由空间向量的数量积运算法则求解即可.

解：因为a=(1,1,0)，b=(−1,1,2)，

所以

a⋅2.【正确答案】B

【分析】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．

因为l2过(0,1)且直线l2与直线l1

解：由题知，点(0,1)在直线l2上，逆时针旋转90∘，

直线l2与直线l1垂直，斜率为−1，

则直线l2的方程为y−1=−x−0，

所以直线3.【正确答案】D

【分析】本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题.

由圆的标准方程可得r1，r2及两圆心之间的距离，与两半径比较即可得圆C1与圆

解：圆

C1:x2+y2=4的圆心

C1(0,0)，半径

r1=2，

圆

C2:(x−2)2+(y−3)2=9的圆心4.【正确答案】C

【分析】本题考查椭圆的焦点，属于基础题.

利用椭圆的方程，通过焦点坐标为(2,0)，求解λ即可．

解：椭圆

x2λ+y25=1λ>0的右焦点坐标为(2,0)，

5.【正确答案】C

【分析】本题考查了空间向量基本定理的应用，利用基本不等式求最值，属于基础题.

x+y+12

解：∵O为空间任意一点，A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，

OD=12OA+xOB+yOC，

∴x+y+12=1⇒x+y=16.【正确答案】A

【分析】本题主要考查利用空间向量求点线之间的距离，线面垂直的判定，余弦定理，线面垂直的性质，属于中档题.

方法一：建立空间直角坐标系，求向量

MN

在

PN

上的投影的大小，再求点M到直线PN的距离；方法二：利用余弦定理解三角形即可；

方法三：AC∩BD=O，连接MO，过O作OH⊥PN于H，易证PN⊥平面OMH，则线段MH长就是点M到直线PN的距离.

解：方法一：正四棱锥P−ABCD的棱长均为2，M，N分别为AB，BC的中点，

记AC∩BD=O，根据正四棱锥的性质可得，点P在底面ABCD的投影为点O，即PO⊥底面ABCD，

而AO，OB⊂底面ABCD，故PO⊥AO，PO⊥OB，

而由底面ABCD为正方形的性质可得，AO⊥OB，

故建立如图所示的空间直角坐标系，

正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为2，则AC=BD=22，

则AO=OC=OD=OB=OP=2，

则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(−2,0,0)，

P(0,0,2)，M(22,22,0)，N(−22,22,0)，MN=(−2,0,0)，

PN=(−22,22,−2)，记μ=PN|PN|=(−66,66,−63)，7.【正确答案】B

【分析】本题主要考查利用函数的单调性解不等式，属于中档题.

先把f(a−x2)≥2f(x)转化为f(a−x2

解：由题可知，f(x)=−x,x≥0−x,x<0，

所以f(a−x2)≥2f(x)可转化为f(a−x2)≥f(2x)，

而f(x)在R上单调递减，

所以a−x8.【正确答案】A

【分析】本题考查圆柱、棱锥的结构特征，属于中档题.

根据已知得到△ABD为等腰直角三角形，过M向DC作垂线，垂足为N，得到点Q在以M为圆心，2为半径的半圆上，求解即可

解：由题可知AO2=2，AB=4，△ABD为等腰直角三角形.

则AD=42，AC=23，

∵动点Q在△ACD内运动，BQ=10，过点B向AD作垂线，垂足为点M，BM=22，

因为AC⊥AB，AC⊥BD，BD∩AB=B，BD，AB⊂平面ABD，

则AC⊥平面ABD，又AC⊂平面ACD，则平面ACD⊥平面ABD，

又平面ACD∩平面ABD=AD，BM⊂平面ABD，所以BM⊥平面ADC，

则DC=32+12=211

MQ=BQ2−BM2=2，9.【正确答案】AD

【分析】本题主要考查由部分图象求三角函数解析式，正弦型函数性质，属于基础题.

根据图象可得ω，φ，依此结合选项判断即可.

解：对于A选项，A=2，12T=11π12−5π12=π2，T=π，ω=2，A正确;

对于B选项，将点(5π12,−2)代入解析得，−2=2cos(2×5π12+φ)，又φ<π2，

解得φ=π6，B错误;

对于C选项，令2x+π6=kπ，k∈Z10.【正确答案】ABC

【分析】本题主要考查空间向量的投影向量、线面平行的向量表示等，属于中档题.

分别利用空间中直线与直线的位置关系、空间向量的投影向量、空间向量的线性运算、线面平行的向量表示等一一判断即可.

解：对于A选项，过E，M，B三点在同一个平面，F在平面外，

直线EF与MB为异面直线，A正确;

对于B选项，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

因为正方体ABCD−A1B1C1D1的体积为8，所以正方体的棱长为2，

所以E(2,0,1)，F(1,0,0)，G(0,2,1)，M(2,1,2)，

EM=(0,1,1)，FG=(−1,2,1)，

则向量EM在向量FG上的投影向量为：EM⋅FG|FG|⋅FG|FG|=12FG，故B正确;

对于C选项，AQ=AA1+14A1C=AA1+14(A1A+AB+BC)，

变形得4AQ=AB+11.【正确答案】ABD

【分析】本题主要考查圆的切点坐标、切线长、直线与圆的位置关系中的最值问题等，属于中档题.

利用题目给出的条件，结合圆的切点坐标、切线长、直线过定点问题、直线与圆的位置关系中的最值问题等一一判断即可.

解：对于A选项，圆C的圆心为(1,1)，半径为2，|AB|=2R2−d2=6，故A正确;

对于B选项，圆C:(x−1)2+(y−1)2=2①，

设点P(t,−1−t)，以CP为直径的圆的方程为(x−1)(x−t)+(y−1)(y+1+t)=0，

化简为x2−(t+1)x+y2+ty−1=0②，

②-①得切点弦AB的方程为t(x−y)+1−x−2y=0，与t无关，

得x−y=01−x−2y=0，解之得x=13y=13，B正确;

对于C选项，在△ABC中，CA=CB，M为中点，则CM⊥AB，

又直线AB恒过定点E(13,13)，所以一定有CM⊥ME，

即点M在以CE为直径的圆(x−1)(x−13)+(y−1)(y−13)=0上，

即M是圆心为C'(23,23)，半径为23的圆上的点.

又点P12.【正确答案】0.7

【分析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.

利用任意两个事件的和事件的概率计算公式以及相互独立事件的概率乘法公式即可求解.解：因为事件A与事件B相互独立，P(A)=0.4，P(B)=0.5，所以P(AB)=0.4×0.5=0.2，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.4+0.5−0.2=0.7.13.【正确答案】5

【分析】本题考查点、直线间的对称问题，两点之间的距离公式，属于基础题.

求出

M(1,−2)关于直线l:x+2y−2=0对称的点M'的坐标，利用|PM|+|PN|≥|M'N|即可求解.

解：M(1,−2)，N(0,−2)两点在直线

l:x+2y−2=0的同一侧.

设M(1,−2)关于直线l:x+2y−2=0对称的点的坐标为M'(x',y')，

则y'+2x'−1×(−12)=−1,x'+12+2×y'−22−2=0,解得M'(3,2)，

由对称性可得|PM|=|PM'|14.【正确答案】5【分析】本题考查椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义，属于中档题.

由题意可得四边形MF1NF

解：由题意，0<b<a≤3b2⇒ba≥23⇒(ba)2≥49，

所以离心率e=c2a2=a2−b2a2=1−b2a2≤59=53①.

如图，连接MF2，NF2，因为MF1⋅NF1=0⇔∠MF1N=90∘，

故四边形MF1NF2为矩形.15.【正确答案】解：(1)因为b(1−cosA)=3asinB，

由正弦定理可得sinB(1−cosA)=3sinAsinB.

又因为B∈(0,π)，则sinB≠0，

所以1−cosA=3sinA.整理得2sin(A+π6)=1，即sin(A+π6)=12.

因为A∈(0,π)，所以A+π6∈(π6,7π6)，

所以A+π6=5π6，所以A=2π3.

(2)在△ABC中，本题主要考查正、余弦定理，属于中档题.

(1)由正余弦定理及辅助角公式，结合角的范围可得解；

(2)方法1，由余弦定理及等面积法，可得线段AD的长.

方法2，由余弦定理及内角平分线定理，可得线段AD的长.16.【正确答案】解：(1)由题意，设圆C的标准方程为x2+(y−b)2=r2，

圆C经过点A(2,0)，B(1,3)，则4+b2=r21+(3−b)2=r2⇒b=1r2=5，

故圆C的标准方程为x2+(y−1)2=5.

(2)解法一：直线AB的斜率为3−01−2=−3，

所以直线AB的方程为y=−3x−2，即3x+y−6=0，

|AB|=2−12+0−32=10，

由S△ABP=5得点P到直线AB的距离d=2×510=10，

设P(x0,y0)，则|3x0+y0−6|10=10x02+(y0−1)2=5，

解得x0=−2y0=2或x0=−1y0=−1即P(−2,2)或P(−1,−1)，

当P(−2,2)时，直线BP的方程为x−3y+8=0，

当P(−1,−1)时，直线BP的方程为2x−y+1=0，

综上直线BP的方程为x−3y+8=0或2x−y+1=0.

解法二：直线AB的方程为3x+y−6=0，|AB|=10，

点P到直线AB的距离为d=2×510=10，

则将直线AB沿着与AB垂直的方向平移10个单位即可，

此时该平行线与圆的交点即为点P，设该平行线的方程为3x+y+C=0，

则|C+6|10=10，解得C=4或C=−16，

当C=4时，联立本题考查圆的方程的，圆中三角形的面积，属于中档题．

(1)设圆C的标准方程为x2+(y−b)2=r2，求出b和r，进一步求出圆的方程；

17.【正确答案】解：(1)在下图中，延长BA与EF相交于K，延长B1A1与E1F1相交于K1，

延长BH与K1K相交于I，连接GI交F1F于M，

由△ABH∽△KBI，

得AHBA=KIBK，求得KI=32，MF=12(KI+EG)=54.

(2)在下图中，以A为坐标原点，分别以AF，AB，AA1所在直线为x，y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，

平面α即平面BGH(尽量用已知点)，

则B(0,2,0)，G(2,1,1)，H(0,0,1)，HG=(2,1,0)，HB=(0,2,−1)，

设面α的法向量是m=(x,y,z)，有m⋅HG=2x+y=0m⋅HB=2y−z=0，

令y=2，则x=−1，z=4，m=(−1,2,4)，A1(0,0,2)，B本题主要考查平面与平面所成角的向量求法等，属于中档题.

(1)延长BA与EF相交于K，延长B1A1与E1F1相交于K1，延长BH与K1K相交于I，连接GI交

F1F于M，然后利用△ABH∽△KBI，得到KI=32，MF=12(KI+EG)=54.

(2)以A为坐标原点，分别以18.【正确答案】解：(1)直线TE1的斜率为yx+2(x≠−2)，直线TE2的斜率为yx−2(x≠2)，

由题意可知：yx+2⋅yx−2=−12⇒x2+2y2=2(x≠±2)，

所以曲线Γ是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆，

其方程为x22+y2=1(x≠±2).

(2)直线l的斜率存在且不为0，设l:y=k(x+1)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0).

联立x22+y2=1本题考查点的轨迹的求法，以及四边形面积的最大值的求法，属较难题.

(1)利用直线的斜率公式可得轨迹方程;

(2)设l:y=k(x+1)(k≠0)，四边形ACBD面积S=2219.【正确答案】解：(1)∵card(M)=4，S={1,2,3,4,5}，

∴集合M有：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}，{2,3,4,5}.

(2)取M={6,7,8,9,⋯,15}，对于任意的x，y，z∈M，满足x+y+z∉M，card(M)=10，

当card(M)<10时，集合M中的元素取从大到小对应card(M)的个数，均成立，

下证当11≤card(M)≤15不成立，作三元子集M0={5,10,15}，Mk={k,10−k,10+k}(k=1,2,3,4)，

则S=M0∪M1∪M2∪M3∪M4，

对S的任意一个11元子集S1，必包含某个Mk，

若M0⊆S1，则有15=5+5+5成立，与x+y+z∉S1矛盾；

若Mk⊆S1(k=1,2,3,4)，则元素10+k=k+k+(10−k)与x+y+z∉S1矛盾，

∴card(M)的最大值为10；

(3)(反证法)假设对任意的i<j，card(Mi∩Mj)=2或card(Mi∩Mj)=0，

①若card(Mi∩Mj)=0，三元子集至少有n+1个，与元素只有n个矛盾，

②若card(Mi∩Mj)=2，若card(M本题主要考查集合新定义，属于难题.

(1)根据题意，把M的集合一一列举出来即可求解；

(2)分card(M)=10，card(M)<10时，和11≤card(M)≤15三种情况分别证明即可；

(3)利用反证法，分别证明当card(Mi∩M2024-2025学年河南省周口市高二上学期10月月考数学检测试题（二）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设直线的倾斜角为，则（）A.B.C.D.2.已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（）A.B.C.1D.23.已知直线与平行，且过点，则（）A.B.3C.D.24.如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则（）A.B.C.D.5.已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（）A.B.C.D.6.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（）A.B.C.D.7.已知实数满足，且，则的取值范围为（）A.B.C.D.8.在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知空间向量，且，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.10.下列说法正确的是（）A.任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率B.若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为C.不能表示过点且斜率为的直线方程D.设，若直线与线段有交点，则的取值范围是11.如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（）A.点的轨迹长度为B.点到平面的距离是定值C.直线与平面所成角的正切值的最大值为D.的最小值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为__________.13.已知向量，若共面，则__________.14.如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）已知的顶点坐标为.（1）若点是边上的中点，求直线的方程；（2）求边上的高所在的直线方程.16.（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与直线的夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且.（1）求证：四边形为正方形；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）已知直线与坐标轴形成的三角形的面积为.（1）当时，求直线的方程；（2）针对的不同取值，直线构成集合，讨论集合中的元素个数.19.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角的正弦值为.①求的长；②求平面与平面的夹角的余弦值.答案､提示及评分细则题号12345678答案ABDACCDB题号91011答案ABDACBCD一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【正确答案】A因为直线的斜率为，由斜率和倾斜角的关系可得，又，.故选A.2.【正确答案】B因为，所以，所以，解得.故选B.3.【正确答案】D因为直线与直线平行，，解得，直线过，则得，经验证与不重合，.故选D.4.【正确答案】A因为为的重心，所以，又点是线段上的一点，且，所以.故选A.5.【正确答案】C点关于对称的点设为，则，反射光线经过点，则反射光线所在的直线方程为，即，故选C.6.【正确答案】C取的中点，则，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，所以在上的投影的长度为，故点到直线的距离为.故选C.7.【正确答案】D由于点满足关系式，且，可知在线段上移动，且，，设，则，因为点在线段上，所以的取值范围是，故选D.8.【正确答案】B延长至点，使得，所以，又由，所以四点共面，所以的最小值为点到平面的距离，又点是的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，又，易得点到平面的距离为，所以的最小值为.故选B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【正确答案】ABD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分），故A正确；，设，故B正确；，故C错误；，故D正确.故选ABD.10.【正确答案】AC（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率，这句话正确，故A正确；若直线的斜率为，此时的倾斜角为，故B错误；C中，故不能表示经过点的方程，故C正确；直线过定点，所以或，解得的范围为，故D错误，故选AC.11.【正确答案】BCD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）因为，即，所以，即点在底面内是以为圆心､半径为1的圆上，所以点的轨迹长度为，故A错误；在正方体中，，又平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，又平面，所以点到平面的距离是定值，故B正确；因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为，所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大，又，所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故C正确；到直线的距离为，当点落在上时，，故D正确.故选BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【正确答案】或设在轴､轴上的截距均为，若，即直线过原点，设直线为，代入，可得，所以直线方程为，即；若，则直线方程为，代入，则，解得，所以此时直线方程为；综上所述：所求直线方程为或.13.【正确答案】5因为共面，所以存