陕西省石泉县高中数学 第二章 函数 2.2 对函数的进一步认识 2.2.3 映射教学实录 北师大版必修1

陕西省石泉县高中数学第二章函数2.2对函数的进一步认识2.2.3映射教学实录北师大版必修1授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容陕西省石泉县高中数学第二章函数2.2对函数的进一步认识2.2.3映射教学实录北师大版必修1

教学内容包括映射的概念、性质、分类，以及映射与函数的关系。具体内容包括映射的定义、映射的性质（单射、满射、双射），映射的分类（一一对应映射、非一一对应映射），以及映射与函数的关系。通过本节课的学习，使学生掌握映射的基本概念和性质，理解映射与函数的关系，为后续学习函数的性质和图像打下基础。核心素养目标培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过本节课的学习，学生能够理解映射的本质，发展数学抽象能力；通过分析映射的性质，提升逻辑推理和数学建模能力；通过图形直观，增强直观想象能力；通过计算和证明，提高数学运算能力；通过实例分析，培养数据分析能力。教学难点与重点1.教学重点

-理解映射的概念：重点在于帮助学生明确映射的定义，即集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应。

-掌握映射的性质：强调单射、满射和双射的定义和区别，通过具体例子让学生理解这些性质在实际中的应用。

-映射与函数的关系：重点在于区分映射和函数，理解函数是映射的一种特殊形式，即一一对应映射。

2.教学难点

-映射性质的直观理解：学生可能难以直观地理解单射、满射和双射的概念，需要通过具体的例子和图形来帮助学生理解。

-映射性质的证明：在证明映射的性质时，学生可能难以找到合适的证明方法，需要引导学生运用逻辑推理和集合论的基本原理。

-映射与函数的区分：学生可能混淆映射和函数的概念，需要通过对比分析，让学生理解两者的区别，特别是在一一对应映射的情况下函数的特性。

-应用映射解决实际问题：将映射的概念应用于解决实际问题，如编码问题、密码学等，学生可能难以将理论知识与实际问题相结合，需要通过实例分析和讨论来提高学生的应用能力。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版必修1的教材，以便查阅函数和映射的相关章节。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表和视频，如集合的表示方法、映射关系的图形表示等，以增强直观理解。

3.实验器材：准备白板或黑板，以及教学用图，用于绘制集合和映射关系的示意图。

4.教室布置：设置小组讨论区，以便学生在讨论映射性质和应用时进行互动，并确保教室光线充足，便于学生观察图表。教学过程设计（一）导入环节（5分钟）

1.情境创设：展示一组生活中的映射实例，如电话号码与主人对应、身份证号码与个人身份对应等。

2.提出问题：引导学生思考什么是映射，映射在日常生活中有哪些应用。

3.学生回答：邀请学生分享他们的看法，教师总结并引出映射的概念。

（二）讲授新课（15分钟）

1.映射的定义：介绍映射的概念，通过实例讲解映射的本质，如集合A中的每个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应。

2.映射的性质：讲解单射、满射和双射的定义，通过实例说明这些性质，如电话号码与主人的对应关系是单射，身份证号码与个人身份的对应关系是满射。

3.映射与函数的关系：讲解函数是映射的一种特殊形式，即一一对应映射，通过实例让学生理解两者的区别。

4.教师讲解：通过板书和多媒体展示，详细讲解映射的性质和函数的关系。

（三）巩固练习（10分钟）

1.练习题：布置一些关于映射性质和函数关系的练习题，如判断一个映射是否为单射、满射或双射，以及求解映射的值域和定义域。

2.学生练习：学生独立完成练习题，教师巡视指导。

3.答疑解惑：学生提交练习题，教师点评并解答学生的疑问。

（四）课堂提问（5分钟）

1.提出问题：教师提出一些关于映射性质和函数关系的问题，如如何判断一个映射是否为满射？

2.学生回答：邀请学生回答问题，教师总结并点评。

（五）师生互动环节（5分钟）

1.分组讨论：将学生分成小组，讨论如何将映射的概念应用于解决实际问题，如编码问题、密码学等。

2.小组分享：每组派代表分享讨论成果，教师点评并总结。

（六）核心素养拓展（5分钟）

1.教师总结：回顾本节课的核心知识，强调数学抽象、逻辑推理等核心素养的重要性。

2.学生反思：引导学生反思自己在学习过程中的收获和不足，鼓励学生将所学知识应用于实际问题。

（七）总结与作业布置（5分钟）

1.总结：教师对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

2.作业布置：布置与映射相关的作业，如完成教材上的练习题、思考映射在生活中的应用等。

教学时间总计：45分钟

备注：本教案设计注重师生互动，通过情境创设、小组讨论等方式，激发学生的学习兴趣和求知欲。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，根据学生的实际情况调整教学进度和难度。教学资源拓展1.拓展资源

-集合论基础：介绍集合的基本概念，如集合的运算（并集、交集、差集、补集）、子集、真子集等，为理解映射的概念打下坚实的基础。

-映射的应用：探讨映射在实际生活中的应用，如数据库中的键值对、数学建模中的变量关系、经济学中的供需关系等。

-函数的性质：深入研究函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，与映射的性质进行对比，加深对函数本质的理解。

-对称性：介绍几何中的对称性概念，如中心对称、轴对称等，与映射的性质相结合，探讨映射的对称性。

-映射的逆映射：讲解逆映射的定义和性质，通过实例分析逆映射的存在条件，探讨逆映射在实际问题中的应用。

2.拓展建议

-阅读推荐书籍：《集合论基础》（作者：A.H.Clifford）、《数学建模导论》（作者：L.L.Blume）等，以深入了解相关理论知识。

-实践活动：组织学生进行小组项目，要求他们选择一个实际生活场景，应用映射的概念解决问题。

-课后练习：鼓励学生完成以下练习：

-分析给定的一组映射，判断其是否为单射、满射或双射。

-设计一个简单的映射，并找出其逆映射。

-探讨映射在实际生活中的应用，如城市地图的符号系统。

-网络资源：推荐使用数学教育网站和论坛，如“数学之友”、“数学天地”等，获取更多相关资源和教学经验。

-视频资料：观看相关的教学视频，如“函数与映射的基础知识”等，通过视觉方式加深对概念的理解。

-比赛和竞赛：鼓励学生参加数学竞赛或相关比赛，如数学建模竞赛、数学奥林匹克等，提高数学应用能力和创新思维。

-学术交流：鼓励学生参加学术会议或研讨会，与同行交流学习心得，拓宽知识视野。典型例题讲解例题1：设集合A={1,2,3}，集合B={a,b,c}，定义映射f：A→B，其中f(1)=b，f(2)=c，f(3)=a。判断映射f是否为单射、满射或双射。

解答：由于f(1)=b，f(2)=c，f(3)=a，集合A中的元素1,2,3分别映射到集合B中的元素b,c,a，且没有两个不同的元素在集合A中映射到集合B中的同一个元素，因此映射f是单射。同时，集合B中的元素a,b,c都至少被集合A中的一个元素所映射，因此映射f是满射。由于映射f既是单射又是满射，所以它是双射。

例题2：设集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x^2-3x+2=0}，定义映射f：A→B，其中f(x)=x^2-3x+2。判断映射f是否为单射、满射或双射。

解答：首先，计算集合B的元素，解方程x^2-3x+2=0得到x=1或x=2。因此，集合B={1,2}。对于集合A中的元素1和2，计算f(1)=1^2-3*1+2=0，f(2)=2^2-3*2+2=0。由于f(1)=f(2)，映射f不是单射。但是，集合B中的每个元素都被集合A中的一个元素所映射，因此映射f是满射。由于映射f不是单射，所以它不是双射。

例题3：设集合A={x|x≠0}，集合B={y|y^2=1}，定义映射f：A→B，其中f(x)=x^2。判断映射f是否为单射、满射或双射。

解答：集合B的元素是y=1或y=-1。对于集合A中的任意非零实数x，计算f(x)=x^2，无论x是正数还是负数，x^2总是非负的。因此，f(x)可以取到集合B中的两个元素1和-1。由于f(1)=f(-1)，映射f不是单射。但是，集合B中的每个元素都被集合A中的一个元素所映射，因此映射f是满射。由于映射f不是单射，所以它不是双射。

例题4：设集合A={x|0≤x≤1}，集合B={y|y≥0}，定义映射f：A→B，其中f(x)=x。判断映射f是否为单射、满射或双射。

解答：对于集合A中的任意元素x，映射f(x)=x直接将x映射到集合B中对应的元素。由于集合A中的不同元素映射到集合B中的不同元素，映射f是单射。同时，集合B中的每个非负实数y都可以在集合A中找到一个元素x使得f(x)=y，因此映射f是满射。由于映射f既是单射又是满射，所以它是双射。

例题5：设集合A={x|x∈R且x≠0}，集合B={y|y=1/x}，定义映射f：A→B，其中f(x)=1/x。判断映射f是否为单射、满射或双射。

解答：对于集合A中的任意非零实数x，映射f(x)=1/x将x映射到集合B中对应的元素。由于集合A中的不同元素映射到集合B中的不同元素，映射f是单射。但是，集合B中的元素0不能在集合A中找到一个元素x使得f(x)=0（因为x不能为0），因此映射f不是满射。由于映射f不是满射，所以它不是双射。教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生出勤率：检查学生出勤情况，确保课堂活动顺利进行。

-学生参与度：观察学生在课堂上的参与情况，包括提问、回答问题和参与讨论的积极性。

-学生专注度：通过学生的眼神交流、笔记情况和课堂活动中的表现来评估学生的专注度。

2.小组讨论成果展示：

-小组分工与合作：评价学生在小组讨论中的分工合作情况，是否每个成员都能积极参与。

-讨论内容：检查小组讨论的内容是否围绕主题展开，是否深入理解了映射的概念和性质。

-讨论成果：评估小组讨论的成果，如是否能正确应用映射的知识解决实际问题。

3.随堂测试：

-测试题目：设计随堂测试题目，包括选择题、填空题和简答题，涵盖本节课的重点内容。

-测试反馈：收集学生的测试答案，及时给予反馈，帮助学生识别错误并理解正确答案。

-评分标准：根据评分标准对学生的测试成绩进行评估，确保评价的客观性和公正性。

4.学生自我评价：

-学习目标达成情况：引导学生反思自己在本节课中是否达到了学习目标。

-学习困难点：询问学生在学习过程中遇到的困难，了解学生需要进一步指导的地方。

-学习改进措施：鼓励学生提出改进学习的措施，如增加练习、寻求同学或教师帮助等。

5.教师评价与反馈：

-教学目标达成度：评价本节课的教学目标是否达成，如学生对映射概念的理解和