2023七年级数学下册 第六章 概率初步 3 等可能事件的概率第3课时 计算与面积相关的事件的概率教学实录 （新版）北师大版

2023七年级数学下册第六章概率初步3等可能事件的概率第3课时计算与面积相关的事件的概率教学实录（新版）北师大版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计思路本课时以计算与面积相关的事件的概率为主题，结合七年级数学下册第六章内容，通过实际操作和小组合作，引导学生深入理解等可能事件的概率概念，提高学生运用概率知识解决实际问题的能力。课程设计注重理论与实践相结合，注重培养学生的逻辑思维和动手操作能力，使学生在轻松愉快的氛围中掌握知识。核心素养目标分析培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过本节课的学习，学生能够理解概率的直观意义，发展几何直观能力；通过解决实际问题，提升逻辑推理和数学建模能力；通过计算和验证，提高数学运算的准确性和效率；通过合作学习，培养团队合作和交流能力。重点难点及解决办法重点：等可能事件的概率计算方法，特别是与面积相关事件的概率计算。

难点：理解概率与面积关系，将面积比转化为概率比，以及解决复杂实际问题中的概率计算。

解决办法：

1.重点：通过实际操作和几何图形的面积计算，帮助学生直观理解概率与面积的关系，通过多次练习巩固计算方法。

2.难点：通过小组讨论和教师引导，帮助学生建立面积比与概率比之间的联系，利用面积模型解决实际问题。对于复杂问题，提供逐步分解的策略，引导学生分步计算，逐步突破难点。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过清晰的讲解，帮助学生建立概率概念和面积关系的理论基础。

2.讨论法：组织学生小组讨论，鼓励学生提出问题，分享解题思路，培养合作学习的能力。

3.实验法：利用几何图形和面积模型进行实际操作，让学生通过动手实践体验概率计算的过程。

教学手段：

1.多媒体展示：使用PPT展示几何图形和概率计算步骤，提高直观性和可理解性。

2.教学软件：利用几何绘图软件，让学生亲自操作，直观演示面积与概率的关系。

3.案例分析：通过实际案例的分析，让学生理解概率计算在现实生活中的应用。教学过程一、导入新课

（老师）同学们，上节课我们学习了概率初步的知识，了解到概率是描述随机事件发生可能性的大小。今天我们要继续学习的是等可能事件的概率，特别是与面积相关事件的概率。请大家翻开课本，找到第六章的相关内容，我们一起来回顾一下。

（学生）好的，老师。

二、新课讲授

1.概念回顾

（老师）首先，让我们回顾一下等可能事件的概率的概念。等可能事件是指在相同条件下，每个事件发生的概率相等。比如，掷一枚公平的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是多少呢？

（学生）都是1/2。

（老师）很好，那么，如果我们将一枚硬币连续掷两次，可能出现的结果有哪些？每种结果出现的概率是多少呢？

（学生）可能出现的结果有四种：正正、正反、反正、反反。每种结果出现的概率都是1/4。

2.面积与概率的关系

（老师）接下来，我们来探讨一下面积与概率的关系。请大家看课本上的图6-3，这是一个正方形的面积模型。在这个模型中，每个小正方形的面积相等，代表一个等可能事件。

（学生）我明白了，每个小正方形的面积越小，代表的事件发生的可能性越小。

（老师）非常好。那么，如果我们要计算一个与面积相关的事件的概率，应该怎么做呢？

（学生）我们可以用这个事件的面积除以总面积来计算。

（老师）正确。那么，请大家看课本上的例题，我们来一起计算一下。

3.实际问题解决

（老师）现在，我们来解决一个实际问题。假设我们有一个长方形，长为8厘米，宽为5厘米，我们要计算在这个长方形内随机选取一个点，这个点位于长方形左下角三角形内的概率。

（学生）首先，我们需要计算出这个三角形的面积。三角形的面积公式是底乘以高除以2，这里的底是5厘米，高是8厘米，所以三角形的面积是20平方厘米。

（老师）很好，那么，接下来我们计算这个事件的概率。

（学生）长方形的面积是8厘米乘以5厘米，等于40平方厘米。所以，这个点位于三角形内的概率是20平方厘米除以40平方厘米，等于1/2。

（老师）正确，答案就是1/2。这个例子告诉我们，通过计算面积比，我们可以很容易地得到概率。

三、课堂练习

1.基础练习

（老师）请大家完成课本上的练习题，巩固今天所学的知识。

（学生）好的。

2.应用练习

（老师）接下来，我们来做一些应用练习。请大家根据课本上的例题，自己设计一个与面积相关的事件，并计算其概率。

（学生）我设计了一个问题：在一个边长为6厘米的正方形内，随机选取一个点，这个点位于正方形内切圆内的概率是多少？

（老师）很好，我们来计算一下。首先，需要知道内切圆的半径。由于正方形的对角线等于边长的√2倍，所以对角线长度是6厘米乘以√2，即6√2厘米。内切圆的直径等于正方形的边长，所以半径是6厘米除以2，即3厘米。

（学生）接下来，我们计算圆的面积和正方形的面积，然后用圆的面积除以正方形的面积，得到概率。

（老师）很好，请大家独立完成这个计算。

（学生）圆的面积是π乘以半径的平方，即π乘以3厘米的平方，约等于28.27平方厘米。正方形的面积是6厘米乘以6厘米，等于36平方厘米。所以，这个点位于圆内的概率是28.27平方厘米除以36平方厘米，约等于0.79。

（老师）非常好，答案约等于0.79。

四、课堂小结

（老师）今天我们学习了等可能事件的概率，特别是与面积相关事件的概率。通过计算面积比，我们可以得到概率。希望大家在课后能够继续练习，巩固所学知识。

（学生）好的，老师。

五、布置作业

1.完成课本上的练习题。

2.设计一个与面积相关的事件，并计算其概率。

（学生）好的，老师。

六、课堂评价

（老师）今天的课堂表现不错，大家都能积极参与讨论，独立完成练习。希望同学们在课后能够认真完成作业，继续提高自己的数学能力。

（学生）谢谢老师，老师再见！

（老师）再见，同学们！学生学习效果学生学习效果：

1.理解概率概念：学生在学习过程中，通过实例分析和模型演示，对概率的概念有了深入的理解，能够区分必然事件、不可能事件和可能事件，并能够计算等可能事件的概率。

2.掌握面积计算方法：学生通过实际操作和几何图形的面积计算，掌握了面积的计算方法，能够将面积比转化为概率比，为计算与面积相关事件的概率打下坚实的基础。

3.提高逻辑推理能力：在解决与面积相关的事件概率问题时，学生需要运用逻辑推理能力，分析问题、提出假设、验证假设，从而提高了逻辑思维能力。

4.增强数学建模能力：学生在解决实际问题时，能够将现实问题转化为数学模型，运用概率知识进行建模，培养了数学建模能力。

5.提升数学运算技能：通过大量的练习和计算，学生的数学运算技能得到了提高，能够准确、迅速地进行概率计算。

6.培养合作学习意识：在小组讨论和合作解决问题的过程中，学生学会了与他人沟通、协作，培养了合作学习意识。

7.增强解决问题的能力：学生在学习过程中，通过解决实际问题，提高了分析问题、解决问题的能力，能够将所学知识应用到实际生活中。

8.激发学习兴趣：通过丰富的教学方法和实际案例，学生对概率初步的知识产生了浓厚的兴趣，提高了学习的积极性和主动性。

9.培养直观想象能力：在几何图形和面积模型的帮助下，学生能够直观地理解概率与面积的关系，培养了直观想象能力。

10.增强实践操作能力：通过实际操作和动手实验，学生的实践操作能力得到了锻炼，为今后的学习和发展奠定了基础。

11.提高自主学习能力：学生在学习过程中，逐渐学会了如何自主学习，能够独立完成学习任务，提高了自主学习能力。

12.培养科学素养：通过学习概率初步的知识，学生了解了科学的研究方法，提高了科学素养。典型例题讲解1.例题：在一个边长为4cm的正方形内，随机选取一个点，求这个点位于正方形内部的概率。

解答：正方形的面积为边长的平方，即4cm×4cm=16cm²。所以，随机选取的点到正方形内部的概率为正方形内部面积除以总面积，即1（因为整个正方形内部面积为正方形面积）÷16cm²=1/16。

2.例题：在一个边长为5cm的正方形中，随机画一条线段，求这条线段长度小于3cm的概率。

解答：首先，我们需要确定线段长度小于3cm的区域的面积。由于线段长度小于3cm的区域是一个边长为3cm的正方形内部，其面积为3cm×3cm=9cm²。正方形的总面积为5cm×5cm=25cm²。因此，线段长度小于3cm的概率为9cm²÷25cm²=9/25。

3.例题：在一个长为8cm，宽为6cm的长方形中，随机选取一个点，求这个点位于长方形右上角三角形内的概率。

解答：长方形右上角三角形的底为长方形宽的一半，即6cm÷2=3cm，高为长方形长的一半，即8cm÷2=4cm。三角形的面积为底乘以高除以2，即3cm×4cm÷2=6cm²。长方形的面积为8cm×6cm=48cm²。因此，点位于三角形内的概率为6cm²÷48cm²=1/8。

4.例题：在一个半径为5cm的圆中，随机画一条弦，求这条弦长度小于5cm的概率。

解答：圆的直径为半径的两倍，即5cm×2=10cm。当弦长度小于5cm时，这条弦所对应的圆心角小于90度。圆的周长为2πr，即2π×5cm=10πcm。因此，弦长度小于5cm的概率为圆心角小于90度的弧长与圆周长的比值，即π×5cm÷10πcm=1/2。

5.例题：在一个边长为10cm的正六边形中，随机选取一个顶点，求这个顶点与正六边形中心连线的长度小于5cm的概率。

解答：正六边形的中心到每个顶点的距离等于正六边形的边长，即10cm。因此，所有顶点与正六边形中心连线的长度都是10cm。所以，随机选取的顶点与正六边形中心连线的长度小于5cm的概率为0，因为没有任何顶点满足这个条件。课堂1.课堂评价：

（1）提问反馈：在课堂教学中，我会通过提问的方式，检验学生对等可能事件概率的理解和应用能力。例如，我会提问：“如果在一个边长为6cm的正方形内随机选取一个点，这个点位于正方形内部的概率是多少？”通过学生的回答，我可以了解他们对概率概念的理解程度，以及他们是否能够将概念应用到实际问题中。

（2）观察学生参与度：我会观察学生在课堂上的参与情况，包括他们是否积极参与讨论、是否能够正确地完成练习题等。通过这些观察，我可以评估学生的兴趣和课堂上的学习态度。

（3）即时测试：为了更准确地了解学生的学习效果，我会进行一些即时测试。例如，我可能会给出一个与面积相关的事件，让学生计算其概率，然后根据他们的答案来评估他们的计算能力和对概率概念的理解。

（4）小组讨论评价：在小组讨论环节，我会注意观察学生之间的互动和合作情况，以及他们是否能够有效地交流自己的想法和解决方案。

2.作业评价：

（1）作业批改：我会对学生的作业进行详细的批改，不仅检查答案的正确性，还会关注学生的解题过程和方法。对于错误的答案，我会指出错误的原因，并提供正确的解题思路。

（2）反馈与指导：在批改作业后，我会及时将反馈信息反馈给学生，帮助他们了解自己的学习进展和需要改进的地方。对于表现出色的学生，我会给予肯定和鼓励；对于需要帮助的学生，我会提供具体的指导和建议。

（3）作业展示与讨论：在课堂上，我会选择一些典型的作业进行展示和讨论，让学生分享他们的解题思路和方法，同时也可以通过讨论来发现共性问题，并进行集体解答。

（4）作业跟踪：对于作业中的问题，我会进行跟踪，确保学生能够理解和掌握。如果发现有学生持续存在困难，我会安排额外的辅导时间，帮助他们克服学习障碍。教学反思教学反思

今天这节课，我们学习了等可能事件的概率，特别是与面积相关事件的概率。我觉得这节课的教学效果还是不错的，但也存在一些需要改进的地方。

首先，我觉得我在讲解概念时，可能过于注重理论，而忽视了学生的实际理解。在讲解面积与概率的关系时，我使用了正方形和长方形作为例子，但是我觉得这些例子可能对于一些学生来说过于简单，没有很好地激发他们的学习兴趣。也许我可以尝试使用一些更加生动、贴近生活的例子，比如在公园里随机选择一个位置的概率，或者在一个大型的购物中心随机遇到一个熟悉的人的概率，这样可能更能引起学生的共鸣。

其次，我在课堂练习环节发现，有些学生在计算概率时，对于如何将面积比转化为概率比的理解还不够透彻。这让我意识到，我在讲解这个知识点时，可能没有给学生足够的时间和空间去消化和吸收。在今后的教学中，我打算通过更多的互动和讨论，让学生自己动手操作，通过实际计算来加深对概率计算方法的理解。

另外，我在教学过程中也发现，部分学生在解决实际问题时，缺乏一定的逻辑思维能力。例如，在计算一个点位于某个图形内部的概率时，他们往往不能清晰地分析问题，导致计算错误。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注重培养学生的逻辑思维能力，通过设计一些具有挑战性的问题，让学生在解决问题的过程中，逐步提高他们的逻辑推理能力。

此外，我在课堂上的教学节奏可能有些快，一些学生可能跟不上我的讲解。为了解决这个问题，我打算在今后的教学中，适当放慢教学节奏，给予学生更多的思考和回答问题的机会。

最后，我觉得我在课堂上的评价方式还可以更加多样化。除了传统的提问和测试，我还可以通过观察学生的课堂表现