吉林省松原市五校2024-2025学年高二上学期期末联考试题 数学 含解析

本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的1.直线x=tan75°的倾斜角为A.90°B.75°C.0°D.不存在A.13B.16C.15A.2B.1C.-14.三棱锥A-BCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，点G为线段EF上靠近E的三等5.已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂,过左焦点F₁作直线交C于A、B两与圆7.正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2,则B₁C₁到平面A₁BC的距离是BC.B,若该双曲线上存在点P,使得PA,PB的斜率之和为1,则该双曲线离心率的取值范围为目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知空间向量a=(2,-1,-2),b=(3,2,2),则10.已知等比数列{a.}的公比为q,前n项和为S.,若S₁=-1,且Vn∈N°,a+2>a,则A.a₂>0B.0<q<1C.a+1>a.双曲线上位于第一象限内任意一点，设∠PAB=a,∠PBA=β,△PABA.tanatanβ是定值B.的值随着x。的增大而减小12.若抛物线y=ax²(a>0)上一点(m,1)与焦点的距离等于2,则a=.13.已知定点M(4,0),N(1,0),动点P满足MN·MP=6|PN.设点P的轨迹为E,则轨迹E的方程为.线AM与直线BD所成的角的余弦值的取值范围为.15.(本小题满分13分)已知圆心为C的圆经过A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上.(1)求圆C的方程；(2)若直线2x+y=0与圆的交点为M,N两点，求M|N|.数学试题第2页(共4页)数学试题第3页(共4页)数学试题第4页(共4页)16.(本小题满分15分)17.(本小题满分15分)(2)若N是棱PB上靠近点P的三等分点，求直线CD与平面AMN所成角的大小.18.(本小题满分17分)已知M(1,-2),A,B是抛物线C:y²=2px(p>0)上三点，直线MA和MB均与抛物线C₂:y=ax²(a>0)相切.(2)试判断直线AB与C₂的位置关系，并给出证明.19.(本小题满分17分)(1)若{a}为2,0,2,4,2,0,2,4,…,是一个周期为4的数列，直接写出d₁,dz,d₃,d₃(3)设d是非负整数，证明：d=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件是{a}为公差为d的等差数列.参考答案及解析数学数学参考答案及解析2024-2025学年度上学期期末五校联考=8,故d=2,故as=a₁+5d=4+10=14.故选D.3.D【解析】直线ax+2y=0与直线x+(a+3)=0垂直，则a×1+2·(a+3)=0,解得a=-2.故选D.由G为EF上靠近E的三等分点，则5.D【解析】由椭圆的定义得|AFI+|AF₂|=2a=6.B【解析】圆C的标准方程为(x+2)²+(y-2)²=1,圆心C(-2,2),半径r=1,圆C₂的圆心为(2,5),半径r₂=4,因为C₁C₂|=√(-2-2)²+(2-5)=5=r+r₂,所以两圆外切，所以圆C与圆C₂的公切线有3条.故选B.00,OB,O₁B₁,根据正三棱柱的几何性质可知OB,OC,00两两相互垂直，建立如图所示空间直角坐B(√3,0,0),C(0,1,0),A(0,-1,2),C(0,1CB=(√3,-1,0),CA=(0,-(0,0,2).设平面A₁BC的法向量为n=(x,y,z),则故可得n=(1,√3,√3).由于B₁C₁//BC,B₁C₁面A₁BC,BCC平面A₁BC,所以B₁C₁//平面ABC.所以B₁C₁到平面A₁BC的距离即C₁到平面A₁BC0),则,所以2xy=x²-a²,=1,所以²,即),所以r,即直线与双曲线有公共点.联立r与双曲线方程，有,消去(6,4,4)=(-4,-5,-6),故A正确；对于B,C,a+b=(5,1,0),=0,故D错误.故选AC.,故D错误.故选BC.11.ABD【解析】因为tana·tanβ=-keakpa=故A正确；双曲,b>0)的左顶点为A(-a,0),右顶点为B(a,0),渐近线为y=大分别减小与增大，即sin(π-β),sina增大分别减小与增大且均为正数，的值随≥0,解得a²≥6,则<1,故B正确；对于A:a=-q<0,故A错误；对于∈(1/2),故1<e≤√2,故D正确，故选ABD参考答案及解析数学数学参考答案及解析线方程,因为点(m,1)与焦点的距离等于2,所以,解得.故答案(x-4,y),MN=(-3,0),PN=(1-x,-y).,故动点P的轨迹E的方程则AO⊥底面BCD,又CO、OMC平面BCD,故AO√6-2=2,又AM=√5,则OM=√5-2²=1,所以M的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，建立如下图所示的空间直角坐标系：设M与x轴正半轴所成的角为α,则M(cosa,sina,(0,√6,0),设直线AM与直线BD所成的角为θ,所故答案为所以(2分)所以弦AB的垂直平分线的斜率又弦AB的中点坐标为(4分)即x-3y-3=0,与直线l:x-y+1=0联立解得：x=-3,y=-2,(6分)所以圆心C的坐标为(-3,-2),所以圆的半径r=(2)由(1)知，圆心C(-3,-2)到直线2x+y=0的距离为(11分)因为圆的半径r=5,∴|MN|=(13分)所以a₁=2.(2分)所以S.=2(a.-1),当n≥2时，S.i=2(a-1-1),两式作差得a=2a。-2a-1,(4分)所以(a}是以2为首项，2为公比的等比数列，经检验n=1时同样成立，(6分)故a=2×2m-¹=2".(7分)(2)由(1)知(8分)(11分)(14分)所以(15分)M为CD的中点，AM=√5,所以AD=2.(1分)√AD²+PD²-2AD·PDcosZPDA=2√3,所以∠PAD=90°,即PA⊥AD.(3分)又因为ABNAD=A,AB,ADC平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.(6分)又因为PAC平面PAM,所以平面PAM⊥平面ABCD.(7分)(2)由(1)得PA=2√3,AB=AD=2,AB,AD,AP两两垂直，设平面AMN的法向量为n=(x,y,z),(10分)即即令x=-2,可得(12分)设直线CD与平面AMN所成的角为θ,解得(14分)故直线CD与平面AMN所成的角为-(15分)18.解：(1)设经过点M(1,-2)与C₂相切的直线方程为y+2=k(x-1),(1分)由△=(一k)²-4a(k+2)=0,得k²-4ak-8a=0,(4分)因为直线MA,MB都与抛物线C₂相切，所以它们的斜率是方程k²-4ak-8a=0的两根.(5分)参考答案及解析数学由已知得-8a=-1,因1得p=2,所以C₁:y²=4x,于是切线MA的方程(6分)(7分)(8分),(9分)(11分)(13分)又因为y≠y₂,所以y+y₂=2,所以直线AB与抛物线C。相切.(17分)19.解：(1)因为A₁=max(2}=2,4,…)=0,所以d₁=A-B₁=2-0=2;(2分)A₂=max(2,0}=2,B₂=min{