四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题（原卷版+解析版）

嘉陵一中高2024级高一下第一次月考数学试题本试卷满分150分考试时间120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）A. B. C. D.2.已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.3.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.4.设，，，则A. B. C. D.5.在中则的值为（）A B. C.或 D.或6.已知函数满足，将函数图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.7.把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.8.已知，则（）．A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.（多选）下列说法正确是（）A.零向量是没有方向的向量 B.零向量的长度为0C.相等向量的方向相同 D.同向的两个向量可以比较大小10.的值可能是（）A. B.3 C. D.11.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.图象的一条对称轴为直线C.当时，区间上单调递增D.存在实数，使得在区间上恰有2023个零点三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，且，则________．13.若，则__________．14.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和在上都恰好存在两个零点，则的取值范围是______．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，且，求下列各式的值．（1）（2）.16.已知.⑴化简并求函数最小正周期⑵求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合17.已知函数的部分图象如图所示，且直线为图象的一条对称轴．（1）求的解析式；（2）若方程在区间上有且仅有1个实数根，求m的取值范围．18.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值；（3）若在区间上有且仅有一个解，求的取值范围.19.如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD面积S最大？最大值为多少？

嘉陵一中高2024级高一下第一次月考数学试题本试卷满分150分考试时间120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】.故选：A2.已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用扇形的面积公式可求得结果.【详解】因为扇形的半径为，圆心角为，故该扇形的面积为.故选：B.3.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解．【详解】因为角的终边经过点，则故选：D.4.设，，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的单调性，可得的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据对数函数的单调性，可得，，即，又由，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，以及余弦函数的性质的应用，其中解答中根据对数函数的单调性和余弦函数的性质，得到的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.在中则的值为（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根据正弦值的大小分析可得，进而求，再根据结合两角和差公式运算求解，注意的符号.【详解】因为，即，可知，且，则，若，可得；若，可得；综上所述：的值为或.故选：D.6.已知函数满足，将函数图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据，求得，再根据，确定函数的解析式，并求得平移后的解析式，最后根据函数的对称性，确定的最小值.【详解】因为，所以，即，，又因为，所以当时，，所以，将其图象向左平移个单位后，所得函数，因为函数的图象关于y轴对称，所以，，即，，当时，，所以的最小值为.故选:A.7.把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数图象的变换规律得出变换后的函数的解析式为，然后求出该函数的对称轴方程，利用赋值法可得出该函数图象的一条对称轴.【详解】将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，令，解得，当时，可得该函数图象的一条对称轴方程为.故选D.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，同时也考查了三角函数图象对称轴的求解，根据图象变换求出变换后的函数解析式是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.8.已知，则（）．A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据倍角与半角公式，将题目化为，因式分解，然后根据三角函数的有界性对的值进行取舍，由此得解.【详解】解：由，将，代入化简得，即，解得（舍去）或，故选；B．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.（多选）下列说法正确的是（）A.零向量是没有方向的向量 B.零向量的长度为0C.相等向量的方向相同 D.同向的两个向量可以比较大小【答案】BC【解析】【分析】利用零向量的定义及相等向量的定义，可判断出选项A、B和C的正误，再由向量的定义知选项D错误.【详解】对于选项A，因为零向量的方向是任意的，所以选项A错误，对于选项B，因为零向量是方向任意，长度为0的向量，所以选项B正确，对于选项C，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，所以选项C正确，对于选项D，向量不能比较大小，向量的模长可以比较大小，所以选项D错误，故选：BC.10.的值可能是（）A. B.3 C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据的不同取值去绝对值即可求解.【详解】当是第一象限角时，均大于0，；当是第二象限角时，大于0，小于0，；当是第三象限角时，小于0，大于0，；当是第四象限角时，小于0，大于0，；故选：ACD11.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.图象的一条对称轴为直线C.当时，在区间上单调递增D.存在实数，使得在区间上恰有2023个零点【答案】BCD【解析】【分析】化简的表达式，根据正弦函数的周期性可判断A；根据函数图象的对称轴的性质可判断B；结合正弦函数的单调性可判断C；取，结合正弦函数的零点可判断D.【详解】对于A，，故，即为的一个周期，说明不是的最小正周期，A错误；对于B，，故图象的一条对称轴为直线，B正确；对于C，当时，，则，由于正弦函数在上单调递增，且，故上单调递增，且，此时，而在上单调递减，则在上单调递增，故在上单调递增，C正确；对于D，由A可知即为的一个周期，且的最小正周期为，故的最小正周期为，当时，，当时，，则在上的零点为和，故当时，恰有个零点，且第个零点为，故当时，恰有个零点，即存在实数，使得在区间上恰有2023个零点，D正确，故选：BCD【点睛】难点点睛：本题综合考查了含型函数的性质，涉及到周期、对称性以及零点问题，综合性较强，解答时要综合应用函数的对称轴性质以及正弦函数的相关性质，进行解答，对于零点个数问题，可取特殊值，结合正弦函数的周期性以及零点进行判断.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，且，则________．【答案】##【解析】【分析】由题设求得，应用二倍角正弦公式求目标式的值即可.【详解】由题设，则.故答案为：13.若，则__________．【答案】0【解析】【分析】根据诱导公式计算．【详解】，故答案为：0.14.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和在上都恰好存在两个零点，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由的范围，判断两个零点的值，列不等式求的取值范围；再由的范围，判断两个零点的值，列不等式求的取值范围，取交集即可.【详解】当时，，函数在上的两个零点只能满足或，所以，解得①．由题意，得，当时，．由①知，函数在上的两个零点只能满足或，所以，解得②．由①②，得的取值范围是．故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由角的范围，确定函数和在上两个零点的值，进而通过不等式求的取值范围.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，且，求下列各式的值．（1）（2）.【答案】（1）0；（2）2.【解析】【分析】（1）由同角三角函数的关系可得tanα＝－2，再应用商数关系化简求值即可.（2）应用诱导公式化简求值.【小问1详解】因为且，所以sinα＝－，则tanα＝－2.＝0；【小问2详解】＝＝－tanα＝2.16.已知.⑴化简并求函数的最小正周期⑵求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合【答案】(1),最小正周期(2)【解析】【分析】（1）由倍角公式，将函数化简，然后得其最小正周期；（2）由（1）得知函数，根据正弦函数的性质，求得的最值以及此时的取值.【详解】（1）由题所以函数的最小正周期（2）由（1）可知，当是，即时，函数取最大值，最大值为1-1=0,所以，当【点睛】被踢考查了三角函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变化对函数进行化简，再利用性质，属于基础题.17.已知函数的部分图象如图所示，且直线为图象的一条对称轴．（1）求的解析式；（2）若方程在区间上有且仅有1个实数根，求m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由周期得到，代入对称轴得到，再根据得到A=2，即可得到解析式；（2）根据题意分析可得与有且仅有一个交点，结合正弦函数分析运算.【小问1详解】由已知可得，故，且，解得，因为直线为图象的一条对称轴，则，解得，且，当时满足条件，此时，则，又因为，则，所以.【小问2详解】由题意可知，整理得，原题意等价于与有且仅有一个交点，因为，则，且，可得或，解得或，所以m的取值范围．18.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值；（3）若在区间上有且仅有一个解，求的取值范围.【答案】（1），（2）最大值为，最小值为（3）【解析】【分析】（1）借助正弦型函数的单调性计算即可得；（2）借助正弦型函数的性质计算即可得；（3）原问题可转化为方程在区间上有且仅有一个解，即可得，即可得解.【小问1详解】令，，解得，，故的单调递增区间为，；【小问2详解】当时，，则在区间上的最大值为，最小值为；【小问3详解】令，即，当时，，即