《高考备考指南 数学 》课件-第1讲　平面向量的概念及线性运算

平面向量与复数第五章第1讲平面向量的概念及线性运算(本讲对应系统复习P132)课标要求考情概览1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义考向预测：从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查.预测本年度高考中，平面向量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.学科素养：主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏0302重难突破

能力提升配套训练基础整合自测纠偏11.向量的有关概念名称定义备注向量既有

又有

的量

平面向量是自由向量长度(模)向量的

叫做向量的长度(或称模)

零向量长度为

的向量；其方向是任意的

记作

单位向量长度等于

的向量

平行向量方向

或

的非零向量(又叫做共线向量)

0与任一向量

或共线

大小

方向

大小

001个单位

相同

相反

平行

名称定义备注相等向量长度

且方向

的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度

且方向

的向量

0的相反向量为0相等

相同

相等

相反

2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝

；

(2)结合律：(a＋b)＋c＝

b＋aa＋(b＋c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝

；

(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向

；当λ＜0时，λa的方向与a的方向

；当λ＝0时，λa＝

(1)λ(μa)＝

；

(2)(λ＋μ)a＝

；

(3)λ(a＋b)＝

|λ||a|相同

相反

0(λμ)a

λa＋μaλa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件：存在唯一一个实数λ，使得

.

b＝λa【特别提醒】

解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.

C

B3.(易错题)对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A4.(2023年江苏四市模拟)平面内三个单位向量a，b，c满足a＋2b＋3c＝0，则(

)A.a，b方向相同

B.a，c方向相同C.b，c方向相同

D.a，b，c两两互不共线A

有关平面向量概念的注意点：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混淆.(4)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小.(5)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件.重难突破能力提升2平面向量的有关概念

(1)(2022年潍坊期末)下列命题正确的是(

)A.若向量a∥b，b∥c，则a∥cB.模相等的两个平行向量是相等向量C.方向不同的两个向量不可能是共线向量D.若向量a＝(－3，－6)，则a分别在x轴、y轴上的投影的数量之和为－9D

ACD【解析】(1)对于A，若a与c不共线，b＝0，满足a∥b，b∥c，则得不出a∥c，A错误；对于B，模相等方向相反时，这两个向量不相等，B错误；对于C，方向相反的两个向量共线，C错误；对于D，a＝(－3，－6)在x轴上的投影为－3，在y轴上的投影为－6，D正确.故选D.

【解题技巧】理解向量有关概念的5个关键点：(1)向量定义的关键是方向和长度；(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制；(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等；(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度；(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量平行.【变式精练】1.(1)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是(

)A.0B.1C.2D.3(2)(2022年天津月考)(多选)下列说法正确的有(

)A.两个有公共终点的向量是平行向量B.任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D.若a＝d，d＝c，则a＝cCDD【解析】(1)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题.(2)对于A，两个具有公共终点的向量，不一定是平行向量，若它们的起点不同，即不为平行向量，故A错误；对于B，任意两个相等的非零向量共线时，它们的始点与终点可能是一平行四边形的四个顶点或都在一条直线上，故B错误；对于C，向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则a与b中有一个为零向量，则a与b共线，故C正确；对于D，长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量具有传递性，故D正确.故选CD.平面向量的线性运算示通法向量线性运算的解题策略：(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.考向1向量加、减运算的几何意义

A

考向2向量的线性运算

A

考向3根据向量线性运算求参数

A

【解题技巧】1.用几个基本向量表示