《高考备考指南 数学 》课件-第2讲 第1课时　利用导数研究函数的单调性

一元函数的导数及其应用第三章第1课时利用导数研究函数的单调性(本讲对应系统复习P72)课标要求考情概览1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)考向预测：从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容.预测本年度会考查函数的单调性与导数的关系，题型有两种：一是利用导数确定函数的单调性；二是已知单调性，利用导数求参数的取值范围.常以解答题形式出现，属中档题.学科素养：主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的能力栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏1函数的单调性与导数函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f'(x)的关系：(1)如果

，那么函数y＝f(x)在区间上单调递增.

(2)如果

，那么函数y＝f(x)在区间上单调递减.

(3)如果

，那么函数y＝f(x)在区间内是常数.

f'(x)＞0f'(x)＜0f'(x)＝0【特别提醒】讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.【常用结论】1.在某区间内f'(x)＞0(f'(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零.1.(2023年宁德模拟)若函数y＝ekx(k∈R)在R上单调递增，则实数k的取值范围为(

)A.(0，＋∞) B.［0，＋∞)C.(1，＋∞) D.［1，＋∞)2.(2023年商丘月考)函数f(x)＝x－2ln(2x)的单调递减区间为(

)A.(－∞，1) B.(0，1)C.(0，2) D.(2，＋∞)AC3.(多选)如图所示是函数y＝f(x)的导函数y＝f'(x)的图象，则下列判断正确的有(

)A.在区间(－2，1)上f(x)单调递增B.在区间(2，3)上f(x)单调递减C.在区间(4，5)上f(x)单调递增D.在区间(3，5)上f(x)单调递减BC

－4已知函数单调性求参数的值或参数的范围：(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为f'(x)≥0在(a，b)上恒成立，且f'(x)在(a，b)的任意子区间上不恒为0，也可转化为(a，b)⊆增区间；函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为f'(x)≤0在(a，b)上恒成立，且f'(x)在(a，b)的任意子区间上不恒为0，也可转化为(a，b)⊆减区间.(2)函数y＝f(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝增区间，也可转化为f'(x)＞0的解集是(a，b)；函数y＝f(x)的减区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝减区间，也可转化为f'(x)＜0的解集是(a，b).重难突破能力提升2不含参数的函数的单调性

A

【解题技巧】利用导数求函数单调区间的3种方法：(1)当导函数不等式可解时，解不等式f'(x)＞0或f'(x)＜0，求出单调区间；(2)当方程f'(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分成若干个区间，确定各区间f'(x)的符号，从而确定单调区间；(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f'(x)的结构特征，利用其图象与性质确定f'(x)的符号，从而确定单调区间.

ABD

含参数的函数的单调性(2021年甲卷)设函数f(x)＝a2x2＋ax－3lnx＋1，其中a＞0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.

【解题技巧】含参数的函数单调性的求法：此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题.对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先考虑二次三项式是否存在零点，这里涉及对判别式Δ≤0和Δ＞0分类讨论，即“有无实根判别定，两种情形需知晓”.(2)如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，逻辑分类有两种情况，需要考虑首项系数是否含有参数.如果首项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论；如果首项系数无参数，只需讨论两个根x1，x2的大小，即“首项系数含参数，先论系数零正负；首项系数无参数，根的大小定胜负”.(3)注意：讨论两个根x1，x2的大小时，一定要结合函数定义域进行讨论，考虑两根是否在定义域中，即“定义域，紧跟踪，两根是否在其中”.

函数单调性的应用

考向1比较大小

A

考向2解不等式

B

考向3根据函数单调性求参数

(2023年乙卷)设a∈(0，1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是

.

【解题技巧】根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f'(x)≥0(f'(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f'(x)不恒等于0的参数的范围.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【变式精练】3.(1)(2023年南平期末)已知函数f(x)，g(x)在R上的导函数存在，且f'(x)＜g'(x)，记a＝log52，b＝log83，则(

)A.f(a)＞g(a)B.f(a)＜g(a)C.f(a)＋g(b)＞g(a)＋f(b)D.f(a)＋g(b)＜g(a)＋f(b)C

A［5，＋∞)

素养微专直击高考3思想方法——分类讨论思想研究函数的单调性典例精析已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系；(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性.【考查角度】导函数的几何性质、导函数的应用.【核心素养】逻辑推理、数学运算.【思路导引】依据g(x)的切线条件可得g'(1)＝0，得a，b关系，在g(x)中利用a，b的关系消去b，对a进行分类讨论确定g'(x)的符号.

③若a－1＞1，即a＞2时，当x∈(1，a－1)时，f'(x)＜0，当x∈(0，1)，x∈(a－1，＋∞)时，f'(x)＞0，所以f(x)在(1，a－1)上单调递减，在(0，1)，(a－1，＋∞)上单调递增.综上所述，当1＜a＜2时，