《高考备考指南 数学 》课件-第6讲　对数与对数函数

函数概念与基本初等函数第二章第6讲对数与对数函数(本讲对应系统复习P44)课标要求考情概览1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过具体事例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0，且a≠1)考向预测：从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点.预测本年度高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为命题方向.此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.学科素养：主要考查逻辑推理、直观想象、数学运算的能力栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.对数的概念一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作

，其中a叫做对数的底数，

叫做真数.

x＝logaNN

N

logaM－logaN

N

logaM＋logaN

nlogaM

3.对数函数的图象与性质

y＝logaxa＞10＜a＜1图象

定义域

值域R性质过定点

，即x＝1时，y＝0

当x＞1时，

；

当0＜x＜1时，

当x＞1时，

；

当0＜x＜1时，

在(0，＋∞)内是

函数

在(0，＋∞)内是

函数

(0，＋∞)

(1，0)

y＞0

y＜0

y＜0

y＞0

增减4.反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线

对称.

y＝x【特别提醒】1.底数的大小决定了图象相对位置的高低，如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应底数，则0＜c＜d＜1＜a＜b.

1.(2022年天津)化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为(

)A.1 B.2 C.4 D.6B

C

C4.(多选)如果函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，那么(

)A.f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值B.f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值C.f(x)在定义域内是偶函数D.f(x)的图象关于直线x＝1对称AD

1.换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d＞0).2.对一些与对数有关的复杂的函数图象，首先应分析它可以由哪一个基本函数的图象变换过来，一般是先作出基本函数的图象，再通过平移、对称、翻折等方法，得出函数的图象.重难突破能力提升2对数的运算

C

对数的运算

A

【解题技巧】对数运算的一般思路：(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数的运算性质化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算.(3)ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.

D

AD

对数函数的图象及应用

例2(1)(2023年惠州模拟)若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(

)D

【解析】由题意可知0＜a＜1.函数y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域为{x|x＞1或x＜－1}，函数y＝loga(|x|－1)(x＞1)的图象是把函数y＝logax的图象向右平移1个单位长度得到的.故选D.

B

【解题技巧】1.研究对数型函数图象的思路：研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，要注意底数a＞1或0＜a＜1这两种不同情况.2.应用对数函数的图象可求解的问题：一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.求参数时往往使其中一个函数图象“动起来”，找变化的边界位置，得参数范围.【变式精练】2.(1)(2023年浙江联考)函数f(x)＝logn(x＋m)的图象恒过定点(－2，0)，则m的值为(

)A.5

B.4

C.3

D.2C【解析】(1)由logn(－2＋m)＝0，得－2＋m＝1，解得m＝3.故选C.

对数函数的性质及应用

示通法解决与对数函数相关的问题要遵循“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想的应用.考向1比较大小例3-1

(2023年北京海淀区期中)设a＝log25，b＝log35，c＝log32，则a，b，c的大小关系为(

)A.a＞c＞b

B.a＞b＞cC.b＞a＞c

D.c＞a＞b

B【解析】由题意知a，b分别为y＝log2x，y＝log3x在x＝5时的函数值，由图象知a＞b.因为y＝log3x是增函数，所以b＞c.故选B.

考向3对数函数的综合问题例3-3

(2022年绥化期末)已知f(x)＝log2(ax＋1)(a∈R).(1)若函数f(x)的图象过点(1，1)，求不等式f(x)＜1的解集；

考向3对数函数的综合问题例3-3

(2022年绥化期末)已知f(x)＝log2(ax＋1)(a∈R).(2)若函数g(x)＝f(x)＋log2x只有一个零点，求实数a的取值范围.

【解题技巧】1.比较对数式大小的类型及相应的方法：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较.(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.2.解对数不等式的类型及方法：(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论.(2)形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式.［提醒］利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.

D

D

素养微专直击高考3素养提升——数学运算：指数式、对数式比较大小类型一

利用指数函数、对数函数的图象与性质比较大小比较大小时，若题设涉及指数式、对数式，则应考虑指数函数、对数函数的图象与性质.此外，要特别注意数字“0”和“1”等在比较大小问题中的桥梁作用.

D

【方法习得】利用指数函数、对数函数的图象与性质时，要注意考虑a，b，c与特殊数字“0”和“1”的大小关系，以便比较大小.类型二

利用特例法、设元法，巧解涉及三元变量的比较大小问题比较大小时，若题设涉及三个指数式连等，或三个对数式连等，则可利