广西高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）

广西高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）

班级:姓名：考号：

一、单选题

1.已知集合n=口次£人且xeB},A={3,4,5,6,7},B={2,4,6,8},则必等于（）

A.{4,5,6}B.{4,6}

C.{2,8}D.{3,5,7}

2.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（3,T）,则忖+/彳=（）

A.5+iB.5-iC.3-5iD.4

3.电动工具已成为人们生产和生活中常备的作业工具、数据显示，全球电动工具零部件市场规模由2016年

的58亿美元增长至2020年的72亿美元，复合年均增长率达5.55%,2022年全球电动工具零部件市场规模

达到80亿美元.根据此图,下列说法中正确的是（）

2016-2022年全球电动工具零部件市场规模预测趋势图

A.2016-2022年全球电动工具零部件市场规模逐步减少

B.2016-2022年全球电动工具零部件市场规模增长速度逐年增长

C.2021年全球电动工具零部件市场规模大J-2020年全球电动工具零部件市场规模

D.2018-2019年全球电动工具零部件市场规模增速的差值最大

4.已知sin%=cosa-1,则sin（a+£）=（）

A.1B.-1C.2D.

2

5.已知数列{4}满足q+I=W，则数列的前5项和为（）

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A.25B.26C.32D.-

6.已知随机变量专服从正态分布N(2,/),P(gw4)=0.84则P《WO)=()

A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84

7.如图，已知圆锥的底面半径为1,母线长SA=3,一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈问到点A

则蚂蚁爬行的最短距离为()

8.若sin(乃-。)二百sin15+ej,贝Ijcos2^=()

A.--B.JC.-近D.正

2222

9.已知函数的图象在x=l处的切线与函数g(x)=?的图象相切，则实数〃=

A.八B.—C.—D.eVe

22

10.已知数列｛%｝的通项公式是引，其中/3=sin(s+°)(0>O,画<5的部分图象如图所示，

S”为数列｛为｝的前〃项和，则S2M的值为()

1L过抛物线C：x="的焦点/作直线,交抛物线。于力，8两点，若点力到抛物线的准线的距离为3,

则1阴二()

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9

A.B.3D.4

2

|log3x|,0<x<3

若互不相等，且则人

12.已知函数=・；|"5|,X>3a,b,c,d/(G=/S)=/(c)=/(d),a++c+d

的取值范围是（

D.(12,14)

二、填空题

%->-+1>0

13.已知满足约束条件x+y-220,则目标函数Z=2x-y的最大值为

x<2

14.如图，己知正方体A8CO-A4GA的棱长为分别是棱AVAR的中点，点尸为底面四边形A8CO

内（包括边界）的•动点，若直线。产与平面麻尸无公共点，则点尸在四边形A8CO内运动所形成轨迹的

长度为_

15.如图，某测绘员为了测量一座垂直于地面的建筑物人A的高度，设计测量方案为先在地面选定距离为

18c米的C,。两点，然后在C处测得NAC8=30。，N8CD=75。在。处测得N8Z）C=45。，则此建筑物A8

的高度为米.

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———e2,x<0

16.已知函数/(x)=e"。,点MN是函数y=/(x)图象上不同的两个点，设。为丛标原点，则

-Vl+x2,x>0

tanNA/QV的取值范围是.

三、解答题

17.己知函数/(.r)=2sin(ix-y)xeR

⑴求/(g)的值；

(2)求函数的单调递增区间；

TT

⑶求/(A)在区间[§,2加上的最大值和最小值.

18.如图，在直三棱柱ABC-ABG中，是等边三角形AB=/V\=4,。是棱A3的中点.

⑴证明：平面ACO_L平面

(2)求点名到平面A。。的距离.

19.某校高三年级有男生1800人，女生1200人.为了解学生本学期参与社区志愿服务的时长，现采用分层

抽样的方法，从中抽取了100名学生，并按“男生”和“女生”分为两组，统计他们参与社区志愿服务的

时长，再将每组学生的志愿服务时间(单位：小时)分为5组似10)口0.20),[20,30)430,40)440.50),并分别加以

统计，得到如图所示的频率分布直方图.

第4页共19页

(1)从全年级学生中随机选取一位学生，估计该生社区志愿服务时间大于等于10小时并且小于20小时的概

率：

(2)从样本中男生组和女生组各随机选取一位学生，记其中参与社区志愿服务不小于30小时的人数为X,

求X的分布列和数学期颦：

(3)从样本的男生中随机抽取3人,调查发现这3人上学期参加社区志愿服务的时长均小于10小时.据此数

据能否推断本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于1()小时的人数相比上学期减少了？说明理由.

20.已知函数/(x)=%lnx+]x2_M4eR),且/'(x)在(0,+e)内有两个极值点小七(*〈上).

⑴求实数a的取值范围；

(2)求证：a+

21.已知圆。的半径是2,圆心在直线y=工上，且圆C与直线3x-4y-7=o相切.

(1)求圆C的方程；

(2)若点夕是圆。上的动点，点。在大轴上，|八2|的最大值等干7,求点。的坐标.

22.在直角坐标系式。y中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为

p+4sin^=0,^e"'与•

(1)求C的参数方程；

⑵已知点。在C上，若C在。处的切线与直线/:)，=>/久=3平行，求点。的极坐标.

23.已知“X)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=^-x-\.

⑴求/("的解析式；

(2)作出函数/(A)的图象(不用列表)，并指出它的增区间.

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参考答案与解析

1.B

【分析】利用交集的定义直接求解.

【详解】因为4={3,4,5,6,7},5={2,4,6,8},M={x|x"且xwb}

所以"={4.6}.

故先：B

2.B

【分析】由题意得z=3-4i,再代入式子计算即可得到答案.

【详解】由复数z在复平面内对应的点的坐标为（3,Y）得z=3-4i

・#|二#十二5

114+3i4+3i（4+3i）（4-3i）

故选:B.

3.C

【分析】根据条形图和折线图可得出结果

【详解】由条形图可以看出全球电动工具零部件市场规模逐步增加，所以选项A错误；

由折线图可以看出2016-2022年全球电动工具零部件市场规模增长速度有增有减，所以选项B错误;

由条形图可以看出选项C正确；

由折线图可以看出2017-2018年全球电动工具零部件市场规模增速的差值最大，所以选项D错误；

故选：C

4.B

【分析】根据同角关系式结合条件可得cosa=l,然后根据诱导公式即得.

【详解】sin%=1-cos%

l-cos2<2=cos«-l»即cos%+cosa-2=0

所以（cosa-1）（cosa+2）=0

.,.8$0=1或（：05々二一2（舍）

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所以sin［a+5兀J=-cosa=-1.

故选:B.

5.A

【分析】根据题中条件，得到「可得数列［工］是以3为首项，1为公差的等差数列，结合等差

数列的求和公式，即可求出结果.

【详解】数列｛q｝满足％=、，％+尸整理得：-------='(定值)

故数列是以首项'=3,1为公差的等差数列

l«J%

所以Ss=5x3+^5x-4xl=25.

故选：A.

6.A

【详解】由正态分布的特征得P("O)=l-P("4)=l-0.84=0.16,选A.

7.B

【分析】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为A4',在5A4'中，解三角形即可.

【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图

vA,

一只蚂蚊从A点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A的最短距离为AY，设NASA』。

圆锥底面周长为2万，所以%V=ax3=2兀，所以*年

在“SA4'中，由SA=SA=3,得

AA1=>1SA2+AA,2-2SASA1-cosa

='32+32-2x3x3xf-lj=3x/3

故选:B.

8.A

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【分析】利用诱导公式化简给定等式得tan0=G，再用二倍角余弦公式变形并借助齐次式法即可计算作答.

【详解】依题意，由诱导公式化为：sine=6cose,于是得：tan。=6

所以8s26=8s2。5汩=需鬻=1—tan~01—31

l+tan26>-T+3--2'

故选：A

9.B

【分析】先求函数/(耳=/的图象在x=l处的切线，再根据该切线也是函数g(x)=5■图象的切线，设出切

点即可求解.

【详解】由/("=/,得/'("=2-则/'(1)=2

又")=1,所以函数的图象在x=l处的切线为)，-1=2(x-1),即y=2x-1.

设y=2x1与函数g(%)-彳的图象相切于点(-%,%)

xg'"0)=—=2,

由/(X)=J,可得｛:

ae"

g(%)=一=2x-l,

a0

解得乙)=［，4

故选B.

【点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知力点时，可以直接利用导数求解；切点未知

时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.

10.D

【分析】由函数八”的图象求出其解析式，再求出数列｛4｝的通项即可得解.

【详解】观察图象知：函数/(“周期为。3=¥=7二"(。=空=?

461241

又？・土+(p=2k兀+土n(p=2k兀+三(kwZ),而匣<工，则Q=2

122323

所以/(X)=sin(2x+f)an=/(?)=sin(2•华+[)=sin(?+[)

3oo333

数列｛q｝是周期数列，周期为6,其前6项依次为管,0,-券,-乎。#,则§6=0

2021=6-336+5,则S2O21=336s$+邑=一亭.

故选:D.

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【点睛】结论点睛：周期为%的周期性数列前〃项和S.，先求从首项开始的长为一个周期的

前距几项和s,%,再把〃化为〃=S+m(〃?wM〃y%),则有S.=*s%+s…

11.A

【分析】求出抛物线。的焦点坐标及准线方程，根据给定条件求出点力的横坐标

设出直线)的方程并与抛物线方程联立，求出8的横坐标即可计算作答.

【详解】抛物线C：y2=4x的焦点”(1,0),准线为：x=-l,设点4%,y),8(林力)

依题意，玉-(7)=3,解得与=2,显然，直线/的斜率存在且不为0,设其方程为丁=々*-1)

由。:消去y并整理得：2伏2+2*+公=0,则有不々=1,于是得9=一=彳

y-=4xX}2

9

因此，|从阳=|4尸|+|4尸|=不一(—1)+9一(一1)二5

9

所以|AB|=].

故选:A

12.C

【分析】由〃力的图象判断其单调区间，设"〃<c<d,由已知可得:<a<l<〃<3<c<5<d<7且

-log3«=log3Z),C+d=10,即有a+〃+c+d=?+〃+10,再构造函数应用单调性求范围.

【详解】由"K)图象知：/(力在(0,1)、(3,5)上是减函数,在。3)、(5,*0)上是增函数,且八1)=0/(3)=1.

.a,b,c,d互不相等，且/(a)=/S)=/(c)=/(d)

:妨没a<b<c<d,则;<〃<3<c<5<4<7

由“〃)=/(。)，得Tog/=log*

ab=\,即a=[,又/(c)=/(d),得c+d=10

...a+b+c+d=-+b+\0t令g®=b+〉+10(l<bv3)

第9页共19页

由对勾函数的单调性可知：gg）=〃+\+io在（1,3）上单调递增

,、（40、

，？（力）612,—

故选：C.

【点睛】关键点点睛•：画出/（X）草图，根据其单调区间结合已知条件求a,b,c,d之间的关系，进而得

到〃+〃+c+d关于其中一个参数的函数式，利用函数单调性求范围即可.

13.4

【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为y=2x-z在y轴截距最小，利用数形结合的方式可得结果.

【详解」由约束条件可得可行域如下图所示

当z=2工一），取最大值时，y=2x—z在>轴截距最小

由图象可知：当y=2x-z过A时，在y轴截距最小

।2—2

由<Ioc得：一〃即A（2,o）.、2=2'2-0=4.

x+y-2=0[y=0

故答案为：4.

14.垂>

【分析】利用直线与平面没有交点，转化为寻找过直线。产且与平面的尸平行的平面ARG,平面ARG与

底面的交线即为所求，再求出线段长就可得到结果.

【详解】取8C的中点G,连接AGRGA。，如图所示：

E、F分别是棱AVAA的中点，所以即〃人。

乂因为E/u平面BERA。/平面8痔，所以4R,平面跳F.

因为FR〃BG、FR=BG

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所以四边形/BGR为平行四边形，所以FB〃GQ.

又因为FBu平面BEF,GDi(Z平面BEF,所以GR。平面BEF.

因为GqrMA=R,所以平面ARG，，平面用沙

因为点P为底面四边形A8C。内〔包括边界)的一动点，直线与平面加明无公共点

所以P的轨迹为线段4G,则14Gl=，22+『=①.

故答案为：石.

15.306

【分析】本题先求/CBO=60。，再求。=60探.最后求48即可.

【详解】解：在△88中

VZBCD=75°,ZBDC=45°,;NCBD=60。

由正弦定理：.C2票即^解得：°=60«

sinZ.CBDsinZ.BDCsm60-sin45

在RLHBC中，VZ4CB=3O°

・•・4B=CBsin30c=6076x-=30n

2

故答案为30面.

【点睛】本题考查直角三角形内的边长关系、三角形内角和定理、正弦定理，是基础题.

16.(0」+|)

【分析】作出函数“X)的图形，求出过原点且与函数/(x)(x40)的图象相切的直线的方程，以及函数

/(x)=Ji77(xv0)的渐近线方程，结合两角差的正切公式，数形结合可得出tan2例QV的取值范围.

第II页共19页

【详解】当xVO时，/“）=三-e2,则/（力=口>0

CC

所以，函数/（X）在（­，（）］上为增函数：

当M>0时，由），=—Vi77Vo可得丁2=1+V即）,2一9二1

作出函数/（"的图象如下图所示:

设过原点且与函数/（6（式工。）的图象相切的直线的方程为

/\

），=",设切点为即条-金

Ie"J

所以，切线方程为广令+e2=M（x-*）

将原点坐标代入切线方程可得-券+e?=-（「/）券

B|jjt=e2,构造函数g（x）=£,其中xWO,则/（力=竺=40

e“ee

所以,函数g（.r）=与在（f,0］上单调递减，且g（-e）=e2

e

由履及）=Jr=e2,解得天产y，所以八号二«+1

而函数/（x）=Vi77（.r<0）的渐近线方程为y=r

设直线与y=（e+l）犬的夹角为氏设直线y=（e+l）x的倾斜角为。

ta吟—tana「仁+1)_］卜2

~3兀^~a

(I+tan—tan(zl-(e+l)e

4

2

结合图形可知。<tan/MONv1+-.

e

故答案为（o，i+2.

Iej

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在「求出设过原点且与函数/（H（xWO）的图象相切的直线的方程以及

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函数/(力=Ji+F*<o)的渐近线方程，再利用两角差的正切公式以及数形结合思想求解.

17.⑴1；

(2)—1+4E,g+4hr(keZ)

(3)最大值为2,最小值为T.

【分析】(D直接利用函数的关系式求出函数的值：

(2)利用整体代换发即可求出函数的单调增区间；

(3)结合(2),利用函数的定义域求出函数的单调性，进而即可求出函数的最大、小值.

(1)

由/(x)=2sin(^x-y)

得.吟)=2s呜x亨1)=1；

(2)

令一2+24乃<-x--<—+2k7r(keZ)

2232''

整理，f#-y+4^<X<y+4^()t€Z)

故函数〃x)的单调递增区间为必乃丹+444］依〃)；

JJ

(3)

»7tcizji1n.7C21.

由工引r彳,2划，J

323o3

jr54

结合(2)可知，函数Ax)的单调递增区间为-^+4氏,-r+4丘(AcZ)

JJ

所以函数/(x)在《，号］上单调递增，在［弓,2泪上单调递减

TTTT

故当x=W时，函数取得最小值，且最小值为/(q)=-l

当工=,时，函数取得最大值，且最大值为/(与)=2.

18.(1)证明见解析

⑵更

5

【分析】(1)由题意证明CO!■平面A8与A-根据面面垂直的判定定理即可证明结论.

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(2)求得三棱锥C-A4。的体积K二印，设点发到平面AC。的距离为d,表示出三棱锥B「AC。的

体积匕=冬叵利用等体积法匕=匕，即可求得答案.

■3

【详解】(1)证明：由直三棱柱的定义可知平面ABC.

因为COu平面/WC,所以M_LC。；

囚为“BC是等边三角形，AC=BC,旦。是棱A3的中点，所以8_LA6.

因为平面人8〃小，且AEcA4=A,所以CD_L平面人巳印人.

因为COu平面A。。，所以平面ACO_L平面AZ?MA.

(2)连接4D%C

由题意可得△44。的面积S1=gx4x4=8.

因为.."C是边长为4的等边三角形，且。是棱A8的中点，所以CD=2G.

由(1)可知CO_L平面A844,则三棱锥的体积K=；£・CO=gx8x26=¥

因为。是棱/W的中点，且A4=4,所以AQ=2,则4。=，42+22=2瓜

由(1)可知COJ_平面88片4,人。＜=平面/WMA,则CO_LA。

从而△ACO的面积52=3x26x275=2/.

设点及到平面A.CD的距离为d,则三棱锥4-A.CD的体积乂=_Ls,M=冬叵d.

一3-3

因为K=匕，所以独5d=3更，解得4=延

335

即点发到平面A.CD的距离为座.

5

19.(1)0.28;

第14页共19页

(2)分布列见解析,0.6;

(3)答案见解析.

【分析】(1)由频率分布直方图可得社区志愿服务时间大于等于10小时并且小于20小时的人数，计算对

应频率即可得出概率；

(2)由题可知X的所有可能取值为0J2,求出分别对应的概率，列出分布列，即可求出期望值；

(3)从样本的男生中随机抽取3人，这3人上学期参加社区志愿服务的时长均小于10个小时的概率小于受

由此可从不同角度作答.

(1)

首先由分层抽样可得100名学生中，男生人数为IOOX粤=60,女生人数为1OOX黑=40.

乂由直方图中所有小长方形面积之和为1,可得a=0.03.所以男、女生中社区志愿服务时间大于等于10小

时并且小于20小时的人数分别为60x0.03x10=184()x0.025x10=10.

由此可估计从全年级学生中随机选取一位学生，该生社区志愿服务时间大于等于10小时并且小于20小时

的概率为芸=0.28.

(2)

由题可知X的所有可能取值为0J2.

记入="所取男生的社区志愿服务不小于30个小时”，B=”所取女生的社区志愿服务不小于30个小时”.

则P(4)=0.25P(3)=0.35

故p(X=0)=P(A)P(B)=0.65x0.75=0.4875

p(X=1)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.65x0.25+0.35x0.75=0.425

P(X=2)=P(A)P(B)=0.35x0.25=0.0875.

所以X的分布列为

X012

p0.48750.4250.0875

E(X)=X[P]+x2P2+当心=0x0.4875+1x0.425+2x0.0875=0.6.

(3)

第15页共19页

假设本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于1（）小时的人数与上学期相比没有减少.即上学期这60位

男生中社区志愿服务小于10小时的人数不超过60x0.005x10=3.则从样本的男生中随机抽取3人，调查发

现这3人上学期参加社区志愿服务的时长均小于10个小时的概率不超过导=«）：皿。我.

答案1可以认为本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减少了.这是一个

小概率事件，但是却发生了，由此可以推断本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相

比上学期减少了.

答案2不能确定本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减少了.虽然这是

一个小概率事件，但是仍有发生的可能，因此不能确定本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小

时的人数相比上学期减少了.

20.⑴」vavO

e

（2）见解析

【分析】（D转化为-。=叱有两个根，讨论单调性结合函数图象可求解；（2）等价于证明h】$+In2,构

X

造函数即可证明.

/

【详解】(1)由题可知,r(x)=lnx+ar,^/(x)=0,gpinx+ar=0

即-a=有两个根N,与

x

*/、Inx，/、1-Inx

令g（x）=---,则g。）=——

XX

由/（幻>。得，1一1nx>0,解得0<x<e;由/（%）<（）得，l-lnx<0,解得x>e

所以g（x）在Qe）单调递增，（e,内）单调递减

/（i）=o,x>e^f（x）>o

所以要使—。=叱有两个根,则

xe

解得0</（e）=—,所以—<a<0.

ee

-ax=InX|

（2）由（1）可知且1<为<e<巧，所以y

-ax2=In七

要证a+£v<。，只用证〃（芭+々）+2<0

第16页共19页

等价于证明-。但+々)>2

Inx-Inx.

而一〃(％,一3)=Inx-hi$,即-a=---2"-----

2电一百

Inx,-Inx2

故等价于证明———L>——

x2-内x2+玉

即证足总>2(£7]).

x}x2+芭

令/=工，则/>1

于是等价于证明迎成立

设g⑺=In"2(/Dz>|

Z+l

g«)=L->o

t(fl)?r(r+l)2

所以g⑺在(l.y)上单调递增

故g8g⑴町即心誓成立

所以ln%+lnw>2,结论得证.

2222

21.(1)(x-3)+(y-3)=4(A+17)+(y+17)=4；(2)(一1,0)或(7,0).

【分析】(1)利用圆心在直线上设圆心坐标，利用相切列方程即可得解；

(2)利用IPQI最大值为7确定圆。，设。点的坐标，找到Q到圆上点的最大距离列方程得解.

【详解】解：(1)设圆心C的坐标为(。,。)

因为圆C与直线3x-4y-7=0相切

|3«-4«-7|,

所以;

即1£1Z1=2

解得“=3或“=-17

故圆C