3.3代数式的值（七大题型）（解析版）

（苏科版）七年级上册数学《第3章代数式》3.3代数式的值知识点一知识点一代数式的值◆1、代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（1）一般地，代数式的值不是固定不变的，是随着代数式中字母取值的变化而变化的．（2）代数式与代数式的值是两个不同的概念，代数式表述的是问题的一般规律，而代数式的值是这个规律下的特殊情形，（3）当代数式表示实际问题的数量关系时，字母的取值除了需满足使代数式本身有意义外，还要保证具有实际意义，如a表示学生的人数，则a只能取正整数．◆2、代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．知识点二知识点二代数式求值的方法与步骤第一步：代入：用数值代替代数式里的字母，简称为“代入”．第二步：计算：按照代数式指明的运算，计算出结果，简称为“计算”．（1）代入时，按已给定的数值，将相应的字母换成数字，其它的运算符号、原来的数字都不能改变．（2）代数式中原来省略的乘号，代入数字后出现数字与数字相乘时，要添上乘号．（3）代数式中的同一个字母只能用同一个数值去代替，若多个字母，代入值时要注意对应关系，不要混淆．题型一直接代入求代数式的值题型一直接代入求代数式的值【例题1】（2023•美兰区校级模拟）若x＝﹣1，y＝4，则代数式2（x+y）的值为（）A．﹣6 B．﹣10 C．6 D．2【分析】将x＝﹣1，y＝4代入2（x+y）中计算即可．【解答】解：将x＝﹣1，y＝4代入2（x+y），得：2（x+y）＝2×（﹣1+4）＝6．故选：C．【点评】本题考查代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题关键．解题技巧提炼用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果即所求.【变式1-1】当x＝2，y＝﹣3时，求2x2−12xy−1【分析】把x＝2，y＝﹣3代入代数式计算求值即可．【解答】解：当x＝2，y＝﹣3时，原式＝2×22−12×2×（﹣3）＝8+3﹣3＝8．【点评】本题考查了代数式求值，掌握实数的混合运算，是解决本题的关键．【变式1-2】当a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3时，求代数式b2﹣4ac的值．【分析】直接代入求值即可．【解答】解：b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣3）＝1+24＝25．【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算顺序和运算法则是解决本题的关键．【变式1-3】当a＝﹣1，b=12，c＝0.3时，求代数式2a﹣（b+c）【分析】将a、b、c的值代入代数式进行计算即可．【解答】解：把a＝﹣1，b=12，c＝0.3代入，2a﹣（b+c）2＝2×（﹣1）【点评】本题主要考查了代数式求值，利用代入法是解答此题的关键．【变式1-4】当a，b分别取下列值时，求代数式a2﹣2ab﹣2b2的值：（1）a＝3，b＝﹣1；（2）a=−11【分析】分别把a、b的值代入进行计算即可得解．【解答】解：（1）a2﹣2ab﹣2b2＝32﹣2×3×（﹣1）﹣2×（﹣1）2＝9+6﹣2＝13；（2）a2﹣2ab﹣2b2＝（−32）2﹣2×（−32）×（−=9=1【点评】本题考查了代数式求值，比较简单，准确计算是解题的关键，计算时要注意运算符号的处理．【变式1-5】（2022秋•宁强县期末）已知a与b互为相反数，x与y互为倒数，c的绝对值等于2，求a+b2+xy−【分析】根据题意可知：a+b＝0，xy＝1，|c|＝2，代入原式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a+b＝0，xy＝1，|c|＝2，∴c＝±2，当c＝2时，∴原式＝0+1−=1当c＝﹣2时，∴原式＝0+1+=5【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是根据题意得出a+b＝0，xy＝1，|c|＝2，本题属于基础题型．题型二整体代入求代数式的值题型二整体代入求代数式的值【例题2】（2022秋•乐亭县期末）当x＝1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x＝﹣1时，代数式ax3+bx+7的值为（）A．4 B．﹣4 C．10 D．11【分析】将x＝1代入运算得到关于a，b的关系式的值，再将x＝﹣1代入，整理后利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：∵当x＝1时，代数式ax3+bx+7的值为4，∴a+b+7＝4，∴a+b＝﹣3．当x＝﹣1时，代数式ax3+bx+7＝a×（﹣1）3+b×（﹣1）+7＝﹣a﹣b+7＝﹣（a+b）+7＝﹣（﹣3）+7＝3+7＝10．故选：C．【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键．解题技巧提炼“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化,把所给的条件当做整体代入所求的式子即可，有时要对式子进行变形．【变式2-1】（2022秋•朝阳区校级期末）如果a﹣3b＝4，那么2a﹣6b﹣1的值是（）A．﹣7 B．5 C．7 D．﹣5【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：∵a﹣3b＝4，∴原式＝2（a﹣3b）﹣1＝2×4﹣1＝8﹣1＝7，故选：C．【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键．【变式2-2】（2022秋•迁安市期末）已知当x＝1时，代数式ax3+3bx+4值为8，那么当x＝﹣1时，代数式ax3+3bx+4值为（）A．0 B．﹣5 C．﹣1 D．3【分析】将x＝1代入代数式整理后得到关于a，b的式子，再将x＝﹣1代入代数式，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：∵当x＝1时，代数式ax3+3bx+4值为8，∴a+3b+4＝8．∴a+3b＝4．当x＝﹣1时，ax3+3bx+4＝﹣a﹣3b+4＝﹣（a+3b）+4＝﹣4+4＝0．故选：A．【点评】本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入的方法解答是解题的关键．【变式2-3】（2022秋•射洪市期末）已知：当x＝3时，代数式ax2021+bx2019﹣1的值是8，则当x＝﹣3时，这个代数式的值是（）A．﹣10 B．8 C．9 D．﹣8【分析】根据题意得出32021a+32019b﹣1＝8，求出32021a+32019b＝9，把x＝﹣3代入代数式，再变形，最后整体代入，即可求出答案．【解答】解：∵当x＝3时，代数式ax2021+bx2019﹣1的值是8，∴32021a+32019b﹣1＝8，∴32021a+32019b＝9，当x＝﹣3时，ax2021+bx2019﹣1＝a×（﹣3）2021+b×（﹣3）2019﹣1＝﹣（32021a+32019b）﹣1＝﹣9﹣1＝﹣10，故选：A．【点评】本题考查了求代数式的值，能求出32021a+32019b＝9是解此题的关键．【变式2-4】已知：2x﹣y＝5，求﹣2（y﹣2x）2﹣6x+3y的值．【分析】将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：∵2x﹣y＝5，∴原式＝﹣2（2x﹣y）2﹣3（2x﹣y）＝﹣2×52﹣3×5＝﹣2×25﹣15＝﹣65．【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键．【变式2-5】数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知：a2+2a＝1，则代数式2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4＝2×1+4＝6．请你根据以上材料解答以下问题：（1）若x2﹣3x＝2，求1+3x﹣x2的值；（2）当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是5，求当x＝﹣1时，代数式px3+qx+1的值；（3）当x＝2019时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，求当x＝﹣2019时，求代数式ax5+bx3+cx﹣5的值是多少？【分析】（1）根据整体思想代入计算即可求解；（2）根据已知条件先求出p+q的值，再整体代入到所求代数式中即可；（3）根据正数的奇次幂、偶次幂都是正数，负数的奇次幂是负数、偶次幂是正数即可求解．【解答】解：（1）因为x2﹣3x＝2，所以1+3x﹣x2＝1﹣（x2﹣3x）＝1﹣2＝﹣1答：1+3x﹣x2的值为﹣1．（2）当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是5，即p+q+1＝5所以p+q＝4，当x＝﹣1时，代数式px3+qx+1＝﹣p﹣q+1＝﹣3答：代数式px3+qx+1的值为﹣3．（3）当x＝2019时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，即a•20195+b•20193+c•2019﹣5＝m所以a•20195+b•20193+c•2019＝m+5当x＝﹣2019时，代数式ax5+bx3+cx﹣5＝﹣（a•20195+b•20193+c•2019）﹣5＝﹣（m+5）﹣5＝﹣m﹣10．答：代数式ax5+bx3+cx﹣5的值是﹣m﹣10．【点评】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．题型三根据程序图求代数式的值题型三根据程序图求代数式的值【例题3】（2023春•萧县校级期中）小明设计了一个如下的数值转换程序，当输入x＝6时，y的值为（）A．6 B．7 C．12 D．13【分析】根据输入数是偶数，确定需要代入的式子，然后代入计算．【解答】解：∵x＝6，∴y＝2x+1＝2×6+1＝12+1＝13，故选：D．【点评】本题主要考查了代数式求值，解题关键是根据输入数值确定代入的代数式．解题技巧提炼计算程序图的转换步骤，实质上是指明了运算的顺序，根据程序图中的运算顺序，代入求值即可，要注意对结果的准确性．【变式3-1】（2022秋•高邑县期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为﹣2，则输出的结果是（）A．﹣8 B．﹣10 C．﹣12 D．﹣14【分析】根据题意先将x＝﹣2代入代数式3x+2中，计算若结果大于﹣5，将结果再代入3x+2中计算，若结果小于﹣5，输出结果，即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，当x＝﹣2时，第一次运算，3×（﹣2）+2＝﹣4＞﹣5，第二次运算，3×（﹣4）+2＝﹣10＜﹣5，所以输出的结果为﹣10．故选：B．【点评】本题主要考查了代数式的求值及有理数混合运算，根据题意理解题目所给的运算程序进行计算是解决本题的关键．【变式3-2】（2022秋•天心区期末）按如图所示的运算程序，输入的值为1时，（）A．y＝﹣1 B．y＝﹣4 C．y＝9 D．y＝11【分析】把x＝1代入运算程序中计算即可．【解答】解：把x＝1代入得：y＝1﹣5＝﹣4＜0，把x＝﹣4代入得：y＝16﹣5＝11＞0，则y＝11．故选：D．【点评】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解本题的关键．【变式3-3】（2022秋•右玉县期末）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2022次输出的结果是（）A．8 B．4 C．2 D．1【分析】根据流程图求出第4次、第5次、第6次的输出结果，发现从第3次开始，输出结果每3个数一个循环，分别是4、2、1，用2022减去2，再除以3，即可求出结果．【解答】解：第1次输出结果是16，第2次输出结果是8，第3次输出结果是4，第4次输出结果是42第5次输出结果是22第6次输出结果是3×1+1＝4，……，从第3次开始，输出结果每3个数一个循环，分别是4、2、1，（2022﹣2）÷3＝673⋅⋅⋅1，∴第2022次输出结果是4．故选：B．【点评】本题考查了代数式求值，掌握图中的运算规则，每3次输出为一个循环组依次循环是关键．【变式3-4】（2022秋•垫江县期末）按如图所示的运算程序，能使输出结果的值为11的是（）A．x＝3，y＝1 B．x＝2，y＝2 C．x＝2，y＝3 D．x＝0，y＝1.5【分析】把各项中的x与y的值代入运算程序中计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、把x＝3，y＝1代入运算程序中得：输出结果为9+2＝11，符合题意；B、把x＝2，y＝2代入运算程序中得：4﹣4＝0，不符合题意；C、把x＝2，y＝3代入运算程序中得：4﹣6＝﹣2，不符合题意；D、把x＝0，y＝1.5代入运算程序得：0﹣3＝﹣3，不符合题意，故选：A．【点评】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式3-5】（2023春•东阳市期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为26的是（）A．x＝﹣2，y＝﹣2 B．x＝4，y＝﹣5 C．x＝﹣2，y＝5 D．x＝4，y＝﹣2【分析】利用程序图中的程序，将各选项中的数据代入运算即可得出结论．【解答】解：当x＝﹣2，y＝﹣2时，输出的结果为：（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝8，∴A选项不符合题意；当x＝4，y＝﹣5时，输出的结果为：42﹣2×（﹣5）＝26，∴B选项符合题意；当x＝﹣2，y＝5时，输出的结果为：（﹣2）2+2×5＝14，∴C选项不符合题意；当x＝4，y＝﹣2时，输出的结果为：42﹣2×（﹣2）＝20，∴D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了求代数式的值，实数的混合运算，本题是操作型题目，正确理解程序图的程序并熟练运用是解题的关键．题型四根据表格求代数式的值题型四根据表格求代数式的值【例题4】（1）填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况．n123456786nn2+n（2）随着n的逐渐变大，两个代数式的值如何变化？（3）估计一下，哪个代数式的值先超过100．【分析】（1）逐个求值，将结果准确计算即可．（2）随着n的值逐渐变大，6n逐渐变大，n2+n也逐渐变大；（3）当n＝10时，6n＝60，而当n＝10时，n2+n＝110，所以n2+n的值先超过100．【解答】解：（1）填表：n123456786n612182430364248n2+n26122030425672（2）随n的值逐渐增大，两代数式的值也相应增大．（3）当n＝10时，6n＝60，而当n＝10时，n2+n＝110，所以n2+n的值先超过100．【点评】本题考查了求代数式的值，解答本题首先要准确计算，其次要根据所给的代数式的特点，采取适当的方法，解答问题．解题技巧提炼本题考查了求代数式的值，解答本题首先要对表格中的数据准确计算，其次要根据所给的代数式的特点，采取适当的方法，解答问题.【变式4-1】填写下表，并观察下列代数式的值的变化情况．n12345678……﹣8n+5……﹣n2……（1）随着n的值逐渐变大两个代数式的值如何变化？（2）估计一下，哪个代数式的值先小于﹣100？【分析】逐个求值，将结果准确计算即可．（1）随着n的值逐渐变大，﹣8n逐渐变小，所以﹣8n+5也逐渐变小；﹣n2也逐渐变小．（2）当n＝14时，﹣8n+5＝﹣107，而当n＝10时，﹣n2＝﹣100，所以﹣n2的值先小于﹣100．【解答】解：填表如下：n12345678……﹣8n+5﹣3﹣11﹣19﹣27﹣35﹣43﹣51﹣59……﹣n2﹣1﹣4﹣9﹣16﹣25﹣36﹣49﹣64……（1）随着n的值逐渐变大，﹣8n逐渐变小，所以﹣8n+5也逐渐变小；﹣n2也逐渐变小；（2）代数式﹣n2的值先小于﹣100．故答案为：﹣3，﹣11，﹣19，﹣27，﹣35，﹣43，﹣51，﹣59；﹣1，﹣4，﹣9，﹣16，﹣25，﹣36，﹣49，﹣64．【点评】本题考查了求代数式的值，解答本题首先要准确计算，其次要根据所给的代数式的特点，采取适当的方法，解答问题．【变式4-2】观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题：x…﹣2﹣1012…﹣2x+5…9753a…2x﹣7…﹣11﹣9﹣7﹣5b…【初步感知】（1）根据表中信息可知：a＝；b＝；【归纳规律】（2）表中﹣2x+5的值的变化规律是：x的值每增加1，﹣2x+5的值就都减少2．类似地，2x﹣7的值的变化规律是：；【问题解决】（3）请从A，B两题中任选一题作答．我选择题．A．根据表格反应的变化规律，当x时，﹣2x+5的值大于2x﹣7的值．B．请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就都减小5，且当x＝0时，代数式的值为﹣7．【分析】（1）分别将x＝2代入两个代数式．计算可得结论；（2）结合所给例子并观察表格数字的变化情况即可得出结论；（3）选择B，按要求使x的系数为﹣5，常数项为﹣7即可．【解答】解：（1）用2替换代数式中的x，a＝﹣2×2+5＝1，b＝2×2﹣7＝﹣3．故答案为：1；﹣3；（2）观察表格中第三行可以看出，x的值每增加1，2x﹣7的值都增加2，故答案为：x的值每增加1，2x﹣7的值都增加2．（3）∵x的值每增加1，代数式的值就都减小5，∴x的系数为﹣5．∵当x＝0时，代数式的值为﹣7，∴代数式的常数项为﹣7．∴这个含x的代数式是：﹣5x﹣7．【点评】本题主要考查了列代数式和求代数式的值，有理数的混合运算．准确计算是解题的关键．【变式4-3】观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答下列问题：x…﹣2﹣1012…﹣2x+4…8642a…3x﹣5…﹣11﹣8﹣5﹣2b…【初步感知】（1）根据表中信息可知a＝；b＝；【总结规律】（2）表中﹣2x+4的值的变化规律：x的值每增加1，﹣2x+4的值就减少2，类似地，3x﹣5的值的变化规律：；【问题解决】（2）请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小5，且当x＝0时，代数式的值为6．【分析】（1）将x＝2分别代入两个代数式中，计算即可得出结论；（2）观察表格中的数据，与类似﹣2x+4的值的变化规律即可得出结论；（3）依据x的值每增加1，代数式的值就减小5可知x的系数是负数且为5的倍数，依据当x＝0时，代数式的值为6可知代数式的常数项为6，依此可得结论．【解答】解：（1）当x＝2时，﹣2x+4＝﹣×2+4＝0，∴a＝0；当x＝2时，3x﹣5＝3×2﹣5＝1，∴b＝1；故答案为：0；1；（2）观察表格中的数据，当x的值每增加1，3x﹣5的值就增加3，故答案为：当x的值每增加1，3x﹣5的值就增加3．（3）∵x的值每增加1，代数式的值就减小5，∴所求代数式中x的系数为负数，且是5的倍数，∵当x＝0时，代数式的值为6，∴所求代数式的常数项为6．∴所求代数式为：﹣5x+6（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，观察表格中的数据得到代数式的值的变化与x的系数的关系是解题的关键．题型五列代数式求图形面积的值题型五列代数式求图形面积的值【例题5】（2022秋•澄海区期末）如图，正方形ABCD和正方形ECGF的边长分别为a和4，点D在边CE上，点B在边GC的延长线上，连接BD、BF．图中阴影部分的面积记为S阴影．（1）请用含a的式子表示S阴影；（2）求当a＝2时，S阴影的值．【分析】（1）用两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积即得阴影部分面积；（2）把a＝2代入（1）中，即可求得S阴影的值．【解答】解：（1）S阴影＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABD﹣S△BGF=a=1（2）当a＝2时，S阴影＝2﹣4+8＝6．【点评】本题考查列代数式和求代数式的值，根据图形特征正确表示阴影部分的面积是求解本题的关键．解题技巧提炼先根据几何图形的面积计算公式用代数式表示出来，然后再根据给出字母的数值代入求值即可，有时要用到割补法求图形的面积.【变式5-1】（2022秋•平昌县期末）如图，已知长方形ABCD的宽AB＝6，以B为圆心，AB长为半径画弧与边BC交于点E，连接DE．若CE＝x．（计算结果保留π）（1）用含x的代数式表示图中阴影部分的面积；（2）当x＝4时，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）利用面积之间的和差关系，利用S阴影部分＝S长方形﹣S扇形ABE﹣S△CDE，分别用代数式表示各个部分的面积即可；（2）代入计算即可．【解答】解：（1）设CE＝x，BC＝6+x，∴S阴影部分＝S长方形﹣S扇形ABE﹣S△CDE＝6（6+x）−14π×62−＝36+6x﹣9π﹣3x＝3x+36﹣9π；（2）当x＝4时，原式＝12+36﹣9π＝48﹣9π，答：当x＝4时，图中阴影部分的面积为48﹣9π．【点评】本题考查代数式求值，理解图形中各个部分面积之间的和差关系是正确解答的前提．【变式5-2】（2022秋•赣县区期末）为改善居民居住条件，让人民群众生活更方便更美好，国家出台了改造提升城镇老旧小区政策．在我县“老城换新颜”小区改造中，某小区规划修建一个广场（平面图形如图所示）：（1）用含m，n的代数式表示广场（阴影部分）的面积S；（2）若m＝60米，n＝50米，求出该广场的面积．【分析】（1）用大矩形面积剪去空白矩形的面积即可求得阴影面积．（2）代入求值即可．【解答】解：（1）由题意得，S＝2m•2n﹣（2n﹣n﹣0.5n）m＝4mn﹣0.5mn＝3.5mn；（2）∵m＝60米，n＝50米，∴S＝3.5mn＝3.5×60×50＝10500．答：该广场的面积为10500平方米．【点评】本题考查列代数式和代数式求值，解题关键是根据图形合理计算面积，并准确代入数值计算．【变式5-3】（2022秋•东阳市期中）为了提高业主的宜居环境，在某居民区的建设中，因地制宜规划修建一个草坪（图中阴影部分）．（1）用字母表示图中阴影部分的面积（写出化简后的结果）；（2）若a＝2，b＝4，计算阴影部分的面积（π取3）【分析】（1）利用长方形的面积减去扇形和半圆的面积即可得出结论；（2）将a，b的值代入（1）中的代数式化简运算即可得出结论．【解答】解：（1）阴影部分的面积＝ab−＝ab−＝ab−3（2）当a＝2，b＝4时，阴影部分的面积＝2×4−38＝8−=7【点评】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，熟练掌握长方形，扇形，圆的面积公式是解题的关键．【变式5-4】如图所示，在一块长为a，宽为2b的长方形铁皮中剪掉两个扇形，（1）求剩下铁皮的面积（结果保留π）；（2）如果a，b满足关系式|a﹣6|+（2﹣b）2＝0，求剩下铁皮的面积是多少？（π取3）【分析】（1）剩余铁皮的面积＝矩形面积﹣2个扇形的面积；（2）利用非负数的性质得出a，b的值，进而代入（1）中所求的代数式，得出答案．【解答】解：（1）由题得：2ab−1（2）∵|a﹣6|+（2﹣b）2＝0∴a﹣6＝0，2﹣b＝0解得：a＝6，b＝2把a＝6，b＝2，π＝3代入2ab−3原式=2×6×2−3答：剩余铁皮的面积是6．【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出阴影部分面积是解题关键．【变式5-5】（2023春•九龙坡区校级月考）某公园准备修建一块长方形草坪，长为30米，宽为20米，并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽1米，请回答下列问题：（1）草坪（阴影部分）的面积是多少平方米？（2）修建十字路的面积是多少平方米？（3）如果十字路宽x米，那么草坪（阴影部分）的面积是多少平方米？【分析】（1）阴影面积等于矩形面积减去道路面积；（2）根据修建的十字路面积＝两条路的面积和﹣重叠部分的面积得出；（3）根据长方形草坪的面积﹣十字路的面积＝草坪（阴影部分）的面积得出．【解答】解：（1）30×20﹣（30×1+20×1﹣12）＝600﹣50+12＝551（平方米），答：草坪（阴影部分）的面积是551平方米；（2）30×1+20×1﹣12＝50﹣12＝49（平方米），答：修建十字路的面积是49平方米；（3）30×20﹣（30x+20x﹣x2）＝（600﹣50x+x2）（平方米）．答：草坪（阴影部分）的面积为（600﹣50x+x2）平方米．【点评】本题考查了列代数式及代数式求值的问题，解题的关键是灵活运用公式：整体面积＝各部分面积之和，阴影部分面积＝原面积﹣空白的面积．题型六代数式在规律探索中的运用题型六代数式在规律探索中的运用【例题6】（2023•耿马县模拟）按一定规律排列的数：12，−35，510，是（）A．(−1)n+2+2n+1C．(−1)n2n−1【分析】根据规律分别找到分子、分母及符号的规律即可解答．【解答】解：分子1，3，5，7...的规律为2n﹣1，分母2，5，10，17...的规律为n2+1，符号的规律为（﹣1）n+1，故第n个数为(−1)故选：D．【点评】本题考查了数字的变化规律，分别找到分子、分母及符号的规律是解题关键．解题技巧提炼用代数式表示规律时用到特殊到一般的思想，先探究出规律再利用规律解决问题．【变式6-1】（2023•江川区一模）观察下列一组数：23，45，67，89，A．n−1n B．2n2n−1 C．2n2n+1【分析】分别归纳出该组数字分子、分母的规律．【解答】解：∵第1个数是23第2个数是45第3个数是67……，∴第n个数是2n2n+1故选：C．【点评】此题考查了数字变化类规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出分子、分母的规律．【变式6-2】观察下列一组数：13，−45，97，−16A．n22n+1 B．（﹣1）nC．（﹣1）nn22n−1 D．（﹣1）n【分析】通过观察数列形式，可知分数的分子是1，4，9，16，25....可变式为12，22，32，42，52，....可归纳n2，分母是3，5，7，9，11.....可归纳为2n+1，再看序列正负变化，可归纳为（﹣1）n+1或者（﹣1）n﹣1.即可求出答案．【解答】解：首先观察序列是个分数，分子是1，4，9，16，25....可变式为12，22，32，42，52，...可归纳为n2，分母是3，5，7，9，11.....可归纳为2n+1，整个序列是一正一负交替变化，可归纳为（﹣1）n+1或者（﹣1）n﹣1．可得答案为（﹣1）n+1n22n+1或（﹣1）n﹣1故选：D．【点评】本题主要考查了数字变化规律，通过观察数字变化归纳为关于n的通式，是解决问题的关键．【变式6-3】（2022秋•广州期末）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：25，47，811，1619，3235，…，小亮猜测出第六个数是6467，根据此规律，第【分析】根据分数的分子是2n，分母是2n+3，进而得出答案即可．【解答】解：∵分数的分子分别是：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，…分数的分母分别是：21+3＝5，22+3＝7，23+3＝11，24+3＝19，…∴第n个数是2n故答案为：2n【点评】此题主要考查了规律型：数字变化规律，根据已知得出分子与分母的变化规律是解题关键．【变式6-4】（2023•乡宁县二模）在数学社团课探索数字规律的游戏中，晓晓写出这样一组数：12，43【分析】对于连续分数存在的规律，可对分数的分子、分母分别进行寻找规律，便可得出第n个数．【解答】解：观察题目中数列的分子、分母可发现：分子是连续的平方数，且从1开始，则第n个数的分子为n2．分数的分母为连续的正整数，且从2开始，则第n个数的分母为（n+1）．所以按此规律，第n个数是：n2故答案为：n2【点评】此题考查了实数计算中存在的规律问题，对于分数类型的规律问题，可分别对分子、分母分别观察，可得出第n个数的表达式．【变式6-5】把正整数1，2，3，4，…排成如图的一个数表．（1）2020在第行，第列；（2）第n行第3列的数是（用含“n”的代数式表示）；【分析】（1）由题可知，每行8个数，再由2020÷8＝252…4，即可求解；（2）根据表格可知第n行第一个数是8n﹣7，则可求第n行第3个数是8n﹣5；【解答】解：（1）由题可知，每行8个数，∵2020÷8＝252…4，∴2020在第253行，第4个数，故答案为：253，4；（2）∵第n行第一个数是8n﹣7，∴第n行第3个数是8n﹣5，故答案为：8n﹣5；【点评】本题考查数字的规律，通过所给表格，找到数字之间的规律，并加以运用是解题的关键．【变式6-6】（2023春•湖北期末）观察下列等式；第1个等式：42﹣22＝3×4；第2个等式：62﹣42＝5×4；第3个等式：82﹣62＝7×4；第4个等式：102﹣82＝9×4；…根据以上规律，解决以下问题：（1）写出第5个等式；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）．【分析】观察已知的四个等式可知：每个等式左边第一个幂的底数是等式序号的2倍多2，第二个幂的底数是等式序号的2倍，每个等式右边是等式序号2倍与1的和的4倍，依此求出每个小题的答案．【解答】解：（1）观察已知条件的等式可得规律：每个等式左边第一个幂的底数是等式序号的2倍多2，第二个幂的底数是等式序号的2倍，每个等式右边是等式序号2倍与1的和的4倍，∴第5个等式为：122﹣102＝11×4，（2）第n个等式为：（2n+2）2﹣（2n）2＝4（2n+1）．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算和数字的变化规律，解题关键是观察已知等式，找出各个数字与等式序号的数量关系．题型七列代数式解决实际问题题型七列代数式解决实际问题【例题7】某超市出售某种商品，标价为每件a元，有如下三种销售方案：方案A：先打九五折，再打九五折；方案B：先提价50%，再打六折；方案C：先提价30%，再降价30%．求售价最低的方案．【分析】先用代数式表示出各种方案的售价，再进行比较．【解答】解：方案A：售价为0.95×0.95a＝0.9025a（元）．方案B：售价为（1+50%）×0.6a＝0.9a（元）．方案C：售价为（1+30%）（1﹣30%）a＝0.91a（元）．∵a＞0，∴0.91a＞0.9025a＞0.9a．∴方案B售价最低．【点评】本题主要考查代数式的表示，熟练掌握代数式的表示是解决本题的关键．解题技巧提炼代数式在生活中的应用主要是根据实际问题列出用字母表示数量关系的式子，然后根据题中所给的数据求出所列式子的值，从而解决这个实际问题.【变式7-1】运动时的心跳速率通常与人的年龄有关，如果用a表示一个人的年龄,用b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么b=0.8(220﹣a).（1）正常情况下，在运动时，一个15岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少?（2）一个45岁的人运动时,10秒钟心跳的次数为22，他有危险吗?【分析】（1）直接把a=15代入b=0.8（220﹣a）计算即可；

（2）先把a=45代入b=0.8（220﹣a）计算得到这个人在运动所能承受的每分钟心跳的最高次数为140次；而每10秒心跳的次数是22次，即每分种心跳的次数是132次，即可判断他没有危险．【解答】解：（1）当a=15时，b=0.8（220﹣a）=0.8×（220﹣15）=0.8×205=164（次），

在运动时一个15岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次；

（2）因为10秒钟心跳次数为22次，

所以1分钟心跳次数为22×6=132（次），

当a=45时，b=0.8（220﹣a）=0.8×（220﹣45）=140＞132，

所以这个人没有危险．【点评】本题考查了代数式求值和列代数式：把符合条件的字母的值代入代数式进行计算，然后根据计算的结果解决实际问题．【变式7-2】（2023•顺平县模拟）一种商品每件成本为a元，商场在成本的基础上增加20%作为售价出售，现搞活动促销，按原售价的八折出售．设售出m件该商品时，总利润为w元．（1）用含a、m的式子表示该商品的总利润w；（2）若a＝100，m＝3，则该商品的总利润w是多少元？【分析】（1）根据商品每件成本为a元，商场在成本的基础上增加20%作为售价出售，计算出售价为（1+20%）a，再根据按原售价的八折出售，计算出实际售价，最终算出利润，（2）根据（1）的结果，将a＝100，m＝3代入计算即可得出答案．【解答】解：（1）现售价为（1+20%）×80%a＝0.96a，总利润w＝m（0.96a﹣a）＝﹣0.04ma．（2）由题意可得w＝﹣0.04×3×100＝﹣12（元），故该商品的总利润w是﹣12元，即共亏损12元．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．【变式7-3】商店要出售一种商品，出售时要在进价的基础上加上一定的利润，其销售量x（千克）与售价y（元）之间的关系如表．销量x/千克1234…售价y/元1+0.3+0.052+0.6+0.053+0.9+0.054+1.2+0.05…（1）写出用含x的式子表示售价y的计算公式．（2）此商品的销售量为10千克时，售价为多少？（3）当售价为26.05元时，商品的销售量为多少千克？【分析】（1）从图中的x与y的关系：当x＝1时，y＝1+0.3+0.05，当x＝2时，y＝2+0.3×2+0.05，可以看出y＝x+0.3x+0.05＝1.3x+0.05；（2）由（1）题得出的x与y的关系可以得出当x＝10时，y＝1.3×10+0.05＝13.05（元）；（3）由于y＝1.3x+0.05，当y＝26.05时，可以得到x的值．【解答】解：（1）由题意可知：从图中的规律可以看出当x＝1时，y＝1+0.3+0.05，当x＝2时，y＝2+0.3×2+0.05，∴y＝1.3x+0.05；（2）由于销售量x（千克）与售价y（元）之间的关系，y＝1.3x+0.05，当x＝10时，y＝1.3×10+0.05＝13.05（元）．答：售价为13.05元；（3）由于销售量x（千克）与售价y（元）之间的关系，y＝1.3x+0.05，当y＝26.05时，得26.05＝1.3x+0.05，解得x＝20，答：商品的销售量为20千克．【点评】本题考查列代数式，代数式求值，解题的关键是求出y与x的关系式．【变式7-4】小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示：根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：（1）用含x、y的代数式表示地面总面积S；（2）当y＝1.5，且客厅面积比卫生间面积多21m2．若铺1m2地砖的平均费用为100元，那么铺地砖的总费用为多少元？【分析】（1）根据题意表示出S即可；（2）把y＝1.5代入确定出x的值，进而求出总费用即可．【解答】解：（1）根据题意得：S＝3×4+2y+2×3+6x＝