2025年全国硕士研究生入学统一考试 (数学二) 真题及解析

2025年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)试卷解析

一、选择题:1~10小题,每小题5分,共50分,下列每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答·题·纸·指定位置上.

2

一t

(1)设函数由z+lnz一xedt=0确定,则)

(A)(B)

(C)一(D)一

【答案】(A)

2

一x

【解析】原式两边对x求导得一e=0

2

一y

原式两边对y求导得+e=0,

两式相加得

22

tt2

(2)已知函数esinedt.sinx,则

(A)x=0是f(x)的极值点,也是g(x)的极值点

(B)x=0是f(x)的极值点,(0,0)是曲线y=g(x)的拐点

(C)x=0是f(x)的极值点,(0,0)是曲线y=f(x)的拐点

(D)(0,0)是曲线y=f(x)的拐点,也是曲线y=g(x)的拐点

【答案】(B)

【解析】

1

222

xxx

fI(x)=esinx,fII(x)=e2xsinx+ecosx

2x2

Ix2t

g(x)=esinx+edt.2sinxcosx

2222

IIx2xxt

g(x)=e2xsinx+e2sinxcosx+e2sinxcosx+edt2cos2x

fI(0)=0,fII(0)=1>0→x=0为f(x)的极值点,但不是拐点

gI(0)=0,gII(0)=0

II

2222

x2x2xx

gIII(x)=2esinx+x(2esinx)+4cos2xe+2sin2x(e)

gIII(0)=6>0→x=0为g(x)的拐点

(3)如果对微分方程yII一2ayI+(a+2)y=0的任意解y(x),反常积分

均收敛,那么a的取值范围是()

(A)(一2,一1](B)(一∞,一1]

(C)(一2,0)(D)(一∞,0)

【答案】(C)

【解析】特征根方程为r2一2ar+(a+2)=0

收敛可知r<0,则=一

故一2<a<0

(4)设函数f(x),g(x)在x=0的某去心邻域内有定义且不恒为零,若当x→0

时,f(x)是g(x)的高阶无穷小,则当x→0时,()

(A)f(x)+g(x)=。(g(x))(B)f(x)g(x)=。(f2(x))

2

(C)f(x)=。(eg(x)—1)(D)f(x)=。(g2(x))

【答案】(C)

选项=0+1=1

选项

选项

选项是未定式

()设函数f(x,y)连续,则dx—xf(x,y)dy=()

52

2

【答案】(A)

【解析】如图:

3

(6)设单位质点P,Q分别位于点(0,0)和(0,1)处,P从点(0,0)出发沿x轴正向

移动,设G为引力常量则当质点P移动到点(l,0)时,克服质点Q的引力所做的功

为()

(A)(B)

(C)(D)

【答案】(B)

(7)设函数f(x)连续,给出下列四个条件

存在;存在

存在;存在;

其中能得到“f(x)在x=0处可导”的条件个数是()

(A)1(B)2(C)3(D)4

【答案】(D)

存在,则分子极限为零;

连续,则l|=|f

进而,|f(0)|=f(0),故f(0)≥0

当f(0)>0时,则存在x=0的某邻域有f(x)>0,则

4

存在,即f在x=0处可导;

当=0时,设l则有=|A|

故-A=A=0,进而有即导数为零,故○1正确

存在,又f连续,故f(0)=if(0)i≥0

极限存在可导,故○2正确

存在设为A,则有l=|A|极限存在

故A=-A=0,进而l=0可导,故正确

○4当f(0)>0时,与○1一样,

当f(0)=0时,与○3一样

当f(0)<0时,在x=0的某邻域有f(0)<0

与已知极限差个负号,

故极限存在,可导○4正确,综上,选(D)

(8)设矩阵有一个正特征值和两个负特征值,则

5

(A)a>4,b>0(B)a<4,b>0(C)a>4,b<0(D)

a<4,b<0

【答案】(D)

【解析】由题意,

则a>4,b>0,或a<4,b<0

由于2有两个异号的根,进而,故

、-(a-1)、-4=0b<0a<4,b<0

(9)下列矩阵中,可以经过若干初等行变换得到矩阵的是

(A)(B)

(C)(D)

【答案】(B)

6

选项,→

(10)设3阶矩阵A,B满足r(AB)=r(BA)+1,则

(A)方程组(A+B)x=0只有零解

(B)方程组Ax=0与方程组bx=0均只有零解

(C)方程组Ax=0与方程组bx=0没有公共非零解

(D)方程组ABAx=0与方程组BABx=0有公共非零解

【答案】(D)

【解析】

令,,则,

满足r(AB)=r(BA)+1,则(A+B)x=0有非零解,故A错;

由Ax=0与Bx=0均有非零解,故B错;由Ax=0与Bx=0同解,故C错;故选

D.

设dx=ln2,则a=_______.

【答案】2

【解析】

7

所以

解得a=2或a=-6若a=-6则发散舍去,综上a=2

曲线y=的渐近线方程是.

【答案】y=x-1

【解析】

limy=∞

x→∞无水平渐近线

x→∞x

=-1

8

所以有斜渐近线y=x—1

=_______.

【答案】—

【解析】

(14)已知函数由确定,则=_______.

=0t=0

【答案】e

【解析】

t=0代入方程得y=1

—

2—e=y1

0代入t=0,=得t=0=2e

9

(15)微分方程(2y-3x)dx+(2x-5y)dy=0满足条件y(1)=1的解为_______.

【答案】5y2-4xy+3x2=4

【解析】

令=u带入得u+x化简为

22

两边同时取积分得5y-4xy+3x=C,将y(1)=1带入解得C=4

则解为5y2-4xy+3x2=4

(16)设矩阵A=(。1,。2,。3,。4),若。1,。2,。3线性为无关,且。1+。2=。3+。4,

则方程组Ax=。1+4。4的通解x=.

【答案】

【解析】

。=。+。-。

4123

r(。1,。2,。3,。4)=r(。1,。2,。3)=3=r(A)

Ax=0的基础解系中有1个线性无关的解向量

T

(1,1,-1,-1)为Ax=0的解

T

(1,0,0,4)为Ax=。1+4。4的解

10

则通解为

(17)(本题满分10分)

【答案】ln2+

【解析】

由于

则→.

11

(18)(本题满分12分)设函数f(x)在x=0处连续,且

=-3,证明f在x=0处可导,并求fI(0)

【答案】fI(0)=5

【解析】

12

x→0-x

因为

x→0x

所以即f(x)在x=0处可导且fI(0)=5

(19)(本题满分12分)设函数f(x,y)可微且满足

-y-y2

df(x,y)=-2xedx+e(x-y-1)dy,f(0,0)=2,求f(x,y),并求f(x,y)的

极值.

--

【答案】f(x,y)=-x2ey+(y+2)ey;f(0,-1)为极大值

13

'-y'-y2

由题意知:fx(x,y)=-2xe,fy(x,y)=e(x-y-1),

故

-y2-y'2-y-y2

f(x,y)=-2xedx=-xe+C(y)→f(x,y)=xe+C,(y)=e(x-y-1),

∫y

-y-y2-y-y

C,(y)=-(y+1)e→C(y)=(y+2)e+C→f(x,y)=-xe+(y+2)e+C

2-y-y

因为f(0,0)=2→C=0→f(x,y)=-xe+(y+2)e

故极大值为f(0,-1)=e.

2222

(20)(本题满分12分)已知平面有界区域D={(x,y)x+y≤4x,x+y≤4y},

2

计算二重积分dxdy

【答案】12τ-

【解析】

14

(21)(本题满分12分)设函数f(x)在区间(a,b)可导,证明导函数f,(x)在(a,b)

内严格单调递增的充分必要条件是:对(a,b)内任意x1,x2,x3,当x1<x2<x3时,有

【答案】略

【解析】证明:(1)必要性

15

由于f'(x)在(a,b)上单增,且ξ1<