求解在72a+79b=130时ab最大值的7种方法

已知72a+79b=130,求ab最大值的方法主要内容：本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在72a+79b=130条件下的最大值。主要公式：1.sin²a+cos²a=1；2.ab≤eq\f((a+b)²,2)；3.二次方程根的判定定理；4.一次函数的导数公式d（ax）=adx。思路一：直接代入法根据已知条件，替换b=eq\f(130-72a,79)，得到关于a的函数，再配方并根据二次函数性质得ab的取值范围。ab=aeq\f(130-72a,79)=-eq\f(1,79)(72a²-130a)=-eq\f(72,79)(a²-eq\f(65,72)a)=-eq\f(72,79)(a-eq\f(65,72))²+eq\f(4225,5688),则当a=eq\f(65,72)时，ab有最大值为eq\f(4225,5688)。思路二：判别式法设ab=p，得到b=eq\f(p,a),代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。72a+79b=130,72a+79*eq\f(p,a)=130,72a²-130a+79p=0,对a的二次方程有：判别式△=130²-4*72*79p≥0,即：p≤eq\f(130²,4*72*79)=eq\f(4225,5688),此时ab=p的最大值=eq\f(4225,5688)。思路三：三角换元法将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值,对于本题设:72a=130cos²t，79b=130sin²t，则：a=eq\f(130,72)cos²t,b=eq\f(72,79)sin²t,代入得：ab=eq\f(130,72)cos²t*eq\f(72,79)sin²t,=eq\f(1,4)*eq\f(130,72)*eq\f(72,79)*(4cos²t*sin²t),=eq\f(130²,4*72*79)*sin²2t,当sin2t=±1时，ab有最大值=eq\f(4225,5688)。思路四：中值代换法设72a=eq\f(130,2)+t₁,79b=eq\f(130,2)-t₁，则：a=eq\f(1,72)(eq\f(130,2)+t₁),b=eq\f(1,79)(eq\f(130,2)-t₁),此时：ab=eq\f(1,72)(eq\f(130,2)+t₁)*eq\f(1,79)(eq\f(130,2)-t₁)=eq\f(1,72*79)(eq\f(130²,4)-t₁²)。当t₁=0时，即：ab≤eq\f(130²,4*72*79)=eq\f(4225,5688),则:ab的最大值为eq\f(4225,5688)。思路五：不等式法当a，b均为正数时，则：∵72a+79b≥2eq\r(72*79*ab),∴(72a+79b)²≥4*72*79ab,130²≥4*72*79ab,即：则ab的最大值为:eq\f(4225,5688)。思路六：数形几何法如图，设直线72a+79b=130上的任意一点P(a₁,b₁),op与x轴的夹角为θ，则： yp(a₁,b₁) o x72a₁+79b₁=130,b₁=a₁tanθ, 72a₁+79a₁tanθ=130，即：a₁=eq\f(130,72+79tanθ), |a₁*b₁|=130²*eq\f(|tanθ|,(72+79tanθ)²),=eq\f(130²,\f(5184,|tanθ|)+2*72*79+6241|tanθ|),≤eq\f(130²,2*72*79+2*72*79)=eq\f(4225,5688)，则：ab的最大值=eq\f(4225,5688).思路七:构造函数法设函数：f(a,b)=ab-λ*(72a+79b-130),则偏导数：f'a=b-72λ,f'b=a-79λ,f'λ=72a+79b-130。令f'a=f'b=f'λ=0，则：b=72λ,a=79λ。进一步代入得：72λ+72λ=130,即λ=eq