高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数I2.3函数的奇偶性与周期性理

第3讲函数奇偶性与周期性1/33考试要求1.函数奇偶性含义及判断，B级要求；2.利用函数图象了解、研究函数奇偶性，A级要求；3.函数周期性、最小正周期含义，周期性判断及应用，B级要求．2/33知识梳理1．函数奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数假如对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数关于

对称奇函数假如对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是奇函数关于

对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点3/332.奇、偶函数性质 (1)含有奇偶性函数，其定义域关于

对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数必要条件是其定义域关于

对称)． (2)奇函数图象关于

对称，偶函数图象关于

对称． (3)若奇函数定义域包含0，则f(0)＝

. (4)定义在(－∞，＋∞)上任意函数f(x)都能够唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．原点原点原点y轴04/333．函数周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内任何值时，都有

，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数周期． (2)最小正周期：假如在周期函数f(x)全部周期中

正数，那么这个最小正数就叫做f(x)

正周期．f(x＋T)＝f(x)存在一个最小最小5/33诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数． () (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0. () (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)图象关于直线x＝a对称． () (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)图象关于点(b,0)中心对称． ()

6/33解析(1)因为偶函数定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错．(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错．答案(1)×(2)×(3)√(4)√7/338/339/3310/335．(·全国Ⅱ卷)偶函数y＝f(x)图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________. 解析∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)． 又f(x)图象关于直线x＝2对称， ∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3. 答案311/3312/3313/3314/33规律方法判断函数奇偶性，其中包含两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数含有奇偶性必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否含有等量关系．在判断奇偶性运算中，能够转化为判断奇偶性等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．15/3316/33答案(1)④(2)③17/3318/33答案(1)1(2)119/33规律方法(1)已知函数奇偶性求参数，普通采取待定系数法求解，依据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数恒等式，由系数对等性得参数值或方程(组)，进而得出参数值．(2)已知函数奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上解析式，将待求区间上自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性结构关于f(x)方程(组)，从而得到f(x)解析式或函数值．20/3321/3322/3323/33答案－224/33规律方法(1)依据函数周期性和奇偶性求给定区间上函数值或解析式时，应依据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间．(2)若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)一个周期．25/3326/3327/3328/33规律方法(1)函数单调性与奇偶性综合．注意函数单调性及奇偶性定义以及奇、偶函数图象对称性．(2)周期性与奇偶性综合．这类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值自变量转化到已知解析式函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性综合．处理这类问题通常先利用周期性转化自变量所在区间，然后利用奇偶性和单调性求解．29/3330/33答案(1)0(2)231/33[思想方法]1．判断函数奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数含有奇偶性一个必要条件．2．利用函数奇偶性能够处理以下问题： (1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数值；(4)画函数图象，确定函数单调性．3．在处理详细问题时，要注意结论“若T是函数周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数周期”应用．32/33

[易错防范]1．f(0)＝0既不是f(x)是奇函数充分条件，也不是必要条