化一公式,辅助角公式教案

化一公式,辅助角公式教案一、教学目标1.知识与技能目标让学生理解化一公式（辅助角公式）的推导过程。使学生能够熟练运用化一公式将形如\(a\sinx+b\cosx\)的式子化为\(A\sin(x+\varphi)\)的形式，并能准确求出\(A\)和\(\varphi\)的值。培养学生运用化一公式解决三角函数相关问题的能力，如求最值、周期、单调区间等。2.过程与方法目标通过推导辅助角公式，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。在运用公式解题的过程中，让学生体会从特殊到一般、再从一般到特殊的数学思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过探究辅助角公式，激发学生对数学的学习兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。让学生在学习过程中感受数学的严谨性和简洁性，体会数学的美学价值，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点辅助角公式的推导及理解。运用辅助角公式对三角函数进行化简和求值。2.教学难点辅助角\(\varphi\)的确定，尤其是其符号和取值范围。如何引导学生灵活运用辅助角公式解决各种三角函数问题。

三、教学方法1.讲授法：讲解辅助角公式的概念、推导过程和应用方法，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生讨论辅助角公式的推导思路、应用中的常见问题等，激发学生的思维，培养学生的合作交流能力。3.练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用辅助角公式解题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.引导学生回顾三角函数的基本性质，如\(y=\sinx\)和\(y=\cosx\)的最值、周期等。2.提出问题：对于函数\(y=3\sinx+4\cosx\)，我们能否直接看出它的最值和周期呢？3.引出本节课的主题化一公式（辅助角公式），它可以帮助我们将形如\(a\sinx+b\cosx\)的式子进行化简，从而更方便地研究其性质。

（二）讲授新课（25分钟）1.辅助角公式的推导设\(a\sinx+b\cosx=A\sin(x+\varphi)\)，其中\(A\gt0\)，\(0\lt\varphi\lt2\pi\)。利用两角和的正弦公式\(\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB\)，将\(A\sin(x+\varphi)\)展开得：\(A\sin(x+\varphi)=A(\sinx\cos\varphi+\cosx\sin\varphi)=A\cos\varphi\sinx+A\sin\varphi\cosx\)。于是有\(\begin{cases}a=A\cos\varphi\\b=A\sin\varphi\end{cases}\)。为了求出\(A\)和\(\varphi\)，将两式平方相加可得：\(a^2+b^2=A^2\cos^2\varphi+A^2\sin^2\varphi=A^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)\)。因为\(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1\)，所以\(A=\sqrt{a^2+b^2}\)。再将\(\frac{b}{a}=\frac{A\sin\varphi}{A\cos\varphi}=\tan\varphi\)，可得\(\varphi=\arctan\frac{b}{a}\)（这里\(\varphi\)的取值需要根据\(a\)、\(b\)的正负进行调整）。综上，辅助角公式为\(a\sinx+b\cosx=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)\)，其中\(\tan\varphi=\frac{b}{a}\)。2.辅助角公式的理解通过具体例子，如\(y=\sinx+\sqrt{3}\cosx\)，让学生运用辅助角公式进行化简。首先确定\(a=1\)，\(b=\sqrt{3}\)，则\(A=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2\)，\(\tan\varphi=\sqrt{3}\)，因为\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)，那么\(y=2\sin(x+\frac{\pi}{3})\)。引导学生思考：化简后的式子有什么优点？与原式子相比，更容易研究哪些性质？总结得出：化一公式将两个三角函数的和化为一个三角函数，便于求函数的最值、周期、单调区间等。

（三）例题讲解（20分钟）1.例1：将\(y=2\sinx+2\sqrt{3}\cosx\)化为\(A\sin(x+\varphi)\)的形式，并求其最大值和最小值。解：由辅助角公式，\(a=2\)，\(b=2\sqrt{3}\)，则\(A=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4\)，\(\tan\varphi=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\)。因为\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)，即\(y=4\sin(x+\frac{\pi}{3})\)。当\(\sin(x+\frac{\pi}{3})=1\)时，\(y_{max}=4\)；当\(\sin(x+\frac{\pi}{3})=1\)时，\(y_{min}=4\)。2.例2：求函数\(y=\sinx\cosx\)的周期。解：对于\(y=\sinx\cosx\)，\(a=1\)，\(b=1\)，则\(A=\sqrt{1^2+(1)^2}=\sqrt{2}\)，\(\tan\varphi=1\)。因为\(a\gt0\)，\(b\lt0\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{4}\)，即\(y=\sqrt{2}\sin(x\frac{\pi}{4})\)。根据正弦函数的周期公式\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)（这里\(\omega=1\)），可得\(T=2\pi\)。3.例3：求函数\(y=3\sinx+4\cosx\)在\([0,\pi]\)上的单调递增区间。解：先将函数化为\(y=5\sin(x+\varphi)\)的形式，其中\(a=3\)，\(b=4\)，\(A=5\)，\(\tan\varphi=\frac{4}{3}\)。由\(2k\pi\frac{\pi}{2}\leqx+\varphi\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，可得\(2k\pi\frac{\pi}{2}\varphi\leqx\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\varphi(k\inZ)\)。因为\(x\in[0,\pi]\)，所以需要确定\(k\)的值使得区间在\([0,\pi]\)内。当\(k=0\)时，\(x\in[\varphi,\frac{\pi}{2}\varphi]\)，通过计算\(\varphi\)的值（\(\tan\varphi=\frac{4}{3}\)），进一步确定单调递增区间。解得\(\varphi\approx0.93\)（弧度），则单调递增区间为\([0,\frac{\pi}{2}0.93]\)。

（四）课堂练习（15分钟）1.将下列式子化为\(A\sin(x+\varphi)\)的形式：\(y=\sqrt{3}\sinx+\cosx\)\(y=2\sinx2\cosx\)2.求函数\(y=4\sinx+3\cosx\)的最大值和最小值。3.求函数\(y=\sinx+\cosx\)在\([0,2\pi]\)上的单调递减区间。

（五）课堂小结（5分钟）1.请学生回顾辅助角公式的推导过程和内容。2.总结运用辅助角公式解题的步骤：确定\(a\)和\(b\)的值。计算\(A=\sqrt{a^2+b^2}\)。根据\(\tan\varphi=\frac{b}{a}\)确定\(\varphi\)的值（注意根据\(a\)、\(b\)的正负调整\(\varphi\)的取值范围）。将原式化为\(A\sin(x+\varphi)\)的形式，再根据三角函数的性质求解问题。3.强调辅助角公式在三角函数化简、求值、求最值、求周期和单调区间等方面的重要应用。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材课后习题中相关题目。2.拓展作业：思考辅助角公式在物理学、工程学等其他领域中的应用实例，并尝试进行简单的分析。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对化一公式（辅助角公式）有了