专题复习证明线段间的数量关系教学设计11,18

专题复习证明线段间的数量关系教学设计11,18一、教学目标1.知识与技能目标学生能够熟练掌握证明线段间数量关系的常见方法，如全等三角形证明、相似三角形证明、勾股定理应用、三角函数应用等。通过对不同类型题目进行分析，培养学生观察、分析、推理和逻辑表达能力，提高学生解决证明线段数量关系问题的能力。2.过程与方法目标经历对各种证明线段数量关系问题的探索过程，体会解题思路的形成过程，学会运用多种数学思想方法，如转化思想、方程思想、分类讨论思想等解决问题。通过小组合作、交流讨论，培养学生的合作意识和自主探究能力，提高学生的思维品质。3.情感态度与价值观目标激发学生对数学学习的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。让学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心，感受数学的严谨性和科学性。

二、教学重难点1.教学重点梳理证明线段数量关系的常用方法，并能根据题目条件选择合适的方法进行证明。引导学生分析题目中的条件和图形特征，培养学生的解题思路和方法。2.教学难点灵活运用各种数学知识和方法，进行复杂问题的转化与求解，特别是在条件不明显时，如何寻找解题的突破口。培养学生在解题过程中的数学思维能力和逻辑推理能力，提高学生解决综合性问题的能力。

三、教学方法1.讲授法通过讲解典型例题，系统地传授证明线段数量关系的方法和技巧，使学生对相关知识有清晰的认识和理解。2.讨论法组织学生进行小组讨论，让学生在交流中分享解题思路和方法，互相启发，拓宽思维，培养学生的合作学习能力和思维碰撞。3.练习法安排适量的练习题，让学生通过练习巩固所学知识，提高解题能力，及时反馈学生对知识的掌握情况，以便调整教学策略。

四、教学过程

（一）知识回顾（5分钟）1.提问学生回顾全等三角形、相似三角形、勾股定理、三角函数等相关知识的概念和性质。全等三角形有哪些判定方法？全等三角形的对应边有什么关系？相似三角形的判定方法有哪些？相似三角形的对应边成比例如何表示？勾股定理的内容是什么？在直角三角形中如何运用勾股定理求边长？三角函数的定义是什么？常见的三角函数值有哪些？在直角三角形中如何利用三角函数求边长？2.教师简要总结学生的回答，并强调这些知识在证明线段数量关系中的重要性，为后续教学做好铺垫。

（二）引入新课（3分钟）通过展示一道简单的证明线段数量关系的题目，如：已知在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，连接AD，求证：BD=CD。引导学生思考解题思路，从而引出本节课的主题专题复习证明线段间的数量关系。

（三）例题讲解（25分钟）1.全等三角形证明线段相等例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D。求证：（1）AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长。分析：（1）要证明AE=CD，可通过证明△ACE≌△CBD来实现。已知∠ACB=90°，CF⊥AE，BD⊥BC，可得出∠AEC+∠EAC=90°，∠DCB+∠AEC=90°，所以∠EAC=∠DCB。又因为AC=BC，∠ACE=∠CBD=90°，根据ASA可证△ACE≌△CBD，从而得出AE=CD。（2）由（1）可知△ACE≌△CBD，所以BD=CE。因为AE是BC边上的中线，AC=BC=12cm，所以CE=1/2BC=6cm，即BD=6cm。证明过程：（1）在△ACE和△CBD中，∵∠ACB=90°，CF⊥AE，BD⊥BC，∴∠AEC+∠EAC=90°，∠DCB+∠AEC=90°，∴∠EAC=∠DCB。又∵AC=BC，∠ACE=∠CBD=90°，∴△ACE≌△CBD（ASA），∴AE=CD。（2）∵△ACE≌△CBD，∴BD=CE。∵AC=BC=12cm，AE是BC边上的中线，∴CE=1/2BC=6cm，∴BD=6cm。总结：利用全等三角形证明线段相等是证明线段数量关系中最基本的方法之一。解题的关键是找到全等三角形的对应条件，通过全等三角形的性质得出线段相等。2.相似三角形证明线段成比例例2：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，点E在AC上，且∠ADE=∠B。（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）如果AB=10，BC=12，当AE=4时，求DC的长。分析：（1）要证明△ABD∽△DCE，已知∠ADE=∠B，又因为AB=AC，所以∠B=∠C，从而得出∠ADE=∠C。根据两角对应相等的两个三角形相似，可证△ABD∽△DCE。（2）由（1）可知△ABD∽△DCE，根据相似三角形的对应边成比例，可得AB/DC=BD/CE。已知AB=10，BC=12，AE=4，设DC=x，则BD=12x，CE=ACAE=104=6。代入比例式可得10/x=(12x)/6，解方程即可求出DC的长。证明过程：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C。又∵∠ADE=∠B，∴∠ADE=∠C。∴△ABD∽△DCE。（2）设DC=x，则BD=12x，CE=ACAE=104=6。∵△ABD∽△DCE，∴AB/DC=BD/CE，即10/x=(12x)/6，去分母得60=12xx²，移项得x²12x+60=0，因式分解得(x6)(x10)=0，解得x₁=6，x₂=10（舍去）。所以DC=6。总结：相似三角形证明线段成比例是证明线段数量关系的重要方法。通过寻找题目中的角相等或边成比例关系，证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出线段的比例关系，进而求解线段的长度。3.勾股定理证明线段长度关系例3：已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13。求四边形ABCD的面积。分析：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理可求出AC的长度。然后在△ACD中，通过计算三边的平方关系，判断△ACD是否为直角三角形。若△ACD是直角三角形，则四边形ABCD的面积等于Rt△ABC的面积与Rt△ACD的面积之和。计算过程：连接AC。在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理得AC²=AB²+BC²=3²+4²=25，所以AC=5。在△ACD中，AC=5，CD=12，AD=13，因为AC²+CD²=5²+12²=169，AD²=13²=169，所以AC²+CD²=AD²，则△ACD是直角三角形，∠ACD=90°。所以四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=1/2×AB×BC+1/2×AC×CD=1/2×3×4+1/2×5×12=6+30=36。总结：勾股定理常用于直角三角形中求边长或证明线段长度关系。通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解未知线段的长度。4.三角函数证明线段数量关系例4：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D是AC中点，DE⊥AB于E，连接BD。求sin∠CBD的值。分析：设BC=x，根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，可得AB=2x。再利用勾股定理求出AC的长度，进而得到AD和CD的长度。在Rt△BDE中，求出BE和BD的长度，最后根据正弦函数的定义求出sin∠CBD的值。计算过程：设BC=x。在Rt△ABC中，∠A=30°，所以AB=2BC=2x。根据勾股定理得AC=√(AB²BC²)=√((2x)²x²)=√3x。因为D是AC中点，所以AD=CD=1/2AC=√3/2x。在Rt△ADE中，∠A=30°，所以AE=1/2AD=√3/4x。则BE=ABAE=2x√3/4x=(8x√3x)/4。在Rt△BCD中，BD=√(BC²+CD²)=√(x²+(√3/2x)²)=√7/2x。所以sin∠CBD=CD/BD=(√3/2x)/(√7/2x)=√21/7。总结：三角函数在直角三角形中用于表示边与角的关系。通过已知角的三角函数值和直角三角形的边的关系，求出未知边的长度，进而证明线段数量关系或求解三角函数值。

（四）小组讨论（15分钟）1.将学生分成小组，每组45人。2.给出以下练习题，让学生小组合作完成，并讨论解题思路和方法。练习题1：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，E是AC中点，连接BE交AD于点F，若BF=3，求FE的长。练习题2：已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC中点，F在CD上，且CF=1/4CD，连接AE、AF、EF。求证：（1）△ABE∽△ECF；（2）AE⊥EF。练习题3：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC中点，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF。求证：（1）BE=AF；（2）EF²=BE²+CF²。3.教师巡视各小组的讨论情况，及时给予指导和帮助，鼓励学生积极交流，分享自己的想法和见解。

（五）课堂展示与点评（15分钟）1.每个小组选派一名代表上台展示练习题的解题过程，并讲解解题思路。2.其他小组的同学可以进行补充和质疑，形成良好的互动氛围。3.教师对各小组的展示进行点评，肯定学生的优点，指出存在的问题和不足之处，并对解题思路和方法进行总结和归纳，强调解题的关键步骤和注意事项。

（六）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学的内容，包括证明线段数量关系的常用方法，如全等三角形证明、相似三角形证明、勾股定理应用、三角函数应用等。2.让学生分享在本节课中的收获和体会，以及在解题过程中遇到的困难和解决方法。3.教师对学生的发言进行总结和补充，强调数学思想方法在解题中的重要性，鼓励学生在今后的学习中继续努力，不断提高自己的数学思维能力和解题能力。

（七）布置作业（5分钟）1.布置课后作业，让学生完成相关练习题，巩固本节课所学知识。作业1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC中点，DE交BC的延长线于F。求证：（1）△BDF∽△DCF；（2）若AC=2BC，求BF/CF的值。作业2：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于F。求证：DF=EF。作业3：已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=4，AD=1，CD=5。求四边形ABCD的面积。2.选做题：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，AD⊥BC于D，点E在AB上，点F在AC上，且∠EDF=60°。（1）求证：△ADE∽△CFD；（2）设AE=x，CF=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对证明线段间的数量关系有了更深入的理解和掌握，能够熟练运用全等三角形、相似三角形、勾股定理、三角函数等知识解决相关问题。在教学过程中，采用了多种教学方法，如讲授法、讨论法、练习法等，充分发挥了学生的主体作用，