数学建模教案最小二乘法

数学建模教案最小二乘法一、教学目标1.让学生理解最小二乘法的基本原理。2.使学生掌握运用最小二乘法进行线性回归模型参数估计的方法。3.培养学生运用最小二乘法解决实际问题的能力，提升学生的数学建模素养。

二、教学重难点1.教学重点最小二乘法的原理推导。基于最小二乘法的线性回归模型参数求解。2.教学难点最小二乘法原理中误差平方和最小化的理解。将实际问题转化为可运用最小二乘法求解的数学模型。

三、教学方法讲授法、案例分析法、小组讨论法相结合

四、教学过程

（一）课程导入（5分钟）通过展示一些实际生活中存在变量之间线性关系的例子，如房价与面积、汽车销售量与广告投入等，引出本节课要学习的用于研究变量间线性关系的方法最小二乘法。

（二）知识讲解（20分钟）1.误差的概念设变量\(x\)与\(y\)之间存在线性关系\(y=a+bx\)，对于给定的\(n\)组观测数据\((x_i,y_i)\)，\(i=1,2,\cdots,n\)，观测值\(y_i\)与利用线性模型计算得到的值\(\hat{y}_i=a+bx_i\)之间的差值\(e_i=y_i\hat{y}_i\)称为残差（误差）。2.最小二乘法原理最小二乘法的基本思想是使观测值\(y_i\)与估计值\(\hat{y}_i\)之间的误差平方和达到最小。即求\(a\)和\(b\)的值，使得\(Q(a,b)=\sum_{i=1}^{n}e_i^2=\sum_{i=1}^{n}(y_iabx_i)^2\)最小。为了找到使\(Q(a,b)\)最小的\(a\)和\(b\)，分别对\(Q(a,b)\)关于\(a\)和\(b\)求偏导数，并令偏导数为\(0\)。\(\frac{\partialQ}{\partiala}=2\sum_{i=1}^{n}(y_iabx_i)=0\)，化简可得\(na+b\sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{i=1}^{n}y_i\)。\(\frac{\partialQ}{\partialb}=2\sum_{i=1}^{n}x_i(y_iabx_i)=0\)，展开并化简得到\(a\sum_{i=1}^{n}x_i+b\sum_{i=1}^{n}x_i^2=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\)。联立上述两个方程：\(\begin{cases}na+b\sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{i=1}^{n}y_i\\a\sum_{i=1}^{n}x_i+b\sum_{i=1}^{n}x_i^2=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\end{cases}\)解这个方程组可得：\(b=\frac{n\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{i=1}^{n}y_i}{n\sum_{i=1}^{n}x_i^2(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2}\)\(a=\overline{y}b\overline{x}\)，其中\(\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\)，\(\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i\)。

（三）案例分析（25分钟）1.案例背景某地区收集了过去10年的居民收入\(x\)（单位：万元）和消费支出\(y\)（单位：万元）的数据，如下表所示：|年份|居民收入\(x\)|消费支出\(y\)||||||1|2.5|2.0||2|3.1|2.4||3|3.7|2.8||4|4.3|3.2||5|4.9|3.5||6|5.6|3.9||7|6.2|4.2||8|6.8|4.6||9|7.4|5.0||10|8.0|5.4|2.模型建立设消费支出\(y\)与居民收入\(x\)之间的线性回归模型为\(y=a+bx\)。首先计算\(\sum_{i=1}^{10}x_i=2.5+3.1+\cdots+8.0=52.5\)，\(\sum_{i=1}^{10}y_i=2.0+2.4+\cdots+5.4=37.0\)，\(\sum_{i=1}^{10}x_i^2=2.5^2+3.1^2+\cdots+8.0^2=323.55\)，\(\sum_{i=1}^{10}x_iy_i=2.5×2.0+3.1×2.4+\cdots+8.0×5.4=225.4\)。然后计算\(b\)的值：\(b=\frac{10×225.452.5×37.0}{10×323.5552.5^2}\)先计算分子：\(10×225.452.5×37.0=22541942.5=311.5\)。再计算分母：\(10×323.5552.5^2=3235.52756.25=479.25\)。所以\(b=\frac{311.5}{479.25}\approx0.65\)。接着计算\(a\)的值：\(\overline{x}=\frac{52.5}{10}=5.25\)，\(\overline{y}=\frac{37.0}{10}=3.7\)。\(a=3.70.65×5.25=3.73.4125=0.2875\)。得到线性回归方程为\(y=0.2875+0.65x\)。3.结果分析该方程表示居民收入每增加1万元，消费支出平均增加约0.65万元。可以利用该模型对未来的消费支出进行预测，比如当居民收入为9万元时，代入方程可得\(y=0.2875+0.65×9=0.2875+5.85=6.1375\)万元。

（四）小组讨论（15分钟）1.将学生分成小组，每组45人。2.给出一个类似的实际问题，如研究某种植物的生长高度与光照时间的关系，已知收集到的数据如下：|光照时间\(x\)（小时）|生长高度\(y\)（厘米）|||||2|5||4|7||6|9||8|11||10|13|让小组通过运用最小二乘法建立线性回归模型，并分析结果。3.小组讨论过程中，教师巡视各小组，及时给予指导和答疑。4.每个小组推选一名代表进行发言，汇报小组的讨论结果。

（五）课堂总结（5分钟）1.回顾最小二乘法的原理，强调通过使误差平方和最小来确定线性回归模型参数的方法。2.总结运用最小二乘法解决实际问题的步骤，包括数据收集、模型建立、参数求解和结果分析。3.鼓励学生在今后的学习和生活中，善于发现实际问题中的线性关系，并运用最小二乘法等数学方法进行分析和解决。

（六）课后作业（5分钟）1.已知某商品的销售价格\(x\)（单位：元）与销售量\(y\)（单位：件）的数据如下：|销售价格\(x\)|销售量\(y\)|||||10|200||12|180||14|160||16|140||18|120|请用最小二乘法建立销售量与销售价格之间的线性回归模型，并预测当销售价格为20元时的销售量。2.思考最小二乘法在其他领域可能的应用场景，并举例说明。

五、教学资源1.多媒体教学设备，用于展示教学内容和案例数据。2.相关教材和参考资料，为学生提供拓展学习的资源。

六、教学反思通过本节课的教学，大部分学生