任意角的三角函数刘云丹教案

任意角的三角函数刘云丹教案一、教学目标1.知识与技能目标理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。能根据角的终边上的点的坐标求三角函数值。掌握三角函数在各象限的符号规律。2.过程与方法目标通过借助单位圆理解三角函数的定义，培养学生观察、分析、归纳的能力。通过对三角函数值的计算，提高学生的运算能力。3.情感态度与价值观目标让学生感受数学知识的形成过程，体会数学的严谨性。培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界的数学素养。

二、教学重难点1.教学重点任意角的三角函数的定义。三角函数在各象限的符号规律。2.教学难点对任意角的三角函数定义的理解，特别是自变量与函数值的对应关系。利用三角函数的定义求三角函数值及判断三角函数值的符号。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.回顾初中锐角三角函数的定义在直角三角形中，我们学习了锐角三角函数，如正弦、余弦、正切。提问：在直角三角形中，sinA、cosA、tanA是如何定义的？学生回答后，教师总结：\(sinA=\frac{对边}{斜边}\)\(cosA=\frac{邻边}{斜边}\)\(tanA=\frac{对边}{邻边}\)2.提出问题当角A不是锐角时，这些定义还适用吗？如何定义任意角的三角函数呢？引出本节课的主题任意角的三角函数。

（二）讲授新课（25分钟）1.任意角的三角函数的定义借助单位圆来定义任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点\(P(x,y)\)。那么：正弦\(sinα=y\)余弦\(cosα=x\)正切\(tanα=\frac{y}{x}(x≠0)\)讲解定义要点强调单位圆的作用，单位圆半径\(r=1\)，使得\(sinα=\frac{y}{r}\)，\(cosα=\frac{x}{r}\)，\(tanα=\frac{y}{x}\)，这样的定义更具一般性。明确自变量是角α，函数值分别是点\(P\)的纵坐标\(y\)、横坐标\(x\)以及纵坐标与横坐标的比值\(\frac{y}{x}\)（\(x≠0\)）。指出对于确定的角α，其终边上任意一点\(P\)的坐标\((x,y)\)与\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)的比值是唯一确定的，与点\(P\)在终边上的位置无关。2.例题讲解例1：已知角α的终边经过点\(P(2,3)\)，求\(sinα\)，\(cosα\)，\(tanα\)的值。分析：首先求出\(r=\sqrt{2^{2}+(3)^{2}}=\sqrt{13}\)。然后根据定义可得：\(sinα=\frac{y}{r}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}\)\(cosα=\frac{x}{r}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\)\(tanα=\frac{y}{x}=\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)例2：已知角α的终边在直线\(y=3x\)上，求\(sinα\)，\(cosα\)，\(tanα\)的值。分析：在直线\(y=3x\)上任取一点\(P(a,3a)(a≠0)\)。当\(a>0\)时，\(r=\sqrt{a^{2}+(3a)^{2}}=\sqrt{10}a\)。则\(sinα=\frac{y}{r}=\frac{3a}{\sqrt{10}a}=\frac{3\sqrt{10}}{10}\)，\(cosα=\frac{x}{r}=\frac{a}{\sqrt{10}a}=\frac{\sqrt{10}}{10}\)，\(tanα=\frac{y}{x}=3\)。当\(a<0\)时，\(r=\sqrt{a^{2}+(3a)^{2}}=\sqrt{10}a\)。则\(sinα=\frac{y}{r}=\frac{3a}{\sqrt{10}a}=\frac{3\sqrt{10}}{10}\)，\(cosα=\frac{x}{r}=\frac{a}{\sqrt{10}a}=\frac{\sqrt{10}}{10}\)，\(tanα=\frac{y}{x}=3\)。总结：求任意角的三角函数值的步骤确定角α终边上一点\(P\)的坐标\((x,y)\)。计算\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。根据定义计算\(sinα\)，\(cosα\)，\(tanα\)的值。3.三角函数在各象限的符号规律引导学生根据三角函数的定义，分析当角α的终边在不同象限时，\(sinα\)，\(cosα\)，\(tanα\)的符号情况。总结规律：一全正：第一象限角的正弦、余弦、正切值都是正数。二正弦：第二象限角的正弦值是正数，余弦、正切值是负数。三正切：第三象限角的正切值是正数，正弦、余弦值是负数。四余弦：第四象限角的余弦值是正数，正弦、正切值是负数。可以通过口诀帮助学生记忆："一全正，二正弦，三正切，四余弦"。例3：确定下列三角函数值的符号\(sin250^{\circ}\)\(cos(300^{\circ})\)\(tan(\frac{3π}{4})\)分析：\(250^{\circ}\)是第三象限角，所以\(sin250^{\circ}<0\)。\(300^{\circ}\)与\(60^{\circ}\)终边相同，是第一象限角，所以\(cos(300^{\circ})>0\)。\(\frac{3π}{4}\)是第二象限角，所以\(tan(\frac{3π}{4})<0\)。

（三）课堂练习（15分钟）1.已知角α的终边经过点\(Q(4,3)\)，求\(sinα\)，\(cosα\)，\(tanα\)的值。2.已知角α的终边在直线\(y=2x\)上，求\(sinα\)，\(cosα\)，\(tanα\)的值。3.确定下列三角函数值的符号\(sin(\frac{π}{6})\)\(cos135^{\circ}\)\(tan\frac{5π}{3}\)4.已知\(cosα=\frac{3}{5}\)，且α是第四象限角，求\(sinα\)，\(tanα\)的值。

学生进行练习，教师巡视指导，及时纠正学生出现的错误。

（四）课堂小结（5分钟）1.请学生回顾本节课所学内容任意角的三角函数的定义。如何根据定义求三角函数值。三角函数在各象限的符号规律。2.教师总结强调任意角的三角函数定义是基础，要理解其本质。求三角函数值时要准确确定点的坐标和\(r\)的值。掌握三角函数符号规律有助于快速判断三角函数值的正负。

（五）布置作业（5分钟）1.书面作业课本第19页练习第1、2、3题。已知角α的终边经过点\(M(5,12)\)，求\(sinα\)，\(cosα\)，\(tanα\)的值。已知\(sinα=\frac{3}{5}\)，且α是第三象限角，求\(cosα\)，\(tanα\)的值。2.思考作业思考三角函数的定义与初中锐角三角函数定义的联系与区别。若\(sinα>0\)且\(cosα<0\)，则角α是第几象限角？

五、教学反思通过本节课的教学，学生初步理解了任意角的三角函数的定义，掌握了求三角