实际问题与二次函数2教案

实际问题与二次函数2教案一、教学目标1.知识与技能目标能够根据实际问题建立二次函数的数学模型，并运用二次函数的性质解决实际问题中的最值问题。进一步理解二次函数的图象与性质，提高运用函数知识解决实际问题的能力。2.过程与方法目标通过分析实际问题中的数量关系，经历建立二次函数模型并求解最值的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力以及数学建模思想。在解决问题的过程中，体会函数思想与方程思想的相互转化，提高学生的综合运用数学知识的能力。3.情感态度与价值观目标通过实际问题的解决，让学生感受到数学与生活的紧密联系，体会数学在实际生活中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。在探究活动中，培养学生的合作交流意识和勇于探索的精神，增强学生学好数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点利用二次函数解决实际问题中的最值问题，如求最大利润、最大面积等。正确分析实际问题中的数量关系，建立合理的二次函数模型。2.教学难点如何引导学生将实际问题转化为数学问题，找出问题中的等量关系，建立准确的二次函数模型。理解实际问题中自变量的取值范围对函数最值的影响，并能根据实际情况确定函数的最值。

三、教学方法1.讲授法：讲解二次函数在实际问题中的应用方法和步骤，让学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生讨论实际问题中的数量关系，鼓励学生积极思考、交流合作，共同探索解决问题的思路。3.练习法：通过课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高运用二次函数解决实际问题的能力。

四、教学过程

（一）复习导入（5分钟）1.回顾二次函数的一般形式\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），以及二次函数的图象和性质，如对称轴公式\(x=\frac{b}{2a}\)，当\(a\gt0\)时，函数图象开口向上，在对称轴处取得最小值；当\(a\lt0\)时，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值。2.提问：在实际生活中，哪些问题可以用二次函数来解决？引导学生回忆之前学过的一些简单的实际问题，如求矩形面积的最大值等，为新课的学习做好铺垫。

（二）新课讲授（25分钟）1.例题讲解例1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：设每件涨价\(x\)元，则每星期少卖\(10x\)件，实际卖出\((30010x)\)件，每件利润为\((60+x40)\)元。根据"总利润=每件利润×销售量"，可列出利润\(y\)与\(x\)的函数关系式。解：设每件涨价\(x\)元，利润为\(y\)元。销售量为\(30010x\)件。每件利润为\(60+x40=20+x\)元。则\(y=(20+x)(30010x)\)展开式子得：\(y=6000200x+300x10x^2\)整理得：\(y=10x^2+100x+6000\)对于二次函数\(y=10x^2+100x+6000\)，其中\(a=10\)，\(b=100\)，\(c=6000\)。对称轴为\(x=\frac{b}{2a}=\frac{100}{2\times(10)}=5\)。因为\(a=10\lt0\)，所以函数图象开口向下，在对称轴\(x=5\)处取得最大值。当\(x=5\)时，\(y_{max}=10\times5^2+100\times5+6000=250+500+6000=6250\)。此时定价为\(60+5=65\)元。提问：如果设每件降价\(x\)元，又该如何列出函数关系式并求解呢？让学生思考并尝试解答，然后请一位同学上台板演。学生解答后，教师进行点评和总结：设每件降价\(x\)元，利润为\(y\)元。销售量为\(300+20x\)件。每件利润为\(60x40=20x\)元。则\(y=(20x)(300+20x)\)展开式子得：\(y=6000+400x300x20x^2\)整理得：\(y=20x^2+100x+6000\)对于二次函数\(y=20x^2+100x+6000\)，其中\(a=20\)，\(b=100\)，\(c=6000\)。对称轴为\(x=\frac{b}{2a}=\frac{100}{2\times(20)}=2.5\)。因为\(a=20\lt0\)，所以函数图象开口向下，在对称轴\(x=2.5\)处取得最大值。当\(x=2.5\)时，\(y_{max}=20\times2.5^2+100\times2.5+6000=125+250+6000=6125\)。此时定价为\(602.5=57.5\)元。比较两种情况下的最大利润：\(6250\gt6125\)，所以当定价为\(65\)元时，利润最大。2.归纳总结引导学生回顾解决例1的过程，总结利用二次函数解决实际问题中最值问题的一般步骤：分析实际问题中的数量关系，设出合适的自变量。根据已知条件，列出二次函数的关系式。确定自变量的取值范围。根据二次函数的性质，求出函数的最值以及此时自变量的值。检验所求结果是否符合实际意义，得出结论。

（三）课堂练习（15分钟）1.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家"家电下乡"政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。假设每台冰箱降价\(x\)元，商场每天销售这种冰箱的利润是\(y\)元，请写出\(y\)与\(x\)之间的函数关系式；商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？2.学生独立完成练习后，教师巡视指导，发现学生存在的问题及时进行纠正。3.请几位同学上台展示自己的解题过程，教师进行点评和讲解，强调解题的关键步骤和注意事项。

（四）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，包括利用二次函数解决实际问题中最值问题的方法和步骤。2.让学生分享自己在本节课中的收获和体会，以及在解题过程中遇到的困难和解决方法。3.教师对学生的表现进行总结和评价，鼓励学生在今后的学习中继续努力，提高运用数学知识解决实际问题的能力。

（五）布置作业（5分钟）1.必做题：课本第54页练习第2、3题。2.选做题：某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，床位可全部租出。若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出。以每次提高2元的这种方法变化下去，为了减少投资且获利增加，每床每晚应提高多少元？

五、教学反思通过本节课的教学，学生能够较好地掌握利用二次函数解决实际问题中的最值问题的方法和步骤。在教学过程中，通过例题的详细讲解和课堂练习的巩固，让学生逐步理解和掌握了如何将实际问题转化为数学问题，并建立二次函数模型求解。同时，通过小组讨论和学生上台展示等方式，激发了学生的学习兴趣和积极性，培养了学生的合作交流意识和勇于探索的精神。

然而，在教学过程中也发现了一些不足之处。例如，部分学生在分析实际问题中的数量关系时还存在困