字相乘法多项式因式分解教案

字相乘法多项式因式分解教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解十字相乘法的概念，掌握用十字相乘法对二次三项式\(ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）进行因式分解的方法。通过练习，使学生熟练运用十字相乘法进行因式分解，并能准确判断二次三项式是否能在有理数范围内用十字相乘法分解。2.过程与方法目标经历观察、分析、尝试、归纳等过程，培养学生的逻辑推理能力和运算能力，提高学生的数学思维水平。通过十字相乘法的学习，体会从特殊到一般的数学思想方法，以及类比、转化的数学思维方式。3.情感态度与价值观目标通过探究十字相乘法，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神。在学习过程中，让学生感受数学的简洁美和严谨性，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点理解十字相乘法的原理，掌握用十字相乘法分解二次三项式\(ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的方法。能够准确地将二次三项式中的二次项系数\(a\)和常数项\(c\)分别分解因数，并通过十字相乘的方式得到一次项系数\(b\)。2.教学难点对于一些二次三项式，如何准确地找到合适的因数分解，使得十字相乘的结果等于一次项系数。当二次项系数\(a\)和常数项\(c\)的因数较多时，如何快速、准确地进行十字相乘的尝试。

三、教学方法1.讲授法：通过清晰、准确的语言，向学生讲解十字相乘法的概念、原理和方法，使学生系统地掌握新知识。2.演示法：在黑板上或利用多媒体课件进行演示，直观地展示十字相乘法的过程，帮助学生理解和掌握。3.练习法：安排适量的练习题，让学生通过实际操作，巩固所学知识，提高运用十字相乘法进行因式分解的能力。4.讨论法：组织学生进行小组讨论，鼓励学生积极思考、交流，共同解决学习中遇到的问题，培养学生的合作学习能力和思维能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.回顾因式分解的概念和已学的因式分解方法，如提公因式法、公式法等。提问：什么是因式分解？我们学过哪些因式分解的方法？学生回答后，教师总结：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。提公因式法是提取多项式各项的公因式，公式法是利用平方差公式\(a^2b^2=(a+b)(ab)\)和完全平方公式\((a\pmb)^2=a^2\pm2ab+b^2\)进行因式分解。2.给出几个二次三项式，如\(x^2+5x+6\)、\(x^25x+6\)、\(2x^2+7x+3\)，让学生思考如何对它们进行因式分解。引导学生观察这些二次三项式的特点，发现它们都不能直接用提公因式法或公式法进行因式分解。引出本节课的主题十字相乘法多项式因式分解。

（二）讲授新课（20分钟）1.以\(x^2+5x+6\)为例，讲解十字相乘法的原理。分析二次三项式\(x^2+5x+6\)中各项的系数和次数，二次项系数是\(1\)，一次项系数是\(5\)，常数项是\(6\)。把二次项系数\(1\)分解为\(1\times1\)，常数项\(6\)分解为\(2\times3\)。尝试十字相乘：\[\begin{array}{c|cc}&1&2\\\hline1&&3\end{array}\]交叉相乘再相加：\(1\times3+1\times2=5\)，正好等于一次项系数。所以\(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\)。2.总结十字相乘法的概念：对于二次三项式\(ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），如果二次项系数\(a\)可以分解成两个因数之积，即\(a=a_1\cdota_2\)，常数项\(c\)可以分解成两个因数之积，即\(c=c_1\cdotc_2\)，并且\(a_1c_2+a_2c_1=b\)，那么二次三项式就可以分解为\((a_1x+c_1)(a_2x+c_2)\)。3.强调十字相乘法的关键步骤：对二次项系数\(a\)和常数项\(c\)分别进行因数分解。尝试不同的因数组合，使得十字相乘的结果等于一次项系数\(b\)。4.再以\(x^25x+6\)为例进行讲解：二次项系数\(1\)分解为\(1\times1\)，常数项\(6\)分解为\((2)\times(3)\)。十字相乘：\[\begin{array}{c|cc}&1&2\\\hline1&&3\end{array}\]交叉相乘再相加：\(1\times(3)+1\times(2)=5\)，等于一次项系数。所以\(x^25x+6=(x2)(x3)\)。5.讲解\(2x^2+7x+3\)的分解方法：二次项系数\(2\)分解为\(1\times2\)，常数项\(3\)分解为\(1\times3\)。十字相乘：\[\begin{array}{c|cc}&1&1\\\hline2&&3\end{array}\]交叉相乘再相加：\(1\times3+2\times1=5\neq7\)，这种组合不行。调整因数分解，将常数项\(3\)分解为\(3\times1\)。十字相乘：\[\begin{array}{c|cc}&1&3\\\hline2&&1\end{array}\]交叉相乘再相加：\(1\times1+2\times3=7\)，等于一次项系数。所以\(2x^2+7x+3=(x+3)(2x+1)\)。

（三）例题讲解（15分钟）1.例1：分解因式\(x^27x+12\)分析：二次项系数\(1\)分解为\(1\times1\)，常数项\(12\)分解为\((3)\times(4)\)。十字相乘：\[\begin{array}{c|cc}&1&3\\\hline1&&4\end{array}\]交叉相乘再相加：\(1\times(4)+1\times(3)=7\)，等于一次项系数。解：\(x^27x+12=(x3)(x4)\)2.例2：分解因式\(3x^211x+10\)分析：二次项系数\(3\)分解为\(1\times3\)，常数项\(10\)分解为\((2)\times(5)\)。十字相乘：\[\begin{array}{c|cc}&1&2\\\hline3&&5\end{array}\]交叉相乘再相加：\(1\times(5)+3\times(2)=11\)，等于一次项系数。解：\(3x^211x+10=(x2)(3x5)\)3.例3：分解因式\(2x^2+5x3\)分析：二次项系数\(2\)分解为\(1\times2\)，常数项\(3\)分解为\(3\times(1)\)。十字相乘：\[\begin{array}{c|cc}&1&3\\\hline2&&1\end{array}\]交叉相乘再相加：\(1\times(1)+2\times3=5\)，等于一次项系数。解：\(2x^2+5x3=(x+3)(2x1)\)4.总结例题解题步骤：确定二次项系数\(a\)和常数项\(c\)。对\(a\)和\(c\)分别进行因数分解。尝试不同的因数组合，进行十字相乘，使得结果等于一次项系数\(b\)。写出因式分解的结果。

（四）课堂练习（15分钟）1.布置练习题：分解因式：\(x^2+8x+12\)\(x^29x+20\)\(2x^27x4\)\(3x^2+10x+3\)\(4x^211x+6\)2.学生进行练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。3.请几位学生上台板演，讲解解题过程，其他学生进行评价。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，提问：什么是十字相乘法？用十字相乘法分解二次三项式的步骤是什么？在运用十字相乘法时需要注意什么？2.学生回答后，教师进行总结：十字相乘法是一种将二次三项式\(ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）分解为两个一次二项式乘积的方法。关键在于对二次项系数\(a\)和常数项\(c\)进行因数分解，并通过十字相乘得到一次项系数\(b\)。步骤：确定\(a\)、\(b\)、\(c\)，对\(a\)和\(c\)分别分解因数，尝试十字相乘使结果等于\(b\)，写出因式分解结果。注意事项：因数分解要准确，尝试不同组合时要全面，确保十字相乘结果正确。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：分解因式：\(x^2+13x+36\)\(x^214x+45\)\(3x^214x+8\)\(5x^2+17x+6\)\(6x^219x+10\)2.拓展作业：思考当二次项系数\(a\)为负数时，如何运用十字相乘法进行因式分解？

五、教学反思通过本节课的教学，学生对十字相乘法有了初步的认识和理解，大部分学生能够掌握用十字相乘法分解二次三项式的方法。在教学过程中，通过回顾旧知识引