九年级下册数学：39 弧长和扇形的面积【十四大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

专题3.9弧长和扇形的面积【十四大题型】

【北师大版】

♦题型梳理

【题型1求弧长】................................................................................1

【题型2利用弧长及扇形面积公式求半径】........................................................5

【题型3利用弧长及扇形面积公式求圆心角】.....................................................8

【题型4求某点的弧形运动路径长度】..........................................................11

【题型5直接求扇形面积】......................................................................15

【题型6求图形旋转后扫过的面枳】.............................................................18

【题型7求弓形面积1...........................................................................................................24

【题型8求其他不规则图形的面积】..............................................................29

【题型9求圆锥侧面积】........................................................................34

【题型10求圆锥底面半径】......................................................................37

【题型11求圆锥的高】..........................................................................41

【题型12求圆锥侧面展开图的圆心角】...........................................................44

【题型13圆锥的实际问题】.....................................................................47

【题型14圆锥侧面上最短路径问题】.............................................................51

，举一反三

【知识点弧长和扇形的面积】

设00的半径为R,n。圆心角所对弧长为1,

弧长公式：1=嘿（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）

扇形面积公式：S扇形=高汨^=2依

母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。

圆锥体表面积公式：S=HR?+nRl（1为母线）

【题型1求弧长】

【例1】（2023•河北石家庄•石家庄市第四十二中学校考模拟预测）如图，四边形A8CD内接于O。，E是DC延

长线上一点，如果。。的半径为6,LBCE=60°,那么电的长为（）

E

B

㈢

A.67rB.127rC.2nD.47r

【答案】D

【分析】连接。8、OD,由圆内接四边形的性质得出乙A=60。，由圆周角定理得出/BOO=24力=

120°,再由弧长公式即可求出血的长.

【详解】解：连接。3、OD,如图所示：

•・,四边形4BCD内接于。0,

：,LA=乙BCE=60°,

:.乙BOD=2LA=120°,

.・.血的长=需^=47r.

故选：D.

【点睛】此题综合考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质、弧长公式；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆

周角定理是解决问题的关键.

【变式1-11（2023・四川成都・校考三模）“斐波那契螺旋线”（也祢“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来

的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而

增强听觉.现依次取边长为1,I，2,3,5……的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶

点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”.那么前五个正方形内形成的曲

线/的长度是.

【答案】6ir

【分析】观察图形可知，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的;圆弧构成，计算出每个正方形的边

4

长，再根据圆的周长公式即可求解.

【详解】解:由图可知，正方形的边长依次为：1,1,2,3,5....螺旋曲线的每一段都是以正方形的边

长为半径的;圆弧构成，

4

故前五个正方形内形成的曲线48CDEF的长度是：；•2TT（1+1+2+3+5）=6TT,

故答案为：67r.

【点睛】本题考查弧长的计算，解期的关键是观察图形得出每一段圆弧对应的正方形的边长.

【变式1-2］（2023春・山西长治•九年级统考期末）如图，在平行四边形48co中，以为直径的。。与AD相

交于点E,与8。相交于点F,DF=BF,已知力B=2,ZC=40°,则所的长为（）

A.-B.—C.-D.—

3399

【答案】D

【分析】根据直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，弧长公式计算即可.

【详解】如图，连接4£。心

•ZB为。。的直径，

：.AF1BD,

*：DF=BF,

：.LDAF=^BAF=-/.BAD

2t

•・•平行四边形4BCD,Z.C=40°,

：LLBAF=-LBADL20°,

,DAF=2=-2C=

・・・，BOF=2®F=40。，

'：AB=2,

：,OB=-AB=1,

2

•240xnrxl2n

..FF5=-----=—，

1809

故选D.

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，平行四边形的性质,

弧长公式，熟练掌握弧长公式，圆周角定理是解题的关键.

【变式1-3］（2023•河南濮阳・统考一模）如图，在扇形AOB中,圆心角乙41B=60°,AO=2,分别以。4OB

的中点E,尸为圆心;。A的长为半径作半圆，两个半圆相交于点C,则图中阴影部分的周长为.

【答案】野+2

【分析】如图所示，连接CF,证明四边形OECF是菱形，得到乙。员？=120。，再利用弧长公式求出

第的长即可得到答案.

【详解】解：如图所示，连接CE,CF,

由题意得，OE=CE=CF=OF=-OA=-OB=1,

・•・四边形OECr是菱形,

：.LOEC=180°-(EOF=120°,

.1lzvxTTxin

..CT=-X--------------=一，

21803

同理第二3x咄咄

2180

・••图中阴影部分的周长为l+l+?+g=q+2,

故答案为：”+2.

【点睛】本题主要考查了求弧长，菱形的性质与判定，正确做出辅助线是解题的关键.

【题型2利用弧长及扇形面积公式求半径】

【例2】（2023春♦山西•九年级专题练习）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2,M是“不倒翁，与水平面的

接触点，PA,P8分别与力所在圆相切于点A,B.将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B与水平面接触,

如图3.若/。二60。，水平面上点M与点B之间的距离为4兀，则AM8所在圆的半径是（）

图1图2图3

A.3B.6C.9D.12

【答案】B

【分析】如图：过4、8作P4P8的垂线交于点。，。即为圆心；再根据题意可得乙力。8的度数，然后可得得

到优弧4河8对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可.

【详解】解：如图：过A、8作P4P8的垂线交于点O,

设圆的半径为广

VM,PB分别与4MB所在圆相切于点切B,

••・0为圆心，

VzP=60°,

：.LAOB=120°,

・••乙MOB=120°,

•・•水平面上点M与点8之间的距离为4兀，

=471

・120ox2nr.

,•^^=轨，

解得：r=6.

故选B.

【点睛】本题主要考查弧长的计算、切线的性质等知识点，解答本题的关键是求出优弧时8的国心角.

【变式2-1］（2023春•黑龙江哈尔滨•九年级统考期末）若弧长为47rcm的扇形的面积为8穴血2,则该扇形的

半径为cm.

【答案】4

【分析】由一个扇形的弧长是47icm,塌形的面积为8加0?,根据扇形的面积等于弧长与半径积的一半，即可

求得答案.

【详解】设半径是rem,

:一个扇形的弧长是4;rcm,扇形的面积为Snem2,

87c=^x47cxr,

2

解得r=4.

故答案为：4.

【点睛】此题考查了扇形面枳公式.此题比较简单，解题的关键是熟记扇形的公式.

【变式2-2］（2023春・湖北黄石•九年级统考期末）如图，△ABC是。O的内接三角形，NBAC=60。，吐的

长是g，则。。的半径是.

【分析】连接。氏OC,利用弧长公式转化为方程求解即可;

【详解】连接。氏OC.

•・，NBOC=2NB4C=I20。，元的长是拳

.120nr_4n

•,180・3，

:.1-2.

故答案为2..

【点睛】考查/三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算等知识，解题的关键是熟练掌握弧长公式.

【变式2-3】（2023•辽宁盘锦・统考一模）如图，在口ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径的圆恰好与CD

相切于点C,交AD于点E,若蕊的长为2n，则OA的半径为一.

【答案】8

【分析】连接AC,根据平行四边形的性质得出AD〃BC,AB/7CD,求出NDAO45。，根据弧长公式求出

即可.

【详解】连接AC,

AAC1CD,

/.ZACD=9OU,

•••四边形ABCD是平行四边形，

，AB〃CD,AD〃BC,

/.ZBAC=ZACD=90°,NDAO/ACB,

VAB=AC,

JZACB=ZB=45°=ZDAC,

•・•第的长为2兀,

...-45-7T-XA-C=2rn,

180

解得：AC=8,

即。A的半径是8,

故答案为8.

【点睛】本题考杳了切线的性质，平行四边形的性质.弧长公式等知识点，能求出NDAC的度数是解此题的

关键.

【题型3利用弧长及扇形面积公式求圆心角】

【例3】（2023春•云南红河・九年级校考阶段练习）将一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4,则

这三个扇形的圆心角的度数为（）

A.80°>120%160°B.60°,120°、180°

C.50"、100、150uD.30、60。、90。

【答案】A

【分析】根据一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4,可得这三个扇形的圆心角的度数之比为

2:3:4,可设这三个扇形的圆心角的度数分别为2爸3%4%,从而得到2%+3%+4%=360。,即可求解.

【详解】解：•・•一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4,

・•・这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4,

设这三个扇形的圆心角的度数分别为2x,3%,4x,根据题意得:

2x4-3%4-4%=360°,

解得：x=40°,

・••这三个扇形的圆心角的度数分别为80。,120。,160。.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了求扇形的圆心角，根据题意得到这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4是解题的

关键.

【变式3-1］（2023•吉林・统考一模）图1是等边三角形铁丝框力BC,按图2方式变形成以A为圆心，718长为

半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形力8c的圆心角的度数是（）

A.45°.B.60°.C.—.D.—.

nn

【答案】D

【分析】根据题意此的长就是边8C的长，由弧长公式粤即可求解.

loO

【详解】解：设48=8。=%,

C"=x»

HTX

二——=X,

130

解得：n=詈,

・・・圆心角的度数为：—

n

故选：D.

【点睛】本题考查了弧长公式的应用，掌握公式和理解图形变化前后对■应关系是解题的关键.

【变式3-2］（2023•内蒙占呼伦贝尔・统考二模）如图1,点。是半即18上一个动点，点C从点A开始向终点8运

动的整个过程中，力。的弧长2与时间C（秒）的函数关系如图2所示，则点C运动至5秒时，440C的度数为（）

图1

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】C

【分析】根据图像可知半圆的周长为10/r进而得到半圆的半径为10,再根据题意得到弧长L与时间t（秒）的

函数关系式及弧长公式即可解答.

【详解】解：设半圆的半径为R，LAOC=n,

根据图像可知半圆的周长为10几，

；・TTR=IOTT,

:.R=10,

设弧长，与时间t（秒）的函数关系式：I=kt（k0）,

•・•图像经过（20，10江），

：・k=%

・•・弧长，与时间t（秒）的函数关系式为

・•・当x=5秒时，Z=y,

・•・根据弧长公式可知：^=y,

An=45°,

故选C.

【点睛】本题考查了一次函数与几何图形关系，弧长公式，一次函数图像与性质，掌握一次函数与几何图形

关系是解题的关键.

【变式3-3］（2023•黑龙江哈尔滨统考三模）一个扇形的面积为10处弧长为等，则该扇形的圆心角的度数

为.

【答案】100。/100度

【分析】根据弧长和扇形面枳关系可得S=」R,求出R,再根据扇形面积公式求解.

【详解】•・•一个扇形的弧长是詈，面积是10兀,

/.S=-//?,即10兀=］乂3R,解得：R=6,

223

・・・S=10汗=巴芷，解得：n=100°,

360

故答案为:100°.

【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算.熟记公式，理解公式间的关系是关键.

【题型4求某点的弧形运动路径长度】

【例4】（2023春・全国•九年级专题练习）如图，。41。8,C,D分别是射线。/I,OB上的动点，C。的长始

终为8,点E为CO的中点，则点E的运动路径长为

【答案】27r

【分析】根据垂直的定义可知△408是直角三角形，再根据直角三角形的性质可知。E=CE=DE=1CD,

最后利用弧长公式即可解答.

【详解】解:连接0C,

V0A10B,

：.LAOB=90°,

是直角三角形，

VCD=8,

：.0E=CE=DE=^CD=4,

2

・••点E的运动路径长为弧GD,

・•・弧GD的长度：=*=271,

loO

故答案为27r.

【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，弧长公式，掌握直角三角形的性质是解题的关键.

【变式4-1］（2023春・浙江金华・九年级校联考阶段练习）如图，最角器的直径与直角三角板/WC的斜边718重

合（48=6）,其中显角器（）刻度线的端点N与点A重合，射线CP从C4处出发沿顺时针方向以每秒3度的

速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点£,第20秒时点£在量角器上运动路径长是.

【答案】27r

【分析】首先连接OE，由N/CB=90。，易得点E,A,B,C共圆，然后由圆周角定理，求得点£在量角器

上对应的读数.

【详解】解:连接OE,

4M

*：Z.ACB=90°,

・•"，B,。在以点。为圆心，A/3为直径的圆上,

•••点E,A,B,C共圆，

•・ZCE=3x20°=60°,

：.LAOE=2^ACE=120°.

120JI-3

•••点E在量角器上运动路径长=

iso一2n,

故答案为：27r.

【点睛】本题考查的是圆周角定理•.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

【变式4-2］（2023•河南信阳•校考三模）如图，把一个含30。角的直角三角板A8C在桌面上沿着直线/无滑动

的翔滚一周，若BC=1,44=30。，则点4运动的路径长是.

【分析】根据题意，可知点A的运动路径为心和片力，然后根据含30度角的直角三角形的特点求出CD,BrD

的长，进而利用弧长公式求出答案即可.

【详解】解：根据题意，可知点A的运动路径为和和也，〃CD=90。，=120°,

在Rt△ABC^AB=2BC=2,AC=y/3BC=V3

：.AC=CDDB'=A'B1=718=2,

・••点4运动的路径长为瑞+搂­2=噌兀，

1801806

【点睛】本题主要考查了求动点的运动轨迹长，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，确定出点A的

运动轨迹是解题的关键.

【变式4-3］（2023春•四川广元•九年级校考阶段练习）如图，中，^ACB=90°,AC=8C=4,点E、

户是以斜边八8为直径的半圆的三等分点，点P是”上一动点，连接PC,点M为PC的中点.当点P从点E

运动至点尸时，点M运动的路径长为

P（E）

M

【答案】枭哼

【分析】令48、AC.8C的中点分别为点0、G、H,连接OP、0C.OG、OH、0M,易证△COP为等腰三角

形，根据一线合一可得，则点M的运动路径为以G4中点为圆心，以:GH为半径，圆心角为60。的弧长，即

可求解.

【详解】解：令力8、AC.8C的中点分别为点。、G、H,连接OP、0C.0G.OH、0M,

•MB为。。直径，点。为48中点，

\0A=0P,

••乙1C8=9O。，点。为48中点，

\0C=-AB=0A=OP,

2

••ACOP为等腰三角形，

••点M为PC的中点，

\0M±PC,贝ij乙OMC=90。，

:点、E、〃是以斜边/IB为直径的半圆的三等分点，

••点M的运动路径为以G4中点为圆心，以^GH为半径，圆心角为60。的弧长,

:点G、O、H、分别为AC、BC、48中点，AC=BC=4,

\C0||BC,GO=^BC=2,OHIIAC,OH=^AC=2,

乙4cB=90°,

，四边形GCHO为正方形，GH=V22+22=2企,

：.0C=GH/GOH=90°,

・•・点M的运动路径长为黑w&="几

1803

故答案为：¥兀•

【点睛】本题主要考查了求点的运动轨迹，解题的关键是正确作出辅助线，根据等腰三角形的性质，正方形

的性质以及圆周角确定点M的运动轨迹为以GH为直径的半圆.

【题型5直接求扇形面积】

【例5】（2023•云南临沧・统考三模）如图，正五边形力8C0E内接于。0,其半径为1,作。F_L8C交。。于

点凡则图中阴影部分的面积为（：）

【答案】C

【分析】连接。小OB、OC,求出乙4。凡再利用扇形公式进行计算.

【详解】解：连接04、。8、0C,

•••正五边形力8CDE,

:.Z.AOB=Z-BOC=360°+5=72°,

OB=OC,

•••OF1BC,

Z.BOF=-/-BOC=36°,

2

:.Z.AOF=108°,

c1O8°X7T3n

S——,

360010

【点睛】本题考杳正多边形和圆，掌握扇形面积公式和求出AC所对的圆心角度数是解题的关键.

【变式5-1］（2023•吉林・九年级校联考学业考试）如图，矩形48。。的对角线/C,8。相交于点。，△048是

等边三角形，力8=4,分别以点5,0为圆心，/。长为半径画弧，与该矩形的边相交，则图中阳影部分的面

积为.（结果保留几）

【答案】）

【分析】由矩形48c0,△048是等边三角形，AB=4,可得=90。，Z.AB0=60°,OB=AB=4,则

^OBC=30°,根据S阴影=2X嗤/，计算求解即可.

【详解】解：•・•矩形ABC。，△O/IB是等边三角形，力8=4,

：,LABC=90°,/.ABO=60°,OB=AB=4,

:.乙OBC=30°,

•S-2X307rX4?_8

阴影一/x360-3n,

故答案为：|TT.

【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，扇形面积.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活

运用.

【变式5-2］（2023春・江苏连云港•九年级校考阶段练习）如图，已知半径为I的。。上有三点小B、C,。。与

AB交于点D,乙力0。=85。，^CAB=20°,则阴影部分的扇形04。面积是.

【答案】当Q

【分析】根据三角形外角的性质得到“=UDO-乙CAB=65。，根据等腰三角形的性质得到NAOC=50。,

由扇形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：•••乙4。。=85。，LCAB=20°,

：.LC=乙ADO-乙CAB=65°,

VOA=OC,

：.1.0AC=乙。=65。，

：.LAOC=50°,

・•・阴影部分的扇形。AC面积=用察=整

36036

故答案为:答

36

【点睛】本题考查了扇形面积的计算，由等腰三角形的性质和三角形的内角和求出乙4。。=50。是解题的关键.

【变式5-3]（2023春.江苏.九年级专题练习）如图，四边形是长方形，以为直径的半圆与4。边只

有一个交点，且力B=x,则阴影部分的面积为.

【答案】字

4

【分析】作。尸_L4。，则三角形80P与三角形OEP全等，那么阴影部分的面积二扇形BOF的面积.依此根据

面积公式计算.

【详解】解：作。"J_

D

vOB=DF

乙FDB=Z.OBD

乙FPD=Z-BPO

：.»DFP9XBOP

S^DFP=SdBOP

根据扇形面积公式得:

907rxMnx2

阴影部分面积二

3604

故答案为：与

4

【点睛】本体考查了求不规则图形的面积，解题的关键是看出阴影部分的面积是由哪几部分组成的.然后根

据面积公式计算.

【题型6求图形旋转后扫过的面积】

【例6】（2023春•江苏盐城・九年级校考阶段练习）如图，已知A、Q是。。上任意两点，且小。=6,以AD为

边作正方形/RCO.若/£）边绕点。旋转一周，贝"AC边扫过的面积为.

【答案】97r

【分析】如图所示，连接。0、OC,过点。作OE14O于点E,延长OE交BC于点立则8c1边扫过的面积为以

OC为外圆半径、OF为内圆半径的圆环面积，利用垂径定理即可得出OE=AE=3,进而可得出"=DE=3,

再根据圆环的面积公式结合勾股定理即可得出8c边扫过的面积.

【详解】解：如图所示，连接。0C,过点。作。于点E,延长。E交3c于点£

B

C

为弓幺，OH1AD,

:.由垂径定理可得DE=AE=^AD=3.

•・•四边形ABC。为正方形，

：,BC||AD,AD=BC=6,Z-CDA=90。，

：,LCFO=乙DEO=90。，

J四边形DE尸C为矩形，CF=DE=3.

,・YD边绕点。旋转一周，则BC边扫过的图形为以OC为外圆半径，OF为内圆半径的圆环，

工圆环面积为S=n-OC2—n♦OF2=n（OC2—OF）2=n-CF2=97r.

故答案为：97r.

【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，平行线的性质以及圆环的面积公式，结合力。边的旋转，找出BC边

旋转过程中扫过的区域的形状是解题的关健.

【变式6-1］（2023.全国.九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中.点A在），轴的正半轴上，。4=1.

将。力绕点。顺时针旋转45倒04，扫过的面积记为乱,月送2交x轴于点儿：将。①绕点。顺时针旋

转45°到04，扫过的面积记为S?，心力4,。43交＞轴于点4；将。4绕点。顺时针旋转45°到0人，扫过的

面积记为S3,7M6工。4交X轴于点力6；…；按此规律，则52022的值为.

【答案】22。18Tt

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出扇形的半径，写出部分％的值，根据数的变化找出变化规律Sn=

2或3m依此规律即可得出结论.

【详解】由题意△4。42、△43。44、△/。4、…、都是等腰直角三角形,

.\0A2=V2,0A4=2,0A6=2x/2»•••,

457rxiiC45TTX(V2)21仆457rx22145nx(2起)2

---------=-IT32==_IT,=~=-TT，SA

3608z3604,3602'360

n_4

/.Sn=2n,

2018

.,.S2022=2K,

故答案为:220181T

【点睛】本题考查了坐标与图形性质旋转，等腰直角三角形的性质以及扇形的面积，解题的关键是找出规律

n3

Sn=2-n.

【变式6-2］（2023春・山东临沂・九年级统考期中）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示.（每个小

方格都是边长为1个单位长度的正方形）

⑴画出△A8C关于原点对称的△4当6；

（2）珞△A8C绕点8逆时针旋转90。，画出旋转后得到的△&BC2,并求出此过程中线段8A扫过的区域的面

积.（结果保留7T）

【答案】（1）见详解

（2）见详解，^71

4

【分析】（1）分别作出点4、8、C关于原点对称的对称点，再顺次连接可得；

（2）分别作出点力、C绕点B逆时针旋转90。得到的对应点，再顺次连接可得△ThBQ；利用扇形面积公式列

式计算可得答案.

【详解】（1）解：如下图，△4&G即为所求：

由图可知，AB=V32+22=A/13,

则线段84扫过的区域的面积为S=黑xTTx（V13）2==7T.

3604

【点睛】本题主要考查了作图-中心对称变换和旋转变换、勾股定理以及扇形面积公式等知识，解题的关键

是根据中心对称和旋转的性质作出变换后的对应点.

【变式6-3］（2023・江苏南京・统考二模）在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向（调转前后的

小棒不一定在同一条直线上），那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？

已知小棒长度为4,宽度不计.

方案I：将小棒绕/W中点。旋转180。到"小，设小棒扫过区域的面积为Si（即图中灰色区域的面积，下同）;

方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60。到4c.再绕。逆时针旋转60。到CR.最后绕△逆时针旋转60。到夕

设小棒扫过区域的面积为S2.

（1）①Si=,S2=；（结果保留7T）

②比较a与S2的大小.（参考数据:n«3.14,V3«1.73.）

（2）方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三

次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形.

①补全方案3的示意图;

②设方案3中小棒扫过区域的面积为S3,求S3.

（3）设计方案4,使小棒扫过区域的面积S4小于53,画出示意图并说明理由.

【答案】⑴①4呜87T-8V3；②

⑵①见解析；②S3=竽

（3）见解析

【分析】（1）①利用圆的面积公式计算S],利用方案2扫过区域为三个圆心角为60。且半径为4的扇形面积

减去两倍4的面积计算Sz；

②利用参考数据计算近似值再比较即可；

（2）①依题意补全方案3的示意图即可；

②利用等边三角形的高是4,计算出底边，再利用面积公式计算即可；

（3）作等边△4BC,首先让点8在8c上运动，点4在的延长线上，运动，使得力8的长度保持不变，当点

8运动到点。时，，由此AB边调转到4c（4B，）边，接着两次同样的方式旋转到边和（夕4）边，从

而得到最终小棒扫过的区域，由于所得区域非常不规则，因此可以利用放缩法证明S4Vs3.

【详解】（1）解：①由依题意得：48=2r=4,

Ar=2,

.*.Si=nr2=47r

又依题意得：方案2扫过区域为三个圆心角为60。且半径为4的扇形面枳减去两倍△ABC的面枳.等边三角

形的面积公式：S=fa2,。为等边三角形的边长.

4

：.S=3x-2x—x42=8TT-8V3

,23604

故答案是：4孙87T-8V3；

②・.・Si=47T«4X3.14=12.56,S2a8x3.14-8x1.73=11.28,12.56>11.28,

Si>s?；

（2）①依题意补全方案3的示意图如下：

E

②连接EM,M为切点，则44的口点，EM=4

由勾股定理得：AM2+EM2=AE2,即/+42=4/,

解得：无二手，

••AA'=AE=2x=

・・.S3=〃4・EM=，逋X4=^.

J2233

(3)设计方案4：如下图，△A8。是等边三角形，首先让点B在BC上运动，£T4在C8的延长线上运动，使

得718的长度保持不变，当点8运动到点。时，由此A8边调转到AC(AZT)边，接着两次同样的方式旋转到

8废48')边和AB(B'4)边，最终/、、棒扫过的区域是如下图所示.

对干第一次旋转，当旋转力8旋转到0H时，此时。

乂fkDE平•（丁4B,贝IJS^CDE=S3=SAABC+S梯形A8E8

依题意得：阴影部分比等边三角形力BC多三块全等的图形，记每块面积为a,

则有QVSMDF，尸为力B的中点，

,SAACFVSBGDF，

•'•S—DF<-S^GDAF=梯形A8E8，

，a<S^ADF<[S梯形ASEB，

3

ABEBAABC

・•S4=SAABC+3a<SAABC+-S梯形<^+S梯形ABEB=S3.

【题型7求弓形面积】

【例7】（2023•山东东营・统考中考真题）如图，AB为0。的直径，点C为。。上一点，BDJ.CE于点。,BC平

分〃80.

（1）求证：直线CE是。。的切线；

⑵若〃=30°,O。的半径为2,求图中阴影部分的面积.

【答案】（I）见解析

（2）|TT-V3

【分析】（1）连接。C,根据O3N9C,以及BC平分4A5D推导出乙0C8=ZDC8,即可得出BDIIOC,从而推

ihOC1DE,即证明得出结论；

（2）过点。作。尸1CB于F,利用S阴影=S扇形me-S.08C即可得出答案.

【详解】（1）证明：连接。C,如图，

•：0B=OC,

LOBC=乙OCB,

YBC平分〃BD,

:•乙OBC=乙DCB,

：,LOCB=乙DCB,

：.BD\\OC,

,；BDLCE于息D,

：・0C1DE,

，直线CE是。。的切线；

(2)过点。作"1CB于F,如图,

\-^ADC=30°,OB=2,

：.0F=1,BF=OB•cos30°=

：.BC=2BF=2V3,

JSAOBC=|fiCOF=1x2V3xl=V3,

•:乙BOF=90°-30°=60°,

：.LBOC=2乙BOF=120°,

.「120°c?4

••$扇形0/^=获示'"、2=-n,

71-

阴影=S扇形0BC-SAOBC=3

【点睛】本题考查/圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并正

确作出辅助线是本题的关键.

【变式7-1](2023春•九年级课时练习)如图，48是。。的直径，CD为弦,ABLCD,若CD=2®CB

=2,则阴影部分的面积是.

A\~~

D

【答案】q-6

【分析】连接0C，设CO与48的交点为£利用垂径定理、勾股定理判定△08C是等边三角形，运用扇形

的面积减去△08c的面积即可.

【详解】连接OC,设CO与4B的交点为E,

是。0的直径，AB1CD,CD=2V3,CB=2,

：.CE=V3,BE=J22-(V3)2=1,

/.ZECB=30°,ZCBE=60°,

•：CO=BO,

:,hOBC是等边三角形，

•••NB0C=6()。，0C=0B=2,

叫*=6°x7rX2?_AV3

阴影3602X2X

=--V3,

3

故答案为：斗一遍.

【点睛】本题考查J'垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理,

扇形的面积公式是解题的关键.

【变式7-2](2023•全国•九年级专题练习)如图，将半径为5cm的扇形048沿西北方向平移0cm,得到扇

形O'AB',若立/。8=90。，则阴影部分的面积为cm2.

【分析】设质分别与。工‘、。'夕交于F、E,延长。。'交”于G,根据S阴影=迎空展应进行求解即可.

【详解】解：设防分别与。/'、。归'交于尸、E,延长。。'交防FG,

由题意得O'E=O'F=O'G=0G-00'=（5-旬cm,Z.A'O'B'=Z.AOB=90°,

2

・0小c907rx52（5-V2）257T+10\/2-272

♦阴影=$崩形408-S^EO'F=2=4SI，

【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，平移的性质，正确理解题意得到S阴影=S扇形403—SAE。，「是

解题的关键.

【变式7-3]（2023・湖北恩施・统考一模）如图，已知。。的半径为1,△48C内接于0。，Z.ACB=150°,

贝IJ弓形八C8（阴影部分）的面积为.（结果保留7T或根号）

【答案】76-T4

【分析】在弦AB把。。分成的优弧上取一点。，连接OA,OB,AD,BD,过点。作0E_L48于E.根据圆

内接四边形的性质和圆周角定理确定N4O8=60。，进而求出扇形的面积，根据等边三角形的判定定理

和性质求出4B的长度，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出0E的长度，进而根据三角形面积公式求出

△。48的面积，最后用塌形048的面积减去△Q4B的面积即可求出弓形0AB的面积.

【详解】解：如下图所示，在弦。分成的优弧上取一点"，连接OA,OH,AL),81),过点。作OE1AB

于E.

•・•四边形ACBZ）内接于O。，

/.NACB+N/10B=180。.

,/NACB=150°,

・•・NADB=1800-ZACB=30°.

VZAOB和NAQK分别是脑所对的圆心角和圆周角,

ZAOB=2ZADB=600.

•••0。的半径是1,

：.0A=0B=\.

•••△048是等边三角形，S®杉。八3==答=]

3606

：,AB=0A=\.

*：0ELAB,

：,AE=BE.

：

.AE=-20A=-2.

：22

.0E=yJOA-AE=-2.

：^0AB=\AB-0E=^.

S:OAB=S^OAB-SOAB=2一中.

故答案为：

64

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定定理和性质，等腰三角形的性质，

勾股定理，三角形面积公式，扇形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键.

【题型8求其他不规则图形的面积】

【例8】（2023•山西长治・统考模拟预测）如图，在△48C中，CA=CB,48=4,点。是48的中点，分别以

点力、B、C为圆心，4D的长为半经画弧，交线段4C、BC于点、E、F、G、H,若点E、尸是线段AC的三等分

点时，图中阴影部分的面积为（）

A.8V2-2HB.16V2-4nC.8立一4nD.1672-2n

【答案】A

【分析】连接CD,由等腰三角形的性质可得COAD=BD=2,由题意可得力。=BC=3力0=6,由

勾股定理可得CO=4V2,再由S阴影=S-8C-S扇形人"一S同形磨。一S扇形so”代入进行计算即可•

【详解】解.：如图，连接CD,

•:CA=CB,AB=4,点。是力B的中点，

•••CD1AB,AD=BD=2,

•••分别以点4、B、C为圆心，4。的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H,煎E、F是线段AC的三

等分点，

AC=BC=3AD=6,

•••CD=y/AC2-AD2=V62-22=4vL

“。阴影一年A8c-,扇形ADF一》扇形CEG一）扇形8D”

1.„kcz.F/4Dx22xnZECGX22XTTzDBHx22xn

23600360°360°

1厂2?XTT

=-x4x4V2-——（£FAD+乙ECG+乙DBH）

L4XTTX180°

=8&-一痂「

=8或一2TT,

故选:A.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、扇形而根的计算，熟练掌握等腰三角形的性质、勾

股定理、扇形的面积公式是解题的关键.

【变式8-1]（2023春・全国•九年级专题练习）如图，在四边形A3CD中，^ADC=90°,BC=6,将四边形/WCD

绕点A逆时针旋转30。至AB'C'D'处，则旋转过程中，边8c所扫过的区域（图中阴影部分）的面积为.

【答案】37r

【分析】根据直角三角形的性质求出AN及力8的长，再由三角形的面积公式求出AABC的面积，由扇形的面

积公式得出扇形及扇形C4C'的面积，FtlS阴影=$+S?即可得出结论.

【详解】解：连接4C',B'C.

•・•在四边形力BCD中，Z,ABC=90°,=6,Z-BAC=30°,

：,AC=12,AB=V122-62=6百，S&ABC=x6x673=18百，

C.BAB'=-yrX（6V3）2=9几，

，S]=18A/3—97r.

7r2

:S&AB'C'=S^ABC=18V5,S扇形17A/=病x12=12TT,

：.5?=12/r-18V3,

'S阴影=Sj4-S2=18\/3-9/r4-127r-18x/3=37r.

故答案为：37r.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是

解答此题的关键.

【变式8-2](2023春・全国•九年级专题练习)如图，扇形。AB的半径。4=2cm,LAOB=120°,则以”为

直径的半圆与池围成的区域(图中阴影部分)的面积是—cm2.

OA

【答案】学

6

【分析】根据垂直的定义及直角三角形的性质可知OP==l(cm),再根据勾股定理可知/IP=V3(cm),

最后根据扇形的面积及半圆的面积即可解答.

【详解】解：过点。作OP1AB于点P,

：.AP=BP,

\'0A=OB,OA=2cm,

：.LAOP=乙BOP=60°,

：.LOAP=30°,

,*,OP=^OA=l(cm)>

在RtA40P中，由勾股定理得：AP=y/OA2-OP2=V22-l2=V3(cm),

：,AB=2AP=2V3cm,

,SMOB=\AB•OP=：x2百x1=於(cm?),

._zrx(\/3)3n2

•・S半圆=-2一~=Tcm*

•・•扇形OAB的半径04=2cm,乙40B=120。,

2

..1207TX2=47T2

•.'AOAR-------—cm9

3603

S崩形0/18一SM08），

，S阴影=S半圆

号-得叫

37r47r厂

^(cm2),

6

・•・阴影部分的面积是厘（cm2）,

6

【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积，掌握垂直的定义及直角三角

形的性质是解题的关键.

【变式8-3】（2023♦山西太原•山西实验中学校考模拟预测）如图，以RtA/lBC的直角边AB为直径的半圆O,

与斜边AC交于点。，E是边8c的中点，连接DE.若AD,4B的长是方程/-6%+8=0的两个根，则图中

阴影部分的面积为（）

A.8b-gB.46-？C.48一年D.8百-胡

【答案】B

【分析】连接0。，BD,。£根据直径所对的圆周角为90。得出//W8=90。，根据因式分解法解方程求HMD=

2,AB=4,并判定△40D为等边三角形，再根据扇形的面积公式即可求出S曲形BOD=浮根据含30度角的

直角三角形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出BC=475,然后利

用SSS证明△ODE=△OBE,最后根据S阴影=S四边形的即一S扇形而。=2SA0B£一S扇形加。代入计算即可得出

答案.

【详解】解：连接0。，BD,0E.

是直径，

：,LADB=90°.

VZD,48的长是方程/-6%+8=0的两个根，解得与=2,加=4,

AD=2,AB=4,

：.LABD=30°,Z-BAC=60°.

'：AO=DO,

J.LAOD=60°,

工人BOD=120°,△AOD为等边三角形

•••OB=OA=AD=2

.c