2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级同步经典题精练之垂径定理

第23页（共23页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级同步经典题精练之垂径定理一．选择题（共5小题）1．（2024秋•仪征市期末）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（）A．62 B．9-2 C．7 D．25﹣32．（2025•柳州一模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（）A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm3．（2024秋•西湖区期末）如图，在⊙O中，弦AB＝8，半径OC⊥AB于点D，OD＝3，则⊙O的半径为（）A．73 B．55 C．256 D．4．（2024秋•白云区期末）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长4m，轮子的吃水深度CD为1m，则该桨轮船的轮子直径为（）A．52m B．4m C．5m D．5．（2024秋•滨湖区期末）桥是江南水乡重要的城市景观．如图，古运河上建有一座石拱桥，已知桥拱半径OC为5m，面宽AB为46m，则石拱桥的拱顶到水面的距离A．46m B．6m C．(5+6)m二．填空题（共5小题）6．（2024秋•金湾区期末）如图，在⊙O中，圆心O到弦AB的距离OC为1，AB＝4，则⊙O的半径OA长为．7．（2024秋•碑林区校级期末）王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为cm．8．（2024秋•温州期末）某大门是轴对称图形，由矩形与哥特式尖拱组成（如图1），图2是其设计图，尖拱部分是两条等弧，圆心均落在直线AB上，圆弧的半径为134米，CD＝4米．过拱尖P作PN⊥CD分别交AB，CD于点M，N．若PMMN=35，则高PN等于9．（2024秋•惠州期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．10．（2024秋•通州区期末）图1为一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），侧面示意图如图2，其液体水平宽度AB为16cm，竖直高度CD为4cm，则⊙O的半径为cm．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•合川区期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．（1）若CD＝5，EF=32，求（2）求证：AC＝BD．12．（2024秋•四会市期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段公路的半径．13．（2024秋•雁塔区校级期末）HUAWEIMate60pro手机完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长60mm，弓形高CD长10mm，求半径OA的长．14．（2024秋•莱阳市期末）如图，AD是⊙O的直径，将弧AB沿弦AB折叠后，弧AB刚好经过圆心O，若BD＝6，求⊙O的半径．15．（2024秋•麻章区期末）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度AB（弧所对的弦）的长为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级同步经典题精练之垂径定理参考答案与试题解析题号12345答案CBDCB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•仪征市期末）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（）A．62 B．9-2 C．7 D．25﹣3【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】计算题．【答案】C【分析】过圆心O作弦的垂线，垂足为G，得到Rt△OBG和Rt△OCG，在这两个三角形中用勾股定理计算可以求出OG的值，也就是圆心到弦的距离．【解答】解：如图：过O作OG⊥AB于G，根据垂径定理有：AG＝BG，设AC＝2a，则CB＝4a，CG＝a，GB＝3a，在Rt△OCG中，OC2＝OG2+CG2＝OG2+a2①在Rt△OBG中，OB2＝OG2+GB2＝OG2+9a2②又OC＝3，OB＝5，代入①②中，解方程得：a2＝2，OG2＝7．所以圆心到弦的距离是7．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，过圆心作圆的垂线，得到直角三角形，运用勾股定理计算可以求出圆心到弦的距离．2．（2025•柳州一模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（）A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】B【分析】由垂径定理求出BN，CM的长，设ON＝x，由勾股定理得到（3.5﹣x）2+22＝x2+1.52，求出x的值，得到ON的长，由勾股定理求出OB长，即可求出纸杯的直径长．【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OC，OB，∴MN＝3.5cm，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴CM=12设ON＝xcm，∴OM＝MN﹣ON＝（3.5﹣x）cm，∵OM2+MC2＝OC2，ON2+BN2＝OB2，∴OM2+MC2＝ON2+BN2，∴（3.5﹣x）2+22＝x2+1.52，∴12.25﹣7x+x2+4＝x2+2.25，∴7x＝14，∴x＝2，∴ON＝2（cm），∴OB=∴纸杯的直径为2.5×2＝5（cm）．故选：B．【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．3．（2024秋•西湖区期末）如图，在⊙O中，弦AB＝8，半径OC⊥AB于点D，OD＝3，则⊙O的半径为（）A．73 B．55 C．256 D．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】D【分析】利用垂径定理，勾股定理求解即可．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB=12AB＝∵OD＝3，∴OB=OD故选：D．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4．（2024秋•白云区期末）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长4m，轮子的吃水深度CD为1m，则该桨轮船的轮子直径为（）A．52m B．4m C．5m D．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力；应用意识．【答案】C【分析】设该桨轮船的轮子半径为r，在Rt△AOD中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．【解答】解：∵AB＝4，OC⊥AB，∴AD＝DB=12AB＝2设该桨轮船的轮子半径为rm，在Rt△AOD中，AO2＝OD2+AD2即r2＝（r﹣1）2+22，解得：r=∴该桨轮船的轮子直径为52×2＝5（故选：C．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．（2024秋•滨湖区期末）桥是江南水乡重要的城市景观．如图，古运河上建有一座石拱桥，已知桥拱半径OC为5m，面宽AB为46m，则石拱桥的拱顶到水面的距离A．46m B．6m C．(5+6)m【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】B【分析】连接OA，利用垂径定理求出AD，再利用勾股定理求出OD即可．【解答】解：如图，连接OA．∵OD⊥AB，•AD＝DB=12AB=12×∵OA＝OC＝5m，∴OD=OA2-∴CD＝OC+OD＝5+1＝6（m）．故选：B．【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•金湾区期末）如图，在⊙O中，圆心O到弦AB的距离OC为1，AB＝4，则⊙O的半径OA长为5．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】5．【分析】先根据垂径定理得到AC＝Bc＝2，然后根据勾股定理计算出OA的长即可．【解答】解：∵OC为圆心O到弦AB的距离，∴OC⊥AB，∴AC＝BC=12AB＝在Rt△AOC中，∵OC＝1，AC＝2，∴OA=1故答案为：5．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2024秋•碑林区校级期末）王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为25cm．【考点】垂径定理的应用；线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】25．【分析】取圆心点O，连接OA．设圆O的半径为rcm，则OA＝OC＝rcm．根据垂径定理求出AD，将含r的代数式将OD表示出来，在Rt△ADO中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可．【解答】解：如图，取圆心点O，连接OA．设圆O的半径为rcm，则OA＝OC＝rcm．∵AB⊥OC，AB＝40cm，∴AD=12AB＝20∵CD＝10cm，∴OD＝OC﹣CD＝（r﹣10）cm，在Rt△ADO中利用勾股定理，得AD2+OD2＝OA2，∴202+（r﹣10）2＝r2，∴r＝25，∴该圆形工件的半径为25cm．故答案为：25．【点评】本题考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用，掌握垂径定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理是解题的关键．8．（2024秋•温州期末）某大门是轴对称图形，由矩形与哥特式尖拱组成（如图1），图2是其设计图，尖拱部分是两条等弧，圆心均落在直线AB上，圆弧的半径为134米，CD＝4米．过拱尖P作PN⊥CD分别交AB，CD于点M，N．若PMMN=35，则高PN等于【考点】垂径定理的应用；轴对称图形；矩形的性质．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】8．【分析】设AP的圆心为O，连接PO，则OA=OP=134米，由轴对称得，AM＝2米，得米，由勾股定理求出PM＝3米，得MN＝5【解答】解：设AP的圆心为O，连接PO，则OA=∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4米，由轴对称知，AM=∴OM=∵PM⊥AB，∴∠PMO＝90°，∴PM=∵PMMN∴MN＝5米，∴PN＝8米，故答案为：8．【点评】本题考查了圆的基本性质，矩形性质，轴对称性质，勾股定理．熟练掌握，是解题的关键．9．（2024秋•惠州期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为3米．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】过O作OC⊥AB于D，连接OA，由垂径定理得AD＝BD=12AB＝4（米），然后在Rt△AOD中，由勾股定理求出【解答】解：过O作OC⊥AB于D，连接OA，如图所示：则AD＝BD=12AB＝在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=OA即圆心O到水面AB的距离为3米，故答案为：3．【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．10．（2024秋•通州区期末）图1为一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），侧面示意图如图2，其液体水平宽度AB为16cm，竖直高度CD为4cm，则⊙O的半径为10cm．【考点】垂径定理的应用．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】10．【分析】由垂径定理得到AD=12AB=8cm，设⊙O的半径为xcm，则OA＝OC＝xcm，OD＝OC﹣CD＝x﹣4（cm），在△AOD中，根据勾股定理有AD2+【解答】解：连接AO，∵OC⊥AB，∴AD=设⊙O的半径为xcm，则OA＝OC＝xcm，∴OD＝OC﹣CD＝（x﹣4）（cm），∵在△AOD中，AD2+OD2＝OA2，即82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，∴⊙O的半径为10cm．故答案为：10．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理以及勾股定理的运用．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•合川区期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．（1）若CD＝5，EF=32，求（2）求证：AC＝BD．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】（1）176（2）见解析．【分析】（1）由垂径定理得CF=DF=12CD=52，设CO＝r，由勾股定理得（2）由等腰三角形的性质得AF＝BF，即可得证．【解答】（1）解：由题意可得：CF=设CO＝r，则OF=∵CF2+OF2＝OC2，∴(r∴r=∴⊙O的半径为176（2）证明：∵OA＝OB，OF⊥AB，∴AF＝BF，由（1）得CF＝DF，∴AF﹣CF＝BF﹣DF，∴AC＝BD．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键．12．（2024秋•四会市期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段公路的半径．【考点】垂径定理的应用．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】由OC⊥AB，根据垂径定理得，AD＝BD=12AB，又OD＝r﹣CD，所以，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得，AO2＝AD2+OD【解答】解：如图，设半径为r，则OD＝r﹣CD＝r﹣45，∵OC⊥AB，∴AD＝BD=12∴在Rt△AOD中，AO2＝AD2+OD2，即r2＝（12×300）2+（r﹣45）2＝22500+r2﹣90r90r＝24525，解得，r＝272.5m．答：这段弯路的半径是272.5m．【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．13．（2024秋•雁塔区校级期末）HUAWEIMate60pro手机完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长60mm，弓形高CD长10mm，求半径OA的长．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，设半径OA＝rmm，则OD＝（r﹣10）mm，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：设半径OA的长为rmm，∴OA＝OC＝OB＝rmm，∵弓形高CD＝10mm，∴OC⊥AB，OD＝（r﹣10）mm，∴AD＝BD=12∵AB＝60mm，∴AD=在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣10）2+302，解得r＝50mm．答：半径OA的长为50mm．【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧”是解题关键．14．（2024秋•莱阳市期末）如图，AD是⊙O的直径，将弧AB沿弦AB折叠后，弧AB刚好经过圆心O，若BD＝6，求⊙O的半径．【考点】垂径定理；翻折变换（折叠问题）．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】6．【分析】过点O作OH⊥AB于点H，交AB于点M，连接AM，如图，根据折叠的性质得到AB垂直平分OM，所以AO＝AM，再判断△AOM为等边三角形得到∠AOM＝60°，接着根据垂径定理得到AH＝BH，然后证明OH是△ABD的中位线得到OH=12BD＝3，最后利用含30度角的直角三角形三边的关系得到【解答】解：过点O作OH⊥AB于点H，交AB于点M，连接AM，如图，∵弧AB沿弦AB折叠后，弧AB刚好经过圆心O，∴AB垂直平分OM，∴AO＝AM，∴AM＝OM＝AO，∴△AOM为等边三角形，∴∠AOM＝60°，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∵OA＝OD，∴OH是△ABD的中位线，∴OH=12BD＝∴OA＝2OH＝6．故答案为：6．【点评】本题考查的是垂径定理，翻折变换，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．15．（2024秋•麻章区期末）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度AB（弧所对的弦）的长为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．【考点】垂径定理的应用．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据垂径定理的推论得到圆心O在DC的延长线上，设⊙O的半径为r米，则OC＝（r﹣2）米．由垂径定理得到CA＝4米．在Rt△OAC中，由勾股定理得AC2+OC2＝AO2，得到方程，解方程即可求出该圆弧所在圆的半径；（2）过F点作FH⊥CD于H点，连OF，先求出CE＝3，证明四边形EFHC为矩形，则FH＝CE＝3．在Rt△OFH中，OH=OF2-FH【解答】解：（1）∵AB垂直平分CD，∴圆心O在DC的延长线上．设⊙O的半径为r米，则OC＝（r﹣2）米．∵OD⊥AB，∴CA=在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC2+OC2＝AO2，即42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5．即该圆弧所在圆的半径为5米；（2）过F点作FH⊥CD于H点，连接OF．∵BE＝1米，∴CE＝4﹣1＝3（米）．∵∠FHC＝∠HCE＝∠CEF＝90°，∴四边形EFHC为矩形，∴FH＝CE＝3，EF＝HC，在Rt△OFH中，OH=∵OC＝3米，∴HC＝1米．∴EF＝HC＝1米．即支撑杆EF的高度为1米．【点评】此题考查了矩形判定和性质、勾股定理、垂径定理的应用，关键是矩形判定定理的应用．

考点卡片1．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．矩形的性质