八年级上册《完全平方公式》课件与练习

第十四章

整式的乘法与因式分解14.2乘法公式14.2.2完全平方公式

一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.(如图)用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你有什么发现呢？一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b

米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积，

并进行比较.aabb知识点1完全平方公式直接求：总面积=(a+b)(a+b)间接求：总面积=a2+ab+ab+b2你发现了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2aabb计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1)

(p+1)2=(p+1)(p+1)=

.p2+2p+1(2)

(m+2)2=(m+2)(m+2)=

.m2+4m+4(3)

(p–1)2=(p–1)(p–1)=

.p2–2p+1(4)

(m–2)2=(m–2)(m–2)=

.m2–4m+4问题1：学生活动

【一起探究】根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？(a+b)2=

.a2+2ab+b2(a–b)2=

.a2–2ab+b2问题2：(a+b)2=

.a2+2ab+b2(a–b)2=

.a2–2ab+b2

也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央”完全平方公式你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?设大正方形ABCD的面积为S.S=

=S1+S2+S3+S4=

.(a+b)2a2+b2+2abS1S2S3S4证明aabb=+++a2ababb2(a+b)2=

.a2+2ab+b2和的完全平方公式：几何解释a2−ab−b(a−b)=a2−2ab+b2.=(a−b)2a−ba−baaabb(a−b)bb(a−b)2(a–b)2=

.a2–2ab+b2差的完全平方公式：几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2.(a–b)2=a2–2ab+b2.观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：(1)说一说积的次数和项数.(2)两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？(3)两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a，b有什么关系？它的符号与什么有关？问题4：

公式特征：公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.积为二次三项式；积中两项为两数的平方和；另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x–y)2=x2–y2(3)(–x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2××××(x+y)2=x2+2xy+y2(x–y)2=x2–2xy+y2(–x+y)2=x2–2xy+y2(2x+y)2=4x2+4xy+y2想一想例1运用完全平方公式计算：解:(4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2；(a+b)2=a2+2ab+b2(4m)2+2•(4m)•n+n2+8mn+n2；素养考点1利用完全平方公式进行计算(2)

(a–b)2=a2–2ab+b2y2=y2–y+解：

=+–2•y•

利用完全平方公式计算：(1)(5–a)2；

(2)(–3m–4n)2；(3)(–3a＋b)2.(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2；(2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；(1)1022；=(100–1)2=10000–200+1解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.992=9801.

例2

运用完全平方公式计算：素养考点2利用完全平方公式进行简便计算

利用乘法公式计算：(1)982–101×99；(2)20162–2016×4030＋20152.＝(2016–2015)2＝1.解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；(2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152例3已知x–y＝6，xy＝–8.求:(1)

x2＋y2的值；(2)(x+y)2的值.＝36–16＝20；解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，(x–y)2＝x2＋y2–2xy，∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20–16＝4.素养考点3利用完全平方公式的变形求整式的值方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.(1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_____.52对应训练.(2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，

则k=________.18或–18(3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为______.1添括号法则a+(b+c)=a+b+c;a–(b+c)=a–b–c.a+b+c=a+(b+c);

a–b–c=a–(b+c).去括号：把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：知识点2

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”).添括号法则例

运用乘法公式计算:(1)(x+2y–3)(x–2y+3);(2)(a+b+c)2.

原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]解:

(1)(2)原式=[(a+b)+c]2

=

x2–(2y–3)2

=

x2–(4y2–12y+9)=

x2–4y2+12y–9.=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.素养考点添括号法则的应用

计算：(1)(a–b＋c)2；

(2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．＝1–4x2＋4xy–y2.解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；(2)原式＝[1–(2x–y)][1＋(2x–y)]＝12–(2x–y)22.下列计算结果为2ab–a2–b2的是()A．(a–b)2B．(–a–b)2C．–(a＋b)2D．–(a–b)21.运用乘法公式计算(a–2)2的结果是(

)A．a2–4a+4B．a2–2a+4C．a2–4D．a2–4a–4AD3.运用完全平方公式计算:(1)(6a+5b)2=_______________；(2)(4x–3y)2=_______________；(3)(2m–1)2=_______________；(4)(–2m–1)2=_______________.36a2+60ab+25b216x2–24xy+9y24m2+4m+1

4m2–4m+14.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．

255.计算:(1)(3a＋b–2)(3a–b＋2)；(2)(x–y–m＋n)(x–y＋m–n)．(2)原式＝[(x–y)–(m–n)][(x–y)＋(m–n)]解：(1)原式＝[3a＋(b–2)][3a–(b–2)]＝(3a)2–(b–2)2＝9a2–b2＋4b–4.

＝(x–y)2–(m–n)2＝x2–2xy＋y2–m2＋2mn–n2.6.若a+b=5，ab=–6，求a2+b2，a2–ab+b2.解：a2+b2=(a+b)2–2ab=52–2×(–6)=37；a2–ab+b2=a2+b2–ab=37–(–6)=43.完全平方公式法则注意(a±b)2=a2±2ab+b21.项数、符号、字母及其指数2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行常用结论3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面)a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab;4ab=(a+b)2–(a–b)2.

完全平方公式：(

a

＋

b

)2＝

；(

a

－

b

)2＝

⁠.a2＋2

ab

＋

b2

a2－2

ab

＋b2

《完全平方公式》课后作业

1.

下列计算：①(

a

＋

b

)2＝

a2＋

b2；②(

a

－

b

)2＝

a2－

b2；③(

a

－

b

)2＝

a2－2

ab

－

b2；④(－

a

－

b

)2＝－

a2－2

ab

＋

b2.其中正确的有(

A

)A.

0个B.

1个C.

2个D.

3个A2.

(3

z

－

y

)2等于(

C

)A.

9

z2－

y

＋

y2B.

9

z2－

yz

＋

y2C.

9

z2－6

yz

＋

y2D.

3

z2－6

yz

＋

y23.

化简(

a

＋1)2－(

a

－1)2＝(

B

)A.

2B.

4

a

C.

4D.

2

a2＋24.

若

a

＋

b

＝－2，

ab

＝3，则代数式

a2－

ab

＋

b2的值是(

A

)A.

－5B.

13C.

5D.

9CBA5.

如果

y2＋

my

＋9是完全平方式，则

m

的值为(

D

)A.

6B.

3C.

3或－3D.

6或－6【解析】∵

y2＋

my

＋9是完全平方式，∴

y2＋

my

＋9＝(

y

±3)2＝

y2±6

y

＋9.∴

my

＝±6

y

，解得

m

＝±6.D6.

已知

x

＋

y

＝6，

xy

＝4.(1)求

x2＋

y2的值；解：(1)

x2＋

y2＝(

x

＋

y

)2－2

xy

＝62－2×4＝28.(2)求(

x

－

y

)2的值；解：(2)(

x

－

y

)2＝

x2＋

y2－2

xy

＝28－2×4＝20.(3)求

x4＋

y4的值.解：(3)

x4＋

y4＝(

x2＋

y2)2－2

x2

y2＝(

x2＋

y2)2－2(

xy

)2＝282－2×42＝

752.

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项

⁠；

如果括号前面是负号，括到括号里的各项

⁠.都不变符号都改变符号《添括号法则》课后作业

1.

在等号右边的括号内填上适当的项：(1)

a

＋

b

－2

c

＝

a

＋(

b

－2

c

)；(2)

a

＋

b

＋2

c

＝(

a

＋

b

)＋2

c

；(3)

a

－

b

＋2

c

＝

a

－(

b

－2

c

)；(4)

a

－

b

－2

c

＝

a

－(

b

＋2

c

)；(5)

a

＋

b

＋2

c

＝

a

－(

－

b

－2

c

).b

－2

c

a

＋

b

b

－2

c

b

＋2

c

－

b

－2

c

2.

运用乘法公式计算：(1)(2

x

－3

y

)2(2

x

＋3

y

)2；

(2)(

a

＋

b

＋

c

)2；(3)(

x

＋

y

＋1)(

x

＋

y

－1).解：(1)(2

x

－3

y

)2(2

x

＋3

y

)2＝[(2

x

＋3

y

)(2

x

－3

y

)]2＝(4

x2－9

y2)2＝16

x4－72

x2

y2＋81

y4.(2)(

a

＋

b

＋

c

)2

＝

[(

a

＋

b

)＋

c

]2＝

(

a

＋

b

)2＋2(

a

＋

b

)

c

＋

c2＝

a2＋2

ab

＋

b2＋2

ac

＋2

bc

＋

c2

.(3)(

x

＋

y

＋1)(

x

＋

y

－1)＝[(

x

＋

y

)＋1][(

x

＋

y

)－1]＝(

x

＋

y

)2－1＝

x2＋

2

xy

＋

y2－1.

第十四章整式的乘法与因式分解14.2乘法公式14.2.2完全平方公式《完全平方公式》同步练习

完全平方公式的几何意义1.

用4块完全相同的长方形拼成正方形如图，用不同的方法，计算图中

阴影部分的面积，可得到1个关于

a

，

b

的等式为

⁠

⁠.(

a

＋

b

)2－(

a

－

b

)2＝

4

ab

【解析】

S阴影＝4

S长方形＝4

ab

①，

S阴影＝

S大正方形－

S空白小正方形＝(

a

＋

b

)2－(

b

－

a

)2②，由①②得(

a

＋

b

)2－(

a

－

b

)2＝4

ab

.

完全平方公式2.

计算：(

x

＋2

y

)2＝(

A

)A.

x2＋4

xy

＋4

y2B.

x2＋2

xy

＋4

y2C.

x2＋4

xy

＋2

y2D.

x2＋4

y23.9

x2－

mxy

＋16

y2是一个完全平方式，那么

m

的值是(

D

)A.

12B.

－12C.

±12D.

±24【解析】∵(3

x

±4

y

)2＝9

x2±24

xy

＋16

y2，∴在9

x2－

mxy

＋16

y2中，

m

＝±24.AD4.

若

x2－7

xy

＋

M

是一个完全平方式，那么

M

是(

C

)D.

49

y2

5.

若多项式4

x2＋

A

＋1是一个完全平方式，则单项式

A

不可能是

(

C

)A.

4

x

B.

－4

x

C.

8

x

D.

4

x4CC6.

下列运算正确的是(

C

)A.

(

m

－1)2＝

m2－1B.

(2

m

)3＝6

m3C.

m7÷

m3＝

m4D.

m2＋

m5＝

m7【解析】A.(

m

－1)2＝

m2－2

m

＋1，原运算错误，本选项不符合题意；B.(2

m

)3＝8

m3，原运算错误，本选项不符合题意；C.

m7÷

m3＝

m4，符合运算法则，本选项符合题意；D.

m2＋

m5不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不符合题意.C7.

【教材第110页思考改编】下列等式不成立的是(

C

)A.

(2

a

＋

b

)2＝(－2

a

－

b

)2B.

(2

a

－

b

)2＝(

b

－2

a

)2C.

(2

a

－

b

)2＝2

a2－

b2D.

(2

a

＋

b

)2＝(2

a

－

b

)2＋8

ab

C

完全平方公式的应用8.

已知2

a2－

a

－3＝0，则(2

a

＋3)(2

a

－3)＋(2

a

－1)2的值是(

D

)A.

6B.

－5C.

－3D.

4【解析】由2

a2－

a

－3＝0，得2

a2－

a

＝3，∴(2

a

＋3)(2

a

－3)＋(2

a

－1)2＝4

a2－9＋4

a2－4

a

＋1＝8

a2－4

a

－8＝

4(2

a2－

a

)－8＝4×3－8＝4.D9.

若｜

x

＋

y

－5｜＋(

xy

－3)2＝0，则

x2＋

y2的值为(

A

)A.

19B.

31C.

27D.

23【解析】根据题意得

x

＋

y

－5＝0，

xy

－3＝0，∴

x

＋

y

＝5，

xy

＝3.∵(

x

＋

y

)2＝

x2＋2

xy

＋

y2＝25，∴

x2＋

y2＝(

x

＋

y

)2－2

xy

.∴

x2＋

y2＝25－2×3＝25－6＝19.

A.

－2B.

－1C.

1D.

2AC11.

计算(

a

＋1)2－

a2＝

⁠.【解析】(

a

＋1)2－

a2＝

a2＋2

a

＋1－

a2＝2

a

＋1.

2

a

＋1

(3)2

0222－4

044×2

021＋2

0212.解：原式＝2

0222－2×2

022×2

021＋2

0212

＝(2

022－2

021)2

＝1.

13.

若

x

，

y

是有理数，设

N

＝3

x2＋2

y2－18

x

＋8

y

＋35，则(

B

)A.

N

一定是负数B.

N

一定不是负数C.

N

一定是正数D.

N

的正负与

x

，

y

的取值有关B14.

已知

x

，

y

为任意有理数，记

M

＝

x2＋

y2，

N

＝2

xy

，则

M

与

N

的大

小关系为(

B

)A.

M

＞

N

B.

M

≥

N

C.

M

≤

N

D.

不能确定【解析】∵

M

＝

x2＋

y2，

N

＝2

xy

，∴

M

－

N

＝

x2＋

y2－2

xy

＝(

x

－

y

)2.∵(

x

－

y

)2≥0，∴

M

≥

N

.

B15.

1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”.观察“杨辉三角”与下面的等式图，根据图中各式的规律，(

a

＋

b

)7展

开的多项式中各项系数之和为

⁠.【解析】根据题意，得(

a

＋

b

)5展开后各项系数为1，5，10，10，

5，1，系数和为1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝25，(

a

＋

b

)6展开后各项系数为1，6，15，20，15，6，1，系数和为1＋6＋15＋20＋15＋6＋1＝64＝26，则(

a

＋

b

)7展开后各项系数和为27＝128.128

16.

填空：(1)已知

a

＋

b

＝3，

ab

＝－1，则3

a

＋

ab

＋3

b

＝

，

a2

＋

b2＝

⁠；(2)已知

a

－

b

＝14，

ab

＝6，则

a2＋

b2＝

⁠；(3)已知(

a

＋

b

)2＝10，(

a

－

b

)2＝6，则

ab

＝

⁠.8

11

208

1

18.

如图1，有A型，B型，C型三种不同形状的纸板，A型是

边长为

a

的正方形，B型是边长为

b

的正方形，C型是长为

b

，宽为

a

的

长方形.现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大

正方形.(1)观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积.方法1：

⁠；方法2：

⁠.请利用图2的面积表示方法，写出一个关于

a

，

b

的等式：

⁠

⁠.(

a

＋

b

)2

a2＋2

ab

＋

b2

(

a

＋

b

)2＝

a2＋2

ab

＋

b2

(2)已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为

25，求

ab

的值.

(3)用一张A型纸板和一张B型纸板拼成图3所示的图形，若

a

＋

b

＝8，

ab

＝15，求图3中阴影部分的面积.第十四章整式的乘法与因式分解14.2乘法公式14.2.2完全平方公式《第2课时添括号法则》同步练习

添括号法则1.

对多项式3

a

＋4

b

－

c

进行添括号，正确的是(

D

)A.

3

a

＋(4

b

＋

c

)B.

3

a

－(4

b

＋

c

)C.

3

a

＋4(

b

－

c

)D.

3

a

－(－4

b

＋

c

)【解析】

2

ab

－

a2－

b2＝－(－2

ab

＋

a2＋

b2)＝－(

a2－2

ab

＋

b2)＝－(

a

－

b

)2.D2.

下列计算结果为2

ab

－

a2－

b2的是(

D

)A.

(

a

－

b

)2B.

(－

a

－

b

)2C.

－(

a

＋

b

)2D.

－(

a

－

b

)23.

不改变代数式

a2＋2

a

－

b

＋

c

的值，下列添括号错误的是(

C

)A.

a2＋(2

a

－

b

＋

c

)B.

a2－(－2

a

＋

b

－

c

)C.

a2－(2

a

－

b

＋

c

)D.

a2＋2

a

＋(－

b

＋

c

)DC

(2)2

x

－3

y

＋2＝2

x

＋(3

y

＋2).解：错误，2

x

－3

y

＋2＝2

x

＋(－3

y

＋2).

5.

(－3

x

－1)2＝[－(

)]2＝

(

)2.6.

(

x

＋2

y

－1)(

x

－2

y

＋1)＝[

x

＋(

)][

x

－(

)].3

x

＋1

3

x

＋1

2

y

－1

2

y

－1

(1)(－2

x

－5)2；解：(－2

x

－5)2＝[－(2

x

＋5)]2＝

(2

x

＋5)2＝(2

x

)2＋2·(2

x

)·5＋52＝4

x2

＋20

x

＋25.(2)(

a

－2

b

－1)2；解：(

a

－2

b

－1)2＝[(

a

－2

b

)－1]2＝(

a

－2

b

)2－2·(

a

－2

b

)·1＋12＝

a2－

4

ab

＋4

b2－2

a

＋4

b

＋1.7.

【教材第111页练习第2题改编】运用完全平方公式计算.(3)(

a

＋

b

＋

c

)(

a

－

b

－

c

)；解：(

a

＋

b

＋

c

)(

a

－

b

－

c

)＝[

a

＋(

b

＋

c

)

]

[

a

－(

b

＋

c

)]＝

a2－

(

b

＋