九年级数学上册第2章解直角三角形2.230°45°60°角的三角比练习新版青岛版

PAGEPAGE12.230°，45°，60°角的三角比1.在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝()A.6 B.6eq\r(2)C.6eq\r(3) D.122.在△ABC中，若∠A，∠B满意eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(\r(3),2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosB－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝0，则△ABC是()A.钝角三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰(非等边)三角形3.若∠A为锐角，cosA<eq\f(\r(3),2)，则∠A的取值范围是()A.30°<∠A<90° B.0°<∠A<30°C.0°<∠A<60° D.60°<∠A<90°4.在中，，，则的值是（）A. B. C. D.5.如图，为测量一河岸相对两电线杆、间的距离，在距点米的处（），测得，则、之间的距离应为（）米.第5题图A. B. C. D.6.在中，、都是锐角，且，，则的形态是（）A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定7.计算：cos30°＝；tan60°·sin45°＝；|tan60°－2|＝；eq\r(（sin30°－1）2)＝.8.点A(cos60°，－tan30°)关于原点对称的点B的坐标为.9.如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高的长为____米.第9题图第10题图10.如图，某地区发生地震，已知地震前，在距水塔米的处测得；地震后，在处测得，则该水塔沉陷了_________米.11.已知为锐角，且，则_________度.12.如图，公园里有一块如四边形的草地，测得，，，则这块草地的面积为________.第12题图13.计算：(1)eq\r(3)tan30°－3cos60°＋eq\r(2)sin45°.(2)eq\f(sin30°,1＋cos30°)＋eq\f(1,tan30°).(3)eq\f(3tan30°－2tan60°,sin60°)＋cos225°＋sin225°.14.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至点E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，求tan∠AEO的值.(第14题)15.一般地，当α，β为随意角时，sin(α＋β)，sin(α－β)与cos(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ；sin(α－β)＝sinα·cosβ－cosα·sinβ；cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ.例如sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°×cos30°＋cos60°×sin30°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.类似地，求：(1)sin15°的值.(2)cos15°的值.(3)tan15°的值.16.对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α).(1)求sin120°，cos120°，sin150°的值.(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小.17.(1)如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝m，延长CB至点D，使BD＝AB.①求∠D的度数；②求tan75°的值.(2)如图②，点M的坐标为(2，0)，直线MN与y轴的正半轴交于点N，∠OMN＝75°，求直线MN的函数表达式.(第17题)18.如图，“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门快速组织力气，从仓储D处调集救援物资，安排先用汽车运到与D在同始终线上的C，B，A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O.已知OA⊥AD，∠D＝15°，∠OCA＝30°，∠OBA＝45°，CD＝20km.若汽车行驶的速度为50km/h，货船航行的速度为25km/h，问：这批物资在哪个码头装船，能最早运抵小岛O(在物资搬运实力上每个码头工作效率相同，参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)？(第18题)参考答案1.A2.B3.A4.B5.A6.B7.eq\f(\r(3),2)；eq\f(\r(6),2)；2－eq\r(3)；eq\f(1,2)8.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),3))).9.10.11.12.13.（1）原式＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)－3×eq\f(1,2)＋eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1－eq\f(3,2)＋1＝eq\f(1,2).（2）原式＝eq\f(\f(1,2),1＋\f(\r(,3),2))＋eq\f(1,\f(\r(,3),3))＝eq\f(1,2＋\r(3))＋eq\r(3)＝eq\f(1×（2－\r(3)）,（2＋\r(3)）（2－\r(3)）)＋eq\r(3)＝2－eq\r(3)＋eq\r(3)＝2.(3)原式＝eq\f(3×\f(\r(3),3)－2×\r(3),\f(\r(,3),2))＋1＝eq\f(－\r(3),\f(\r(,3),2))＋1＝－2＋1＝－1.14.【解】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC.∵BF⊥AC，∴∠ABF＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°.∵AB＝AC，AE＝AC，∴AB＝AE.∵AO平分∠BAE，∴∠BAO＝∠EAO.在△BAO和△EAO中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AE，,∠BAO＝∠EAO，,AO＝AO，))∴△BAO≌△EAO(SAS).∴∠AEO＝∠ABO＝30°.∴tan∠AEO＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).15.【解】（1）sin15°＝sin(60°－45°)＝sin60°×cos45°－cos60°×sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).(2)cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°×cos45°＋sin60°×sin45°＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).(3)tan15°＝eq\f(sin15°,cos15°)＝eq\f(\f(\r(6)－\r(2),4),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝2－eq\r(3).16.【解】(1)由题意，得sin120°＝sin(180°－120°)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)，cos120°＝－cos(180°－120°)＝－cos60°＝－eq\f(1,2)，sin150°＝sin(180°－150°)＝sin30°＝eq\f(1,2).(2)∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，∴三个内角分别为30°，30°，120°.①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根分别为eq\f(1,2)，－eq\f(1,2).将x＝eq\f(1,2)代入方程，得4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)－m·eq\f(1,2)－1＝0，解得m＝0.经检验，x＝－eq\f(1,2)是方程4x2－1＝0的根，∴m＝0符合题意.②当∠A＝120°，∠B＝30°时，方程的两根分别为eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(3),2)，不符合题意，舍去.③当∠A＝30°，∠B＝30°时，方程的两根分别为eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2).将x＝eq\f(1,2)代入方程，得4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)－m·eq\f(1,2)－1＝0，解得m＝0.经检验，x＝eq\f(\r(3),2)不是方程4x2－1＝0的根.综上所述，m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°.17.【解】(1)①∵BD＝AB，∴∠D＝∠BAD，∴2∠D＝∠D＋∠BAD＝∠ABC＝30°，∴∠D＝15°.②∵∠C＝90°，∴∠CAD＝90°－∠D＝90°－15°＝75°.∵∠ABC＝30°，AC＝m，∴BD＝AB＝2m，CB＝eq\r(3)m，∴CD＝CB＋BD＝(2＋eq\r(3))m，∴tan75°＝tan∠CAD＝eq\f(CD,AC)＝2＋eq\r(3).(2)∵点M的坐标为(2，0)，∠OMN＝75°，∠MON＝90°，∴ON＝OM·tan∠OMN＝OM·tan75°＝2×(2＋eq\r(3))＝4＋2eq\r(3)，∴点N的坐标为(0，4＋2eq\r(3)).设直线MN的函数表达式为y＝kx＋b.把M，N两点的坐标代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝0，,b＝4＋2\r(3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2－\r(3)，,b＝4＋2\r(3).))∴直线MN的函数表达式为y＝(－2－eq\r(3))x＋4＋2eq\r(3).18.【解】∵∠OCA＝∠D＋∠COD，∠D＝15°，∴∠COD＝30°－15°＝15°＝∠D，∴CO＝CD＝20km.在Rt△OCA中，∵∠OCA＝30°，∴OA＝eq\f(1,2)OC＝10km，∴CA＝eq\f(OA,tan30°)≈17km.在Rt△OBA中，∵∠OBA＝45°，∴BA＝OA＝10，OB＝