2023九年级数学上册 第21章 二次根式21.3 二次根式的加减教学实录 （新版）华东师大版

2023九年级数学上册第21章二次根式21.3二次根式的加减教学实录（新版）华东师大版科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2023九年级数学上册第21章二次根式21.3二次根式的加减教学实录（新版）华东师大版课程基本信息1.课程名称：二次根式的加减

2.教学年级和班级：九年级（1）班

3.授课时间：2023年10月25日星期三第2节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.培养学生运用二次根式进行数学运算的能力。

2.培养学生观察、分析和解决问题的能力，特别是对根式加减运算的灵活应用。

3.增强学生对数学符号语言的理解和运用，提升数学表达与交流的能力。学习者分析1.学生已经掌握了相关的知识基础，包括实数的运算、分式的加减运算以及基本的二次根式概念。然而，部分学生可能对二次根式的性质和运算规则理解不够深入，尤其是在处理根式与分数的混合运算时，容易出错。

2.学生的学习兴趣普遍较高，但学习能力和学习风格存在差异。部分学生擅长通过观察和模仿学习，而另一些学生则更倾向于通过逻辑推理和抽象思维来解决问题。在小组合作学习中，学生能够发挥各自的优势，共同完成学习任务。

3.学生在学习和应用二次根式的加减时可能遇到的困难和挑战包括：对二次根式的性质理解不够透彻，导致运算错误；在化简和约分过程中，容易忽视根式的简化规则；以及在实际应用中，难以将二次根式的加减运算与实际问题相结合。此外，学生可能对根式的加减运算的符号法则感到困惑，需要教师进行详细的讲解和示范。教学资源-多媒体教学设备：电脑、投影仪、电子白板

-教学软件：数学教学软件、在线教育平台

-信息化资源：二次根式相关的电子教材、教学视频、在线练习题

-教学手段：实物教具（如根号模型）、黑板、粉笔

-练习题集：包含不同难度层次的二次根式加减练习题教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：教师通过展示生活中常见的涉及二次根式的例子，如建筑物的柱子高度、家具尺寸等，引导学生思考二次根式在现实生活中的应用，激发学生的兴趣。

-回顾旧知：教师简要回顾上节课学习的二次根式的概念和性质，帮助学生巩固已有知识。

2.新课呈现（约30分钟）

-讲解新知：教师详细讲解二次根式的加减运算规则，包括根号下的相同项相加、相减，以及根号外的系数处理等。

-举例说明：教师通过具体的例子，如$\sqrt{2}+\sqrt{3}$和$2\sqrt{5}-\sqrt{5}$，展示加减运算的步骤和结果。

-互动探究：教师引导学生分组讨论，探讨二次根式加减运算中可能遇到的问题，如如何处理不同根号下的项，如何化简根号内的项等。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：学生独立完成教师提供的练习题，包括基础题和提升题，以加深对二次根式加减运算的理解。

-教师指导：教师巡视教室，观察学生的学习情况，对学生在解题过程中遇到的问题进行个别指导。

4.拓展延伸（约10分钟）

-教师提出一些开放性问题，如如何将二次根式的加减运算应用于实际问题，鼓励学生思考并尝试解决。

-学生展示自己的解题思路和方法，教师进行点评和总结。

5.总结反馈（约5分钟）

-教师总结本节课的学习内容，强调二次根式加减运算的重要性和应用场景。

-学生分享自己在学习过程中的收获和困惑，教师给予反馈和建议。

6.课后作业（约15分钟）

-教师布置适量的课后作业，包括练习题和思考题，帮助学生巩固所学知识，并提高解决问题的能力。

-作业内容应涵盖本节课的难点和重点，同时兼顾不同层次学生的学习需求。

教学过程中，教师应注重以下几点：

-注重学生的参与度，鼓励学生提问和表达自己的观点。

-采用多种教学方法，如小组合作、问题解决等，提高学生的学习兴趣和积极性。

-及时给予学生反馈，帮助学生发现并纠正错误，提高学习效果。

-营造轻松愉快的学习氛围，让学生在愉快的氛围中学习数学知识。知识点梳理1.二次根式的概念

-定义：二次根式是形如$\sqrt{a}$的表达式，其中$a\geq0$，且$a$是实数。

-性质：二次根式的值是非负数，且对于任何正实数$a$，都有$\sqrt{a}=\sqrt{|a|}$。

2.二次根式的加减法则

-相同根号下的项可以直接相加减，例如：$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$。

-根号外的系数可以直接相加减，但要注意根号内的项不能改变，例如：$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。

3.二次根式的化简

-化简根号内的项，例如：$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{49}=7$。

-化简根号外的系数，例如：$3\sqrt{8}$可以化简为$6\sqrt{2}$。

-化简包含根号的表达式，例如：$\sqrt{a^2}=|a|$，其中$a$是实数。

4.二次根式的乘除法则

-乘法法则：$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，其中$a\geq0$，$b\geq0$。

-除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$，其中$a\geq0$，$b>0$。

-特别注意，当除法的分母中含有根号时，应先将分母有理化，例如：$\frac{1}{\sqrt{3}}$可以通过乘以$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$来有理化。

5.二次根式的乘方

-$(\sqrt{a})^2=a$，其中$a\geq0$。

-$(\sqrt{a})^3=a\sqrt{a}$，其中$a\geq0$。

-$(\sqrt{a})^n$，当$n$为偶数时，结果为$a^{n/2}$；当$n$为奇数时，结果为$a^{(n-1)/2}\sqrt{a}$，其中$a\geq0$。

6.二次根式的混合运算

-按照数学运算的顺序，先进行括号内的运算，再进行乘除法，最后进行加减法。

-在混合运算中，要注意根号下的项不能与根号外的项相加减。

7.二次根式的应用

-二次根式在几何中的应用，如计算线段的长度、面积和体积等。

-二次根式在物理中的应用，如计算力的作用点距离等。

-二次根式在工程中的应用，如计算材料长度、面积和体积等。典型例题讲解1.例题：计算$\sqrt{8}+\sqrt{18}-\sqrt{2}$

解答：首先，将$\sqrt{8}$和$\sqrt{18}$分别化简为最简二次根式：

$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}$$

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}$$

然后，将化简后的根式相加减：

$$\sqrt{8}+\sqrt{18}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2+3-1)\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$

2.例题：化简表达式$3\sqrt{5}-2\sqrt{5}+\sqrt{20}$

解答：首先，将$\sqrt{20}$化简为最简二次根式：

$$\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}$$

然后，进行加减运算：

$$3\sqrt{5}-2\sqrt{5}+\sqrt{20}=3\sqrt{5}-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}=(3-2+2)\sqrt{5}=3\sqrt{5}$$

3.例题：计算$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}+\sqrt{27}$

解答：首先，将$\sqrt{12}$和$\sqrt{27}$分别化简为最简二次根式：

$$\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}$$

$$\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}$$

然后，进行除法和加法运算：

$$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}+\sqrt{27}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+3\sqrt{3}=2+3\sqrt{3}$$

4.例题：化简表达式$\sqrt{50}-\sqrt{75}+\sqrt{2}$

解答：首先，将$\sqrt{50}$和$\sqrt{75}$分别化简为最简二次根式：

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}$$

$$\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3}$$

然后，进行加减运算：

$$\sqrt{50}-\sqrt{75}+\sqrt{2}=5\sqrt{2}-5\sqrt{3}+\sqrt{2}=(5+1)\sqrt{2}-5\sqrt{3}=6\sqrt{2}-5\sqrt{3}$$

5.例题：计算$\sqrt{3}\cdot\sqrt{24}-\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}$

解答：首先，将$\sqrt{24}$和$\sqrt{12}$分别化简为最简二次根式：

$$\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}$$

$$\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}$$

然后，进行乘法和减法运算：

$$\sqrt{3}\cdot\sqrt{24}-\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}\cdot2\sqrt{6}-2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{18}-2\sqrt{9}$$

$$=2\cdot3\sqrt{2}-2\cdot3=6\sqrt{2}-6$$

最后，将结果化简：

$$6\sqrt{2}-6=6(\sqrt{2}-1)$$内容逻辑关系①二次根式的加减法则

-重点知识点：根号内相同项的加减、根号外系数的加减。

-重点词句：相同根号下的项可以直接相加减，根号外的系数可以直接相加减。

②二次根式的化简

-重点知识点：根号内项的化简、根号外系数的化简。

-重点词句：将根号内的项化简到最简形式，根号外的系数可以单独处理。

③二次根式的乘除法则

-重点知识点：根号内项的乘除、根号外项的乘除。

-重点词句：根号内的项相乘等于根号外的项相乘，根号内的项相除等于根号外的项相除。

④二次根式的乘方

-重点知识点：偶数次方、奇数次方的计算。

-重点词句：偶数次方结果为根号内项的平方，奇数次方结果为根号内项的平方乘以根号内项。

⑤二次根式的混合运算

-重点知识点：运算顺序、根号内项与根号外项的处理。

-重点词句：先进行括号内的运算，再进行乘除法，最后进行加减法。

⑥二次根式的应用

-重点知识点：几何、物理、工程中的应用。

-重点词句：应用二次根式解决实际问题，如计算长度、面积、体积等。教学反思与总结今天这节课，我们学习了二次根式的加减运算。总体来说，我觉得这节课进行得还比较顺利，但也存在一些值得反思的地方。

首先，在教学方法上，我尝试了多种方式来激发学生的学习兴趣。比如，我通过展示生活中的实例，让学生感受到二次根式在实际问题中的应用，这样可以提高他们的学习积极性。同时，我也鼓励学生通过小组讨论来解决问题，这样可以培养他们的合作能力和团队精神。

在讲解新知时，我注意到了一些细节。比如，在讲解根号内项的加减时，我特别强调了相同根号下的项才能相加减这一点，因为这是学生容易出错的地方。我还通过具体的例子，让学生看到加减运算的步骤和结果，这样可以帮助他们更好地理解。

然而，在教学过程中，我也发现了一些问题。比如，有些学生在进行二次根式的化简时，对根号内的项的处理不够熟练，容易出错。这说明我在教学过程中可能没有足够的时间来帮助学生巩固这一知识点。另外，我在讲解乘除法则时，可能没有充分地引导学生进行思考和探究，导致他们对这一部分的理解不够深入。

在教学总结方面，我觉得学生在知识方面有了明显的进步。他们对二次根式的加减运算有了更清晰的认识，能够独立完成一些基础的练习题。在技能方面，学生的计算能力得到了提升，他们能够熟练地进行二次根式的加减运算。在情感态度方面，学生们对数学学习的兴趣有所增加，他们愿意参与课堂讨论，提出自己的观点。

针对教学中存在的问题和不足，我提出以下改进措施和建议：

1.在讲解二次根式的化简时，我会安排更多的时间来进行练习，让学生通过不断的练习来巩固这一知识点。

2.在讲解乘除法则时，我会设计一些更具挑战性的问题，引导学生进行思考和探究，提高他们的逻辑思维能力。

3.对于基础较差的学生，我会进行个别辅导，帮助他们克服学习中的困难。

4.在今后的教学中，我会更加注重学生的个体差异，针对不同层次的学生制定不同的教学策略。课堂在课堂教学中，我采用了多种评价方式来了解学生的学习情况，并及时发现并解决问题。

1.提问评价

-在讲解新知时，我会通过提问来检查学生对知识的理解程度。例如，在讲解二次根式的