2024-2025学年山西省现代双语学校南校高二（下）学业水平数学试卷含解析

第1页（共1页）2024-2025学年山西省现代双语学校南校高二（下）学业水平数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1．（5分）抛物线x2＝4y的焦点坐标是（）A．(0，116) B．(12．（5分）渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（）A．22 B．1 C．2 3．（5分）若直线l：x+my+1＝0的倾斜角为2π3，则实数mA．3 B．-3 C．33 4．（5分）曲线x29+y2A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等5．（5分）在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若S88-SA．10 B．100 C．110 D．1206．（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上存在两点M，NA．（5，4） B．（4，3） C．（3，2） D．（2，1）7．（5分）过双曲线M：x2-y2b2=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且|ABA．10 B．5 C．103 D．8．（5分）已知椭圆x29+y26=1，F1，F2为两个焦点，OA．25 B．302 C．35二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知直线l：kx﹣y+2k+1＝0和圆O：x2+y2＝8，则（）A．直线l恒过定点（2，1） B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直 C．直线l与圆O相交 D．直线l被圆O截得的最短弦长为2（多选）10．（6分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（）A．数列{an}是递增数列 B．S5＝60 C．-24D．S1，S2，⋯，S12中最大的是S6（多选）11．（6分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（）A．若直线l的斜率为3，则|MN|＝8 B．|MF|+4|NF|的最小值为9 C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为（0，1），则点M的横坐标为1 D．若点G（3，2），则△GFM的周长最小值为4+2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知数列{an}是等比数列，满足a5a11＝4a8，数列{bn}是等差数列，且b8＝a8，则b7+b9等于．13．（5分）若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为．14．（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2．点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，△四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知顶点为O的抛物线y2＝2px（p＞0）过点M（m，23），其焦点为F，若|MF|＝4．（1）求点M的坐标以及抛物线方程；（2）若点N与M关于点F对称，求S△OMN．16．（15分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a（1）求d，an；（2）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，PC＝PD，O为CD的中点，二面角A﹣CD﹣P为直二面角．（Ⅰ）求证：PB⊥PD；（Ⅱ）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面POB与平面PAB夹角的余弦值．18．（17分）如图，已知椭圆C：x2a2+y2＝1（a＞1）的上顶点为A，离心率为63，若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．19．（17分）已知双曲线E：x2a2-（1）求E的标准方程；（2）已知点M（x0，y0）是E上任意一点，直线l是E在点M处的切线，点P是l上异于点M的动点，且过点P与OM（O为坐标原点）平行的直线l′交E于A，B两点，定义|PM|2|PA|⋅|PB|为双曲线E在点M处的切割比，记为λ（x0，y0），求切割比

2024-2025学年山西省现代双语学校南校高二（下）学业水平数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CCCCBCAB二．多选题（共3小题）题号91011答案BCBDBCD一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1．（5分）抛物线x2＝4y的焦点坐标是（）A．(0，116) B．(1【分析】根据已知条件，可得抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且2p＝4，解得p＝2，即可求解．【解答】解：∵抛物线x2＝4y，∴抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且2p＝4，解得p＝2，∴抛物线x2＝4y的焦点坐标是（0，1）．故选：C．2．（5分）渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（）A．22 B．1 C．2 【分析】由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c=则该双曲线的离心率为e=c故选：C．3．（5分）若直线l：x+my+1＝0的倾斜角为2π3，则实数mA．3 B．-3 C．33 【分析】根据斜率定义，结合诱导公式可得．【解答】解：由题知，-1解得m=3故选：C．4．（5分）曲线x29+y2A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等【分析】分别求出曲线x29+y2【解答】解：因为k＜4，所以9﹣k＞0，4﹣k＞0，所以曲线x2所以曲线x29-k+y24-k=1，长轴长为29-k，短轴长为24-k，焦距为2曲线x29+y24=1的长轴长为29=6，短轴长为24所以曲线x29+y2故选：C．5．（5分）在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若S88-SA．10 B．100 C．110 D．120【分析】等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则数列{Snn}【解答】解：因为数列{an}是等差数列，则数列{Snn则S88-S6所以Snn=1+n-1=n，所以Sn故选：B．6．（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上存在两点M，NA．（5，4） B．（4，3） C．（3，2） D．（2，1）【分析】设点M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为E（x0，y0），由已知条件可得出b2a2=23，利用点差法以及点M在直线x﹣y﹣1＝0上，可得出关于x0【解答】解：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b设点M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为E（x0，y0），则x0由题意，椭圆的离心率为e=c可得b2因为M、N关于直线x﹣y﹣1＝0对称，且直线x﹣y﹣1＝0的斜率为1，则kMN将点M、N的坐标代入椭圆方程可得x1上述两个等式作差可得x1可得y1即2y即y0即2x0＝3y0，①又因为点E（x0，y0）在直线x﹣y﹣1＝0上，则x0﹣y0﹣1＝0，②联立①②可得x0故线段MN的中点为E（3，2）．故选：C．7．（5分）过双曲线M：x2-y2b2=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且|ABA．10 B．5 C．103 D．【分析】过双曲线M：x2-y2b2=1的左顶点A（﹣1，0）作斜率为1的直线l：y＝x+1，若l与双曲线M的两条渐近线x2-y2b2=0，分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2），联立方程组代入消元得（b【解答】解：过双曲线M：x2-y2b2=1的左顶点若l与双曲线M的两条渐近线x2-y2b2=0分别相交于点B（x1，y1），C联立方程组x代入消元得（b2﹣1）x2﹣2x﹣1＝0，∴x1∴x1+x2＝﹣2x1x2，又|AB|＝|BC|，则B为AC中点，2x1＝﹣1+x2，代入解得x1∴b2＝9，双曲线M的离心率e=c故选：A．8．（5分）已知椭圆x29+y26=1，F1，F2为两个焦点，OA．25 B．302 C．35【分析】由椭圆的性质及定义，结合余弦定理求解．【解答】解：已知椭圆x29+y26=1则c=9-6又O为原点，P为椭圆上一点，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨m＞n，可得m+n＝6，①结合余弦定理可得：4c2＝m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，又cos∠F即12=m2结合①②可得mn=152，m2+n又PO→可得|PO|=1可得|PO|=30故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知直线l：kx﹣y+2k+1＝0和圆O：x2+y2＝8，则（）A．直线l恒过定点（2，1） B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直 C．直线l与圆O相交 D．直线l被圆O截得的最短弦长为2【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D．【解答】解：对于A，由kx﹣y+2k+1＝0可得，k（x+2）﹣y+1＝0，令x+2＝0，即x＝﹣2，此时y＝1，所以直线l恒过定点（﹣2，1），A错误；对于B，因为直线l0：x﹣2y+2＝0的斜率为12，所以直线l的斜率为﹣2，即k＝﹣2，此时直线l与直线l0垂直，满足题意，B对于C，因为定点（﹣2，1）到圆心的距离为4+1=5＜22，所以定点（﹣2，1）在圆内，所以直线l与圆对于D，设直线l恒过定点A（﹣2，1），圆心到直线l的最大距离为|OA|=5此时直线l被圆O截得的弦长最短为28-5=23故选：BC．（多选）10．（6分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（）A．数列{an}是递增数列 B．S5＝60 C．-24D．S1，S2，⋯，S12中最大的是S6【分析】利用等差数列的前n项和公式和等差数列的性质得到a7＜0，a6+a7＞0，再利用等差数列的通项公式求得d的范围可判断AC；进而得可判断B；利用a6＞0＞a7可判断D，从而得解．【解答】解：等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，对于AC：因为S12且S13所以a6+a7＞0，a7＜0，又因为a3＝12，所以24+7d＞012+4d＜0，解得-所以等差数列{an}是递减数列，故AC错误；对于B：因为a3＝12，所以S5=5(对于D：因为等差数列{an}是递减数列，且a7＜0，a6+a7＞0，则a6＞0，a7＜0，所以S1＜S2＜...＜S5＜S6，S6＞S7＞...＞S12，故D正确．故选：BD．（多选）11．（6分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（）A．若直线l的斜率为3，则|MN|＝8 B．|MF|+4|NF|的最小值为9 C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为（0，1），则点M的横坐标为1 D．若点G（3，2），则△GFM的周长最小值为4+2【分析】首先求出抛物线的解析式，设出MN方程，与抛物线方程联立进行求解，当m=33，可得|MN|判断A；再根据韦达定理和不等式求最小值后判断选项B；画出大致图像过点M作准线的垂线，垂足为M′，交y轴于M1，结合抛物线定义判断选项C；过G作GH垂直于准线，垂足为H，结合△GFM的周长为|MG|+|MF|+|GF|＝|MG|+|MN|+22，进而判断选项【解答】解：由抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，得到第一象限交点（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，所以22＝2p，解得p＝2，所以C：y2＝4x，则F（1，0），对于A选项，设直线l：x＝my+1，与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以|MN|=1+m2|y1﹣y2|=1+m2当直线l的斜率为3时，则m=33，所以|MN|＝4（1+13）对于B选项，由抛物线的定义，1|MF|所以|MF|+4|NF|＝（|MF|+4|NF|）•（1|MF|+1|NF|）＝1+4当且仅当|MF|＝2|NF|＝3时等号成立，故B项正确；对于C选项，如图，过点M作准线的垂线，垂足为M′，交y轴于M1，取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线，垂足为D1，则MM1∥OF，DD1是梯形OFMM1的中位线，由抛物线的定义可得|MM1|＝|MM′|﹣|M1M′|＝|MF|﹣1，所以|DD1|=|OF|+|M所以以MF为直径的圆与y轴相切，所以（0，1）为圆与y轴的切点，所以点D的纵坐标为1，又因为D为MF的中点，所以点M的纵坐标为2，又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为1，故C项正确；对于D选项，过G作GH垂直于准线，垂足为H，所以△GFM的周长为|MG|+|MF|+|GF|＝|MG|+|MN|+22≥|GH|+22=4+2当且仅当点M的坐标为（1，2）时取等号，故D项正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知数列{an}是等比数列，满足a5a11＝4a8，数列{bn}是等差数列，且b8＝a8，则b7+b9等于8．【分析】先应用等比数列性质得出a8＝4，再应用等差数列性质求解即可．【解答】解：由等比数列性质可得：a82=4a8，且a数列{bn}是等差数列，且b8＝a8＝4，则b7+b9＝2b8＝2×4＝8．故答案为：8．13．（5分）若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为50．【分析】利用等差数列片段和性质有Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m为等差数列，应用等差中项的性质求S2m即可．【解答】解：由等差数列片段和性质知：Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m为等差数列，所以2（S2m﹣Sm）＝Sm+S3m﹣S2m，则2（S2m﹣20）＝20+90﹣S2m，所以S2m＝50．故答案为：50．14．（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2．点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，△PF2【分析】根据椭圆对称性及矩形的性质知四边形PF1QF2为矩形，进而有四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|＝mn，再根据椭圆定义、勾股定理求PF1•PF2即可，列出不等式，转化求解离心率的范围即可．【解答】解：因为P，Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，并且c≥b，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝m+n＝2a，所以m2+2mn+n2＝4a2，因为|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝4（a2﹣b2），所以mn＝2b2，因为四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|＝mn＝2b2，△PF2Q的面积S≥18|PQ|22（a2﹣c2）≥c2，可得ca又c≥b，可得c2≥a2﹣c2，可得e≥2所以e∈[2故答案为：[2四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知顶点为O的抛物线y2＝2px（p＞0）过点M（m，23），其焦点为F，若|MF|＝4．（1）求点M的坐标以及抛物线方程；（2）若点N与M关于点F对称，求S△OMN．【分析】（1）由抛物线的性质，结合抛物线的定义列方程求解；（2）结合S△OMN＝2SOFM求解．【解答】解：（1）已知顶点为O的抛物线y2＝2px（p＞0）过点M（m，23），其焦点为F，又|MF|＝4，则m+p又2pm＝12，则p=2m=3或p=6则点M的坐标为（3，23），抛物线方程为y2＝4x或点M的坐标为（1，23），抛物线方程为y2＝12（2）当抛物线方程为y2＝4x时，|OF|＝1，又点N与M关于点F对称，则S△OMN＝2SOFM=2×1当抛物线方程为y2＝12x时，|OF|＝3，又点N与M关于点F对称，则S△OMN＝2SOFM=2×1即求S△OMN=23或616．（15分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a（1）求d，an；（2）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．【分析】（1）利用已知条件求出数列的公差，然后求解通项公式．（2）求出数列中变号的项，然后通过n≤11与n≥12，分别求解数列的和即可．【解答】解：（1）因为5a1a3=(2a2+2)2故an＝﹣n+11或an＝4n+6．（2）设数列{an}的前n项和为Sn，因为d＜0，所以由（1）得d＝﹣1，an＝﹣n+11，则当n≤11时，|a当n≥12时，|a综上所述，|a17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，PC＝PD，O为CD的中点，二面角A﹣CD﹣P为直二面角．（Ⅰ）求证：PB⊥PD；（Ⅱ）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面POB与平面PAB夹角的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出PO⊥CD，从而PO⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PB⊥PD；（Ⅱ）求出平面PAB的一个法向量，利用向量法能求出线PC与平面PAB所成角的正弦值；（Ⅲ）求出平面POB的一个法向量，利用向量法能求出平面POB与平面PAB夹角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵PC＝PD，O为CD中点，∴PO⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PO⊂平面PCD，∴PO⊥平面ABCD，∵CD＝2，PC⊥PD，PC＝PD，∴PO＝1．以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则O（0，0，0），D（1，0，0），C（﹣1，0，0），B（﹣1，2，0），P（0，0，1），A（1，2，0），PB→=（﹣1，2，﹣1），∵PB→⋅PD→=（Ⅱ）设平面PAB的一个法向量为m→=（x，y，则m→⋅AP→=-x-2y+z=0设直线PC与平面PAB所成角为θ，PC→∴sinθ＝|cos＜m→，∴直线PC与平面PAB所成角的正弦值为105（Ⅲ）设平面POB的一个法向量为n→=（a，b，OP→=（0，0，1），则n→⋅OP→=c=0设平面POB与平面PAB夹角为α，则cosα=|∴平面POB与平面PAB夹角的余弦值为1518．（17分）如图，已知椭圆C：x2a2+y2＝1（a＞1）的上顶点为A，离心率为63，若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．【分析】（Ⅰ）由椭圆的解析式得到b＝1，再利用椭圆的性质a2+b2＝c2列出关系式，与e=ca=63（Ⅱ）由AP→•AQ→=0，利用平面斜率数量积为0时两向量垂直得到AP与AQ垂直，可得出AP与坐标轴不垂直，由A的坐标设出直线AP的方程为y＝kx+1，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1表示出直线AQ的方程，将y＝kx+1代入椭圆方程，消去y得到关于x