2024-2025学年四川省眉山市仁寿县铧强中学高二（上）期末数学试卷含解析

第1页（共1页）2024-2025学年四川省眉山市仁寿县铧强中学高二（上）期末数学试卷一、单选题（共40分）1．若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay﹣10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）2．已知p：0＜x＜2，那么p的一个充分不必要条件是（）A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜1 D．0＜x＜33．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每个问题都有问、答、术三部分组成，内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观和生活观．书中第九卷勾股部分记录了这么一个问题：问：今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？术曰：半锯道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径．如图，术曰所给出的求解公式为：AC=(A．二尺六寸 B．二尺五寸 C．一尺三寸 D．一尺二寸4．下列命题正确的是（）A．“x2﹣3x+2＜0”是“x＜1”的充分不必要条件 B．若给定命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1≥0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x﹣1＜0 C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 D．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝2”的否命题为“若x2﹣3x+2＝0，则x≠2”5．储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的．现有一种“钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m和3m，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存300m3的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（）A．6 B．9 C．10 D．116．已知点M在椭圆x218+y29=1上运动，点N在圆x2A．1+19 B．1+25 C．5 7．椭圆x29+y24=1的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠A．（-55，55） B．（-2C．（-355，355） 8．若椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点为F1、A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6 B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为3 C．存在点P，使PF1⊥PF2 D．|PF1|的取值范围是[1，3]二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列说法正确的是（）A．当x∈R时，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是[0，4） B．“a＞b＞0”是“1a＜C．命题“∃x∈R，x2D．“集合A＝{x|ax2+x+1＝0}”中只有一个元素是“a=1（多选）10．（6分）已知函数f（x）=xA．∃m∈R，f（x）＜m B．∃x2∈（0，+∞），∀x1∈（﹣5，0]，f（x1）＜f（x2） C．若y＝f（x）﹣m恰有2个零点，则m＞8 D．若存在互不相等的实数x1，x2，x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的最大值为25（多选）11．（6分）已知函数f（x）=13x3﹣ax2+x，（a∈A．若f（x）是R上的增函数，则a∈[﹣1，1] B．当a＞1时，函数f（x）有两个极值 C．当a＞1时，函数f（x）有两零点 D．当a＝1时，f（x）在点（0，f（0））处的切线与f（x）只有唯一个公共点三、填空题（共15分）12．若圆x2+y2＝1与圆（x﹣a）2+（y﹣4）2＝16有3条公切线，则正数a＝．13．已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形14．一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为cm．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．如图，用铁皮作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10cm，制作该容器需要多少面积的铁皮？（不计耗损，结果精确到整数）16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：（1）EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．17．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝1，A1A＝2，E为棱CC1的中点．（1）求证：A1E⊥BD；（2）求A1E与平面A1BD所成角的余弦值．18．已知椭圆C1：x2a2+y2=1过点(1，32)（1）求椭圆C2的方程；（2）已知F1，F2为椭圆C2的两焦点，若点P在椭圆C2上，且∠F1PF2=19．已知点F1（﹣1，0），圆F2：（x﹣1）2+y2＝16，点Q在圆F2上运动，QF1的垂直平分线交QF2于点P．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）直线l与曲线C交于M、N两点，且MN中点为（1，1），求直线l的方程．

2024-2025学年四川省眉山市仁寿县铧强中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCABCBCC二．多选题（共3小题）题号91011答案ABDBDAB一、单选题（共40分）1．若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay﹣10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）【分析】利用圆的一般方程表示圆的充要条件，D2+E2﹣4F＞0求解即可．【解答】解：由（2a）2+（﹣4a）2﹣4×（﹣10a）＞0，解得a＜﹣2或a＞0．故选：B．2．已知p：0＜x＜2，那么p的一个充分不必要条件是（）A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜1 D．0＜x＜3【分析】根据充分与必要条件的概念即可求解．【解答】解：∵选项中的条件是p：0＜x＜2的充分不必要条件，∴选项条件对应的集合是（0，2）的真子集，故选：C．3．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每个问题都有问、答、术三部分组成，内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观和生活观．书中第九卷勾股部分记录了这么一个问题：问：今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？术曰：半锯道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径．如图，术曰所给出的求解公式为：AC=(A．二尺六寸 B．二尺五寸 C．一尺三寸 D．一尺二寸【分析】由题意求得AB与ED，代入公式得答案．【解答】解：由题意可知，AB＝10寸，ED＝1寸，由AC=(得AC=(故选：A．4．下列命题正确的是（）A．“x2﹣3x+2＜0”是“x＜1”的充分不必要条件 B．若给定命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1≥0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x﹣1＜0 C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 D．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝2”的否命题为“若x2﹣3x+2＝0，则x≠2”【分析】直接利用充分条件和必要条件的定义，命题的否定和否命题的关系，真值表的应用，判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：“x2﹣3x+2＜0”整理得：“1＜x＜2”，故“1＜x＜2”是“x＜1”的即不充分也不必要条件，故A错误．对于B：若给定命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1≥0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x﹣1＜0，故B正确．对于C：若p∧q为假命题，则p，q均为假命题也可能为一真一假，故C错误．对于D：命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝2”的否定为“若x2﹣3x+2＝0，则x≠2”，故D错误．故选：B．5．储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的．现有一种“钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m和3m，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存300m3的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（）A．6 B．9 C．10 D．11【分析】先求出圆锥与圆柱的底面圆的半径，再计算一个“钢板仓”的体积，最后由总的储存体积得所需的“钢板仓”的个数．【解答】解：∵轴截面中等腰三角形的顶角为120°，∴顶角的一半为60°，又圆锥的高是1，∴圆锥的底面圆的半径为3，圆柱的底面圆的半径也为3，∴一个“钢板仓”的体积为13×π×3×1+π×3×3=10∴要储存300的水稻，需要准备这种“钢板仓”的个数是10，故选：C．6．已知点M在椭圆x218+y29=1上运动，点N在圆x2A．1+19 B．1+25 C．5 【分析】由椭圆的参数方程可设点M的坐标为（32cosθ，3sinθ），θ∈[0，2π），然后求出已知圆的圆心A和半径r，则|MN|的最大值转化为求出|AM|+r的最大值即可求解．【解答】解：由椭圆的参数方程可设点M的坐标为（32cosθ，3sinθ），θ∈[0，2π），由已知圆的方程可得圆的圆心为A（0，1），半径为r＝1，则|AM|=18co当3sinθ﹣1＝0即sinθ=13时，|AM|此时|MN|max=|AM故选：B．7．椭圆x29+y24=1的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠A．（-55，55） B．（-2C．（-355，355） 【分析】设P（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22【解答】解：如图，设P（x，y），则F1（-5，0），F2（5且∠F1PF2是钝角⇔PF12+PF22＜|F1F2|2⇔（x+⇔x2+5+y2＜10⇔x2+4（1-x⇔x2＜95．所以-3故选：C．8．若椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点为F1、A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6 B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为3 C．存在点P，使PF1⊥PF2 D．|PF1|的取值范围是[1，3]【分析】A．根据椭圆定义，|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，可得△PF1F2的周长，即可判断出正误；B．设点P（x1，y0）（y0≠0），S△PF1F2=12|F1FC．由椭圆性质可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大，判断出△PF1F2为正三角形，即可判断出正误；D．由椭圆的性质可知，当点P为椭圆C的顶点时，|PF1|取得最值，即可得出|PF1|的范围，即可判断出正误．【解答】解：由椭圆方程可知a＝2，b=3，∴c=A．根据椭圆定义，|PF1|+|PF2|＝2a＝4，又|F1F2|＝2c＝2，∴△PF1F2的周长是2a+2c＝6，故选项A正确；B．设点P（x1，y0）（y0≠0），∵|F1F2|＝2，∴S△PF1F2=12|F1F2|•|yC．由椭圆性质可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大．此时，|PF1|＝|PF2|＝a＝2，又|F1F2|＝2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2＝60°，∴不存在点P，使PF1⊥PF2，故选项C错误；D．由椭圆的性质可知，当点P为椭圆C的右顶点时，|PF1|取最大值，此时|PF1|＝a+c＝3；当点P为椭圆C的左顶点时，|PF1|取最小值，此时|PF1|＝a﹣c＝1，∴|PF1|∈[1，3]，故选项D正确．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列说法正确的是（）A．当x∈R时，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是[0，4） B．“a＞b＞0”是“1a＜C．命题“∃x∈R，x2D．“集合A＝{x|ax2+x+1＝0}”中只有一个元素是“a=1【分析】对于A，对k＝0和k≠0进行分类讨论即可判断；对于B，根据不等式的性质和充分必要条件的概念即可判断；对于C，根据∀x∈R，x2-x+14=(x-12)【解答】解：对于A，当k＝0时，1＞0恒成立，符合题意；当k≠0时，则k＞0Δ=k2综上，k的取值范围是[0，4），故选项A正确；对于B，若1a＜1b，当ab＞0时可得a＞b＞0或b＜a＜0；当ab＜0时可得即1a＜1b⇔a＞b＞0或b＜a故“a＞b＞0”是“1a＜1对于C，由于∀x∈R，x所以命题“∃x∈R，x2-x+对于D，当a＝0时，A＝{x|ax2+x+1＝0}＝{﹣1}，集合A中只有一个元素，符合题意；当a≠0时，若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素，则Δ＝1﹣4a＝0，解得a=1则a＝0或a=1故“集合A＝{x|ax2+x+1＝0}”中只有一个元素是“a=14”的必要不充分条件，选项故选：ABD．（多选）10．（6分）已知函数f（x）=xA．∃m∈R，f（x）＜m B．∃x2∈（0，+∞），∀x1∈（﹣5，0]，f（x1）＜f（x2） C．若y＝f（x）﹣m恰有2个零点，则m＞8 D．若存在互不相等的实数x1，x2，x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的最大值为25【分析】画出函数f（x）的图象，由函数f（x）的值域为R可判断A，由当x1∈（﹣5，0]时，f（x）的最大值为8，而当x＞0时，f（x）的值域为R，可判断B，根据f（x）的图象，数形结合可判断CD．【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图所示：对于A，由图象可知，函数f（x）的值域为R，所以不存在m∈R，使得f（x）＜m，故A错误；对于B，当x1∈（﹣5，0]时，f（x）的最大值在x＝0处取得，此时f（0）＝8，当x＞0时，f（x）＝3-log12x=3+log2所以一定存在x2＞0，使得f（x1）＜f（x2），故B正确；对于C，y＝f（x）﹣m恰有2个零点，等价于方程f（x）﹣m＝0有2个根，即函数y＝f（x）与y＝m的图象有2个交点，由图象可知，当m＞8或m＝f（-72）=-174时，直线y＝m与函数y＝f（对于D，若存在互不相等的实数x1，x2，x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2＝﹣7，所以当x3最大时，x1+x2+x3的值最大，当f（x）＝8时，x3最大，此时3-log解得x3＝25＝32，所以x1+x2+x3的最大值为﹣7+32＝25，故D正确．故选：BD．（多选）11．（6分）已知函数f（x）=13x3﹣ax2+x，（a∈A．若f（x）是R上的增函数，则a∈[﹣1，1] B．当a＞1时，函数f（x）有两个极值 C．当a＞1时，函数f（x）有两零点 D．当a＝1时，f（x）在点（0，f（0））处的切线与f（x）只有唯一个公共点【分析】求导得f′（x）＝x2﹣2ax+1，依题意，对四个选项逐一分析可得答案．【解答】解：对于A，∵f（x）=13x3﹣ax2+x是∴f′（x）＝x2﹣2ax+1≥0，∴Δ＝4a2﹣4≤0，解得﹣1≤a≤1，A正确；对于B，当a＞1时，Δ＝4a2﹣4＞0，f′（x）＝0有两个异根，∴函数f（x）有两个极值，B正确；对于C，令f（x）=13x3﹣ax2+x=13x（x2﹣3ax+3）＝0，则x＝0或x∵当a＞1时，当9a2﹣4×3＝9a2﹣12＝0，即a=233时，x2﹣3ax+3＝0有相等的根，此时f当9a2﹣12＞0，即a＞233时，x2﹣3ax+3＝0有相异的两根，此时f（x对于D，当a＝1时，f′（x）＝x2﹣2x+1，∴k＝f′（0）＝1，又f（0）＝0，∴f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，由y=13x3∴当a＝1时，f（x）在点（0，f（0））处的切线与f（x）有2个公共点，D错误．故选：AB．三、填空题（共15分）12．若圆x2+y2＝1与圆（x﹣a）2+（y﹣4）2＝16有3条公切线，则正数a＝3．【分析】根据条件可知两圆外切，由圆心距等于两圆半径之和列出方程，计算即可．【解答】解：由圆x2+y2＝1与圆（x﹣a）2+（y﹣4）2＝16有3条公切线可知，两圆外切，∴a2+42=5，∴a故答案为：3．13．已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形【分析】判断四边形PF1QF2为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可．【解答】解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝m+n＝2a＝8，所以m2+2mn+n2＝64，因为|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝4（a2﹣b2）＝48，即m2+n2＝48，所以mn＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|＝mn＝8．故答案为：8．14．一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为13cm．【分析】利用勾股定理，即可求出圆台的母线长．【解答】解：由题意，∵圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，两底面圆心的连线长为12cm，∴圆台的母线长为52+12故答案为13．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．如图，用铁皮作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10cm，制作该容器需要多少面积的铁皮？（不计耗损，结果精确到整数）【分析】根据圆锥侧面积公式即可求解．【解答】解：根据题意，圆锥的高h＝10cm，又因为圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，所以底面圆半径r＝10cm，母线长l=102所以S侧故需要444cm2的铁皮．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：（1）EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．【分析】（1）连接SB，则EG//SB，利用线面平行的判定定理，即可证明结论；（2）连接SD，利用面面平行的判定定理，即可证明结论．【解答】证明：（1）连接SB，如图所示：∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB，又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1；（2）连接SD，如图所示：∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD，又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，由（1）得EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．17．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝1，A1A＝2，E为棱CC1的中点．（1）求证：A1E⊥BD；（2）求A1E与平面A1BD所成角的余弦值．【分析】（1）连接AC，交BD于点O，连结A1C1，推导出AA1⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥面AA1C1C，由此能证明BD⊥A1E．（2）推导出面A1BD⊥面A1OE，从而∠OA1E为直线A1E与平面A1BD所成的平面角，由此能求出A1E与平面A1BD所成角的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接AC，交BD于点O，连结A1C1．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥面ABCD，又∵BD⊂面ABCD，∴AA1⊥BD，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又∵AA1∩AC＝A，∴BD⊥面AA1C1C，∵A1E⊂面AA1C1C，∴BD⊥A1E．（2）由（1）知BD⊥面AA1C1C，又BD⊂平面A1BD，∴面A1BD⊥面A1OE，又面A1BD∩面A