2023八年级数学上册 第14章 勾股定理14.2勾股定理的应用第2课时勾股定理的应用（2）教学实录 （新版）华东师大版

2023八年级数学上册第14章勾股定理14.2勾股定理的应用第2课时勾股定理的应用（2）教学实录（新版）华东师大版课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析1.本节课的主要教学内容：勾股定理的应用（2），包括解决实际问题中的应用和证明问题中的应用。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课的内容是建立在学生已经掌握了勾股定理及其逆定理的基础上，通过具体问题的解决来巩固和应用这些定理。教材章节涉及勾股定理的证明和性质，以及如何使用这些知识来解决实际问题。二、核心素养目标培养学生数学抽象和逻辑推理能力，通过勾股定理的应用，使学生学会从实际问题中抽象出数学模型，运用数学语言进行表达和推理。同时，提升学生的直观想象能力，通过几何图形的观察和操作，加深对勾股定理的理解。此外，培养学生数学建模和数学运算能力，能够将勾股定理应用于解决实际问题，提高解决复杂问题的能力。三、重点难点及解决办法重点：

1.勾股定理的应用于解决实际问题，包括直角三角形的边长计算和面积计算。

2.将实际问题转化为数学模型，并运用勾股定理进行求解。

难点：

1.理解和应用勾股定理逆定理解决非直角三角形问题。

2.在复杂问题中正确识别和应用勾股定理。

解决办法：

1.通过实例讲解和练习，帮助学生理解勾股定理的应用场景和步骤。

2.设计层次分明的练习题，从简单到复杂，逐步引导学生掌握逆定理的应用。

3.采用小组合作学习，鼓励学生讨论和交流，共同解决复杂问题。

4.利用几何软件或教具，帮助学生直观理解几何图形，增强空间想象能力。

5.定期进行复习和总结，强化学生对勾股定理及其逆定理的理解和应用。四、教学资源-软硬件资源：电子白板、计算机、几何画板软件

-课程平台：班级学习管理系统

-信息化资源：勾股定理相关的教学视频、在线练习题库

-教学手段：多媒体课件、实物教具（直角三角形模型）、挂图五、教学过程一、导入新课

（老师）同学们，今天我们来学习勾股定理的应用（2）。大家还记得我们之前学过的勾股定理吗？它告诉我们，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。那么，这个定理在解决实际问题中有什么作用呢？让我们一起探究。

（学生）我们知道，勾股定理可以用来计算直角三角形的边长和面积。

二、新课导入

（老师）很好，那我们今天就来通过几个具体的例子，看看勾股定理在实际问题中的应用。

三、课堂探究

1.例题展示

（老师）首先，我们来看一个例题：一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，求斜边的长度。

（学生）根据勾股定理，斜边的长度应该是5厘米。

（老师）非常好，我们用勾股定理计算出了斜边的长度。接下来，我们再来看一个例题。

2.应用拓展

（老师）现在，我们来解决一个实际问题：一个梯子的底边长2米，高1.5米，如果梯子靠在墙上，求梯子与地面的夹角。

（学生）首先，我们需要画出一个直角三角形，其中直角边分别是梯子的高和墙上的投影，斜边是梯子的长度。然后，我们可以用三角函数来求解这个夹角。

（老师）很好，同学们能够将实际问题转化为数学问题，并运用所学知识来解决。现在，请同学们独立完成以下几个练习题。

3.练习巩固

（老师）练习题如下：

（1）一个直角三角形的两条直角边分别是6厘米和8厘米，求斜边的长度。

（2）一个梯子的底边长3米，高2米，如果梯子靠在墙上，求梯子与地面的夹角。

（3）一个房间的长是5米，宽是3米，求这个房间的对角线长度。

（学生）我们开始解答这些练习题。

四、课堂互动

（老师）同学们，请上来展示一下你们的解答过程。

（学生1）我解第一个题时，首先计算出斜边的长度，然后使用勾股定理的逆定理来验证。

（学生2）我解第二个题时，首先画出直角三角形，然后利用三角函数求解夹角。

（老师）很好，大家都能正确解答这些问题。现在，我们来讨论一个更复杂的问题。

五、难点突破

（老师）现在，我们来看一个复杂的问题：一个房间的长是10米，宽是6米，高是4米，求房间对角线的长度。

（学生）这个问题比较复杂，因为房间不是直角三角形，我们需要使用空间几何的知识来解决。

（老师）没错，这是一个空间几何问题。我们可以将房间想象成一个长方体，然后找到长方体的对角线。请同学们尝试解答。

（学生）我明白了，我们可以将长方体的长、宽、高分别作为直角三角形的两条直角边，然后计算斜边的长度。

（老师）很好，这是一个很好的方法。现在，请同学们独立完成这个练习题。

六、总结回顾

（老师）同学们，今天我们学习了勾股定理的应用（2），通过几个例题和练习题，我们掌握了勾股定理在解决实际问题中的应用。希望大家能够将这些知识运用到日常生活中。

（学生）我们学到了很多，特别是如何将实际问题转化为数学问题，并运用所学知识来解决。

七、布置作业

（老师）请同学们课后完成以下作业：

（1）复习今天所学的内容，巩固勾股定理的应用。

（2）寻找生活中的一些实际问题，尝试运用勾股定理来解决。

（学生）好的，我们一定会认真完成作业。六、知识点梳理1.勾股定理的定义：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²，其中a和b是直角边，c是斜边。

2.勾股定理的证明：

-几何证明：通过构造辅助线，如等腰直角三角形，来证明勾股定理。

-代数证明：使用代数方法，如平方差公式，来证明勾股定理。

3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

4.勾股定理的应用：

-计算直角三角形的边长：已知两直角边，求斜边长度；已知斜边和一锐角，求另一锐角和两直角边。

-计算直角三角形的面积：已知两直角边，求面积。

-解决实际问题：将实际问题转化为直角三角形问题，运用勾股定理进行求解。

5.勾股定理的推广：

-斜边为1的直角三角形的三边比例：3:4:5

-斜边为2的直角三角形的三边比例：5:12:13

-斜边为3的直角三角形的三边比例：7:24:25

6.勾股定理的应用拓展：

-解决实际问题中的几何问题，如计算梯形的高、计算房间的对角线长度等。

-利用勾股定理逆定理解决非直角三角形问题，如判断一个三角形是否为直角三角形。

7.勾股定理与三角函数的关系：

-在直角三角形中，正弦、余弦和正切函数的定义与勾股定理有关。

-利用三角函数可以求解直角三角形中的角度和边长。

8.勾股定理在工程和建筑中的应用：

-在建筑设计中，利用勾股定理计算建筑物的尺寸和角度。

-在工程测量中，利用勾股定理计算距离和高度。

9.勾股定理与数学思想方法的关系：

-勾股定理体现了数学中的几何思想，即通过几何图形的性质来解决数学问题。

-勾股定理的应用体现了数学中的模型思想，即将实际问题转化为数学模型进行求解。

10.勾股定理的数学意义：

-勾股定理是数学中重要的定理之一，它揭示了直角三角形边长之间的关系。

-勾股定理在数学发展中具有重要的地位，为后续的数学研究奠定了基础。七、反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学法：在讲解勾股定理的应用时，我尝试引入实际生活中的案例，如建筑设计、工程测量等，让学生在实际情境中理解勾股定理的应用，这样不仅提高了学生的学习兴趣，也增强了他们的实践能力。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体课件和几何画板软件，将抽象的数学概念和计算过程形象化，帮助学生更好地理解和掌握勾股定理。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对勾股定理的理解不够深入：部分学生在应用勾股定理解决实际问题时，往往只是机械地套用公式，缺乏对定理本质的理解。

2.学生空间想象力不足：在解决空间几何问题时，学生的空间想象力成为限制因素，需要进一步加强培养。

3.教学评价方式单一：目前的评价方式主要依赖于学生的作业和考试成绩，缺乏对学生实际应用能力的全面评价。

反思改进措施（三）改进措施

1.深化理论教学，结合实例讲解：在讲解勾股定理时，我将更多地结合实例，让学生在具体问题中理解定理的应用，并通过讨论和练习，加深对定理的理解。

2.强化空间想象力的培养：通过几何模型的制作和观察，以及几何画板软件的辅助，提高学生的空间想象力，使他们能够更好地理解和解决空间几何问题。

3.丰富教学评价方式：除了传统的作业和考试成绩，我还将引入课堂表现、小组合作、实际操作等多元化的评价方式，全面评估学生的学习成果和能力。同时，鼓励学生参与课堂讨论，提高他们的表达能力和批判性思维能力。八、课后作业1.作业题目：一个直角三角形的两条直角边分别是6厘米和8厘米，求斜边的长度。

答案：斜边长度为10厘米。计算过程：根据勾股定理，斜边长度c=√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10厘米。

2.作业题目：一个梯子的底边长2米，高1.5米，如果梯子靠在墙上，求梯子与地面的夹角。

答案：梯子与地面的夹角约为56.31度。计算过程：设夹角为θ，则sinθ=高/梯子长度=1.5/2，θ=arcsin(1.5/2)≈56.31度。

3.作业题目：一个房间的长是5米，宽是3米，求这个房间的对角线长度。

答案：对角线长度为√(5²+3²)=√(25+9)=√34米。

4.作业题目：一个直角三角形的斜边长为10厘米，一条直角边长为6厘米，求另一条直角边长。

答案：另一条直角边长为8厘米。计算过程：设另一条直角边长为a，则a²=10²-6²=100-36=64，a=√64=8厘米。

5.作业题目：一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，求这个三角形的面积。

答案：三角形的面积为6平方厘米。计算过程：三角形的面积=(3*4)/2=6平方厘米。

6.作业题目：一个梯子的上底长为2米，下底长为4米，高为3米，求梯形的面积。

答案：梯形的面积为6平方米。计算过程：梯形的面积=(上底+下底)*高/2=(2+4)*3/2=6平方米。

7.作业题目：一个长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2厘米，求长方体的对角线长度。

答案：长方体的对角线长度为√(4²+3²+2²)=√(16+9+4)=√29厘米。

8.作业题目：一个直角三角形的两条直角边分别是5厘米和12厘米，求这个三角形的周长。

答案：三角形的周长为29厘米。计算过程：斜边长度c=√(5²+12²)=√(25+144)=√169=13厘米，周长=5+12+13=30厘米。内容逻辑关系①本文重点知识点：

①勾股定理的定义：a²+b²=c²

②勾股定理的逆定理：若a²+b²=c²，则三角形ABC是直角三角形，∠C为直角。

③勾股定理的应用：计算直角三角形的边长、面积和角度。

②关键词：

①直角三角形

②斜边

③直角边

④平方和

⑤三角形

③重点句子：

①“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”

②“若三角形的三边满足a²+b²=c²，则这个三角形是直角三角形。”

③“利用勾股定理，我们可以计算出直角三角形的边长、面积和角度。”

④逻辑关系：

①勾股定理是直角三角形的重要性质，它是解决直角三角形问题的基础。

②勾股定理的逆定理可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。

③勾股定理的应用范围广泛，包括计算边长、面积和角度等。教学评价与反馈1.课堂表现：学生在课堂上的积极参与和互动表现良好。大部分学生能够积极举手回答问题，对于勾股定理的应用问题能够迅速给出正确的解答。在讨论和解答问题时，学生们能够清晰地表达自己的想法，并能相互倾听和尊重。

2.小组讨论成果展示：在小组讨论环节，学生们能够有效地合作，共同解决复杂的问题。他们能够将实际问题转化为数学模型，并运用勾股定理进行计算。在展示讨论成果时，学生们能够清晰地阐述解题思路，并能够接受其他小组的反馈和建议。

3.随堂测试：通过随堂测试，能够评估学生对勾股定理及其应用的理解程度。测试题目包括计算直角三角形的边长、面积和角度，以及解决实际问题的能力。大部分学生能够正确回答测试题目，显示出他们对勾股定理的应用已经掌握了。

4.个性化辅导：对于在课堂上表现不够积极或者对勾股定理的理解存在困难的学生，我提供了个性化的辅导。通过一对一的指导和额外的练习，帮助他们巩固对勾股定理的理解，并提高他们的应用能力。

5.教师评价与反馈：针对学生的表现，我给出了以下评价和反馈：

-对积极参与课堂讨论和解决问题的学生给予肯定和表扬，鼓励他们继续保持。

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