直线与直线垂直课件-高一下学期数学人教A版

8.6空间直线、平面的垂直直线与直线垂直「学习目标」1.通过求两条异面直线所成的角,培养逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养.2.通过证明直线与直线垂直,发展逻辑推理和直观想象的核心素养.知识梳理自主探究1.空间两条直线的位置关系有三种:平行直线、

和

.2.两直线所成的角(或夹角)平面内两条直线相交形成4个角,其中

的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条直线相对于另一条直线

.「知识探究」相交直线异面直线不大于90°倾斜的程度3.异面直线所成的角(或夹角)(1)已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线

所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)如果两条异面直线所成的角是

,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作

.(3)当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是

.a′与b′直角a⊥b0°≤α≤90°师生互动合作探究探究点一异面直线所成的角[例1]如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角的大小.方法总结求异面直线所成的角的步骤:(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.[针对训练]如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(

)√探究点二线线垂直的证明[例2]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面ABCD的中心,求证:OD1⊥A1C1.证明:法一如图,连接AC,BD,交于点O,连接AD1,CD1.因为几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体,O是底面ABCD的中心,所以A1C1∥AC,AD1=CD1,AO=OC.所以A1C1与OD1所成的角即为AC与OD1所成的角.在△AD1C中,因为AD1=CD1,AO=OC,所以OD1⊥AC.所以OD1⊥A1C1.法二如图,连接AC,BD,交于点O,连接AD1.方法总结证明两直线垂直的实质是求两直线所成的角为90°,其主要方法一是根据异面直线所成的角的定义,作出异面直线所成的角,结合解三角形的知识或利用勾股定理的逆定理求解.二是利用一条直线与两条平行线中的一条垂直,则该直线也与另一条垂直.(即若a∥b,a⊥c,则b⊥c)[针对训练](1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证:DB1⊥EF.证明:(1)法一如图所示,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,则OG∥B1D,EF∥A1C1,所以∠GOA1(或其补角)为异面直线DB1与EF所成的角.由题意得GA1=GC1,O为A1C1的中点,所以GO⊥A1C1.所以DB1⊥EF.(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BD,B1C的中点,求证:BC⊥EF.「当堂检测」1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BD与A1C1的位置关系是(

)A.平行B.相交C.异面但不垂直D.异面且垂直解析:因为正方体的对面平行,所以直线BD与A1C1异面,连接AC(图略),则AC∥A1C1,又AC⊥BD,所以直线BD与A1C1垂直.故选D.√2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,B1D1的中点,则直线EF与直线AA1所成角的正切值为(

)√3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与直线AA1垂直的棱有(

)A.2条 B.4条 C.6条 D.8条解析:在正方体AC1中,与AA1垂直的棱为A1B1,B1C1,C1