天津市第四十二中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（原卷版+解析版）

高二数学下学期第一次月考（3.17）一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分、在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列求导运算正确是（）A. B. C. D.2.若函数在区间上的平均变化率为4，则m等于（）A. B.3 C.5 D.163.如图所示，从甲地到乙地有条公路可走，从乙地到丙地有条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有条水路可走．则从甲地经过乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为（）A.， B.， C.， D.，4.函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.5.已知函数，且，函数在上的最大值为20，则c的值为（）A.1 B.4 C. D.06.已知函数，则的大致图象为A. B.C. D.7.若，则实数x的值为（）A.2 B.4 C.6 D.2或68.已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（）A. B. C. D.9.已知，设函数，若在上恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.10.计算：______．11.函数的单调增区间是______.12.已知函数在处取得极值，且极值为0，则______．13.五名同学元旦期间去华侨城湿地公园参观，结束后在门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同排法共有______种.14.函数在内只有极大值，则______.15.若函数有2个零点，则实数a的取值范围是________．三、解答题：本题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、16.设函数，曲线在点处切线方程为.（1）求的值：（2）求函数的极值.17甲、乙、丙、丁四名同学报名参加、、三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目．（1）共有多少种不同的报名方法？（2）甲必须报项目，乙必须报项目，那么有多少种不同的报名方法？（3）甲、乙报同一项目，丙不报项目，那么有多少种不同的报名方法？（4）每个项目都有人报名，那么有多少种不同的报名方法？（5）甲不报项目，且、项目报名人数相同，那么有多少种不同的报名方法？18.已知函数．（1）求在点处的切线方程；（2）求证：；（3）若函数无零点，求实数a的取值范围．

高二数学下学期第一次月考（3.17）一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分、在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项求解，即可得到答案.【详解】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，可得：A中，，所以不正确；B中，，所以不正确；C中，，所以是正确的；D中，，所以不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记基本初等函数的导数公式和导数的运算法则是解答的关键，意在考查运算与求解能力.2.若函数在区间上的平均变化率为4，则m等于（）A. B.3 C.5 D.16【答案】B【解析】【分析】根据平均变化率为计算，即可得出结果.【详解】因为，所以故选：B.【点睛】本题考查了导数的基本概念，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.3.如图所示，从甲地到乙地有条公路可走，从乙地到丙地有条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有条水路可走．则从甲地经过乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为（）A.， B.， C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】根据分步乘法计数原理，可知从甲地经过乙地到丙地的走法种数为,又从甲地不经过乙地到丙地有条水路可走，由分类加法计数原理，可得从甲地到丙地的走法种数为．故选：A．4.函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象，得出函数的单调性.根据导数与函数单调性的关系，即可得出答案.【详解】由图象可得在单调递减，在单调递增，可得，，.故选：D.5.已知函数，且，函数在上的最大值为20，则c的值为（）A.1 B.4 C. D.0【答案】B【解析】【分析】对函数求导，由，可求出，从而可得到，进而得出在上的单调性，令最大值等于20，可求出.【详解】由题意，，则，解得，所以，故在上单调递增，则，解得.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性、最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题.6.已知函数，则的大致图象为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】可以排除法，利用奇偶性可排除选项；利用，可排除选项，从而可得结果.【详解】因为，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项；又因为，可排除选项.故选A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象7.若，则实数x的值为（）A2 B.4 C.6 D.2或6【答案】D【解析】【分析】根据组合数的定义及组合数的性质即可求解.【详解】由，得或，解得或，所以实数x的值为2或6.故选：D.8.已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构建，根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式.【详解】构建，则，因为，则，即，可知在上单调递减，且，由可得，即，解得，所以不等式的解集是.故选：A．【点睛】关键点点睛：根据构建，进而利用导数判断函数单调性，结合单调性解不等式.9.已知，设函数，若在上恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意同构可得，构建，结合单调性可得，参变分析可得，构建，利用导数求最值结合恒成立问题分析求解.【详解】由题意可知：，整理可得，设，则，可知在内单调递增，由题意可知：，则对任意内恒成立，可得对任意内恒成立，设函数，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，所以的最小值为，可得，所以的取值范围为.故选：D.【点睛】关键点点睛：根据题意同构可得，构建，结合单调性可得.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.10.计算：______．【答案】16【解析】【分析】根据排列数和组合数的公式计算即可.【详解】故答案为：16.11.函数的单调增区间是______.【答案】，【解析】【分析】根据函数导数求解函数的单调增区间；【详解】函数的定义域为因为，令，则，所以的单调增区间为，.故答案为：，.12.已知函数在处取得极值，且极值为0，则______．【答案】【解析】【分析】根据题意求得或，代入，利用导数求得函数的单调性，结合极值点的概念，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，函数在处取得极值，且极值为0，可得，解得或，当时，，当且仅当时取等号，所以在上单调递增，无极值，不符合题意；当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；故在处取得极值，符合题意．综上所述，，所以．故答案为：.13.五名同学元旦期间去华侨城湿地公园参观，结束后在门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有______种.【答案】24【解析】【分析】甲和乙相邻利用捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的一人共“2人”排列，再插空排丙和丁.【详解】甲和乙相邻，捆绑在一起有种，再与丙和丁外的1人排列有种，再排丙和丁有种，故共有种排法.故答案为：24.14.函数在内只有极大值，则______.【答案】【解析】【分析】利用导数分析，结合二次函数的性质等价转化，解得参数的取值范围.【详解】求导,,函数在内只有极大值,当，结合二次函数的图象可知在内有且只有一个零点，记作,在上,单调递增，上,单调递减，在处取得极大值，在内只有极大值，符合题意.解得，所以,当，即时，求导，结合二次函数的图象可知在内要么没有零点，要么有两个不同的零点，可知函数或者没有极值点，或者既有极大值，又有极小值，与已知不符；当，解得时，，在上,单调递增，在上,单调递减，在处取得极大值，在内只有极大值，符合题意.综上所述，函数在内只有极大值，则.故答案为：15.若函数有2个零点，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】通过同构简化函数形式，然后再转化成两个函数，画图确定参数范围.【详解】，令，，显然函数单调递增，所以函数有2个零点，等价于有两个根，即有两个根，设过原点且与曲线相切的直线方程为，切点为，因为，所以，解得，，得切线方程为，如下图，作出函数的图像及其过原点的切线，可知当，即时有两个交点，即有两个根．所以实数a的取值范围为故答案为：.三、解答题：本题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、16.设函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值：（2）求函数的极值.【答案】（1）（2）极大值，极小值为.【解析】【分析】（1）利用切点既在曲线上又在切线上及导数的几何意义即可求解；（2）根据（1）的结论，求出函数，利用导数法求函数的极值的步骤即可求解.【小问1详解】因为，所以，，切线过点，,由导数的几何意义可知，斜率,.小问2详解】由（1）知，，可得，，令，则，解得或，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，从而可知是函数的极大值点，极大值为，是函数的极小值点，极小值为.所以函数的极大值为，极小值为.17.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加、、三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目．（1）共有多少种不同的报名方法？（2）甲必须报项目，乙必须报项目，那么有多少种不同的报名方法？（3）甲、乙报同一项目，丙不报项目，那么有多少种不同的报名方法？（4）每个项目都有人报名，那么有多少种不同的报名方法？（5）甲不报项目，且、项目报名的人数相同，那么有多少种不同的报名方法？【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【解析】【分析】（1）每个同学都有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果；（2）分析可知，丙、丁各有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果；（3）由题意可知，甲、乙报名的方法种数为，丙有种选择，丁有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果；（4）将甲、乙、丙、丁四名同学分为三组，然后再将这三组同学分配给、、三个项目，结合分步乘法计数原理可得结果；（5）对项目的报名人数进行分类讨论：①项目没人报；②项目只有一人报.计算出两种情况下报名方法种数，再结合分类加法计数原理可得结果.【小问1详解】解：每个同学都有种选择，则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为.【小问2详解】解：甲必须报项目，乙必须报项目，则丙、丁各有种选择，所以，不同的报名方法种数为.【小问3详解】解：甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为，丙不报项目，则丙有种选择，所以，丁有种选择，由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为.【小问4详解】解：将甲、乙、丙、丁四名同学分为三组，每组人数分别为、、，然后再将这三组同学分配给、、三个智力竞赛项目，所以，不同的报名方法种数为.【小问5详解】解：分两种情况讨论：①项目没人报，且、项目的报名人数均为，此时不同的报名方法种数为种；②项目有人报，且甲不报项目，、项目报名的人数相同，则、项目报名的人数均为，则甲报项目或项目，则报名项目的有人，剩余个项目只有一人报名，由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为.综上所述，不同的报名方法种数为.18.已知函数．（1）求在点处的切线方程；（2）求证：；（3）若函数无零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义及函数值的定义，结合直线的点斜式方程即可求解；（2）利用导数法求函数最大值的步骤即可求解；（3）根