人教版七年级数学下册第2课时用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组教学设计

第2课时用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组教学目标课题第2课时用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组授课人素养目标会用加减消元法求稍复杂的二元一次方程组的解，进一步体会“消元”思想.2.能运用合适的方法解二元一次方程组，体验先观察，再选择合适的方法是做数学题的重要技巧.教学重点用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组．教学难点方程组中未知数的系数既不相等，也不互为相反数时，如何运用等式的性质对方程进行适当变形，从而实现加减消元的灵活运用.教学活动教学步骤师生活动活动一：悬疑设置，新课导入【设计意图】引出稍复杂的二元一次方程组的形式，为新课中学习用加减法求解进行铺垫.【问题引入】(1)观察方程：①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋6y＝0，,2x－6y＝9；))②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝7，,3x－4y＝－11；))③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋7y＝10，,4x－5y＝6.))①②和③有什么不同？①②的两个方程中都有一个未知数的系数相等或互为相反数，③的两个方程中未知数的系数不具备这种特征．(2)如何用加减法解方程组①②？试着做一做．解方程组①，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－\f(1,2).))解方程组②，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))像③这样的方程组也可以用加减法求解吗？这就是我们这节课将要学习的内容．【教学建议】与学习用代入法求解稍复杂的二元一次方程组时类似，以设问的方法导入新课，教师提问，学生代表进行回答，重点在于引导学生观察方程组中未知数的系数特征．活动二：交流合作，探究新知【设计意图】通过例题逐步设问，引导学生利用加减法解稍复杂的二元一次方程组．探究点1用加减法解稍复杂的二元一次方程组例1(教材P96例6)用加减法解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(3x－2y＝4，,①,7x＋4y＝18.,②)))问题1观察方程组两个方程中未知数的系数，这个方程组能否直接加减消元？这两个方程中没有同一个未知数的系数相等或互为相反数，直接加减这两个方程不能消元．问题2怎样对方程①②变形，才能使得这两个方程中某个未知数的系数相等或互为相反数，从而用加减法求解呢？观察这两个方程中未知数y的系数之间的关系，将①×2可以使两个方程中y的系数互为相反数．问题3根据你在问题2中的结论，写出解答过程．解：①×2，得6x－4y＝8.③(1)变形②＋③，得13x＝26，(2)加减x＝2.(3)求解把x＝2代入①，得3×2－2y＝4，y＝1.(4)回代所以这个方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，y＝1.))(5)写解问题4如果用加减法消去x，应该怎样解？解得的结果一样吗？与消去y相比，哪个计算更简便？如果用加减法消去x，需要对两个方程都进行变形，使两个方程中x的系数相等，可以①×7，②×3.解：①×7，得21x－14y＝28.③②×3，得21x＋12y＝54.④(1)变形④－③，得26y＝26，(2)加减y＝1.(3)求解把y＝1代入①，得3x－2×1＝4，x＝2.(4)回代所以这个方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，y＝1.))(5)写解解得的结果一样．用加减法消去y比用加减法消去x计算更简便.归纳总结：解方程组时，先消去哪个未知数都可以，结果是确定的，不会因为先消去哪个未知数而产生变化．一般地，先消去哪个未知数简便就先消去哪个.【对应训练】教材P98练习第1题.【教学建议】这部分采用上节课的教学模式，将例题分解成多个小问，学生分组讨论，合作完成解答，感悟探究过程中所蕴含的化归思想，教师适时予以提示或指导，要使学生理解加减消元的本质是利用等式的性质，将未知数的系数化为相等或互为相反数，从而将方程组演变为上节课所学的形式．通过整个探究过程，使学生发现规律：消去哪个未知数，就找寻两个方程中该未知数系数的最小公倍数．【设计意图】通过运用加减法解决实际问题，强化解方程组的技巧和应用意识.探究点2加减法解二元一次方程组的实际应用例2(教材P97例7)我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？你能解答这个问题吗？问题1写出题中所包含的相等关系．相等关系1：5头牛的价格＋2只羊的价格＝10两金；相等关系2：2头牛的价格＋5只羊的价格＝8两金．问题2设每头牛值金x两，每只羊值金y两，请用含x，y的式子表示你在问题1中得到的相等关系．5x＋2y＝10，2x＋5y＝8.问题3请根据你在问题2中的设元，及本节课学过的用加减法解稍复杂的二元一次方程组，完成本题的解答．解：根据问题2中的设元，列得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋2y＝10，①,2x＋5y＝8.②))①×2，得10x＋4y＝20.③②×5，得10x＋25y＝40.④④－③，得21y＝20，y＝eq\f(20,21).把y＝eq\f(20,21)代入①，得x＝eq\f(34,21).所以这个方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(34,21)，,y＝\f(20,21).))答：每头牛和每只羊分别值金eq\f(34,21)两和eq\f(20,21)两．【对应训练】教材P98练习第2题．【教学建议】教师引导学生分析题中的两个相等关系，从而列出方程组，并独立完成解答过程．注意提醒学生，在用加减消元法解方程组时，通常要先将得到的二元一次方程组整理成eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝m，,cx＋dy＝n))的形式，再求解．在关于例题的教学中，也可让学生上台板演，自己尝试用加减法消去y，并计算出结果，看是否一致．活动三：交流新知，灵活运用【设计意图】强化学生对二元一次方程组解法的认识，能够选择合适的方法解方程组.(教材P98思考)(1)怎样解下面的方程组？问题1观察上面的两个方程组，你分别选择用什么方法求解？为什么？方程组Ⅰ中方程①中y的系数是1，选择用代入法；方程组Ⅱ中y的系数互为相反数，选择用加减法．问题2方程组Ⅰ能直接用加减法求解吗？若不能，要如何变形才能使用加减法？不能．如果要消去x，可以②×5－①×2；如果要消去y，可以①×3－②×5.问题3求出方程组的解．解：(Ⅰ)由①，得y＝1.5－2x.③把③代入②，得0.8x＋0.6(1.5－2x)＝1.3，－0.4x＝0.4，x＝－1.把x＝－1代入③，得y＝3.5.所以这个方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，y＝3.5.))(Ⅱ)①＋②，得4x＝8，x＝2.把x＝2代入①，得2＋2y＝3，y＝0.5.所以这个方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，y＝0.5.))(2)选择你认为简便的方法解习题10.1的第4题(“鸡兔同笼”问题)．解：设笼中有鸡x只，兔子y只．根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝35，2x＋4y＝94.))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①②))①×2，得2x＋2y＝70.③②－③，得2y＝24，y＝12.把y＝12代入①，得x＋12＝35，x＝23.所以这个方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝23，y＝12.))答：笼中有鸡23只，兔子12只．【对应训练】1．用合适的方法解下列方程组：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝2，6x－3y＝5；))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①②))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－5y＝－21，4x＋3y＝23.))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①②))解：(1)由①，得y＝3x－2.③把③代入②，得6x－3(3x－2)＝5，x＝eq\f(1,3).把x＝eq\f(1,3)代入③，得y＝－1.所以这个方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，y＝－1.))(2)①×2，得4x－10y＝－42.③②－③，得13y＝65，y＝5.把y＝5代入②，得4x＋15＝23，x＝2.所以这个方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，y＝5.))2．某商场第一次用10000元购进甲、乙两种商品共180件，其中甲种商品每件进价60元，乙种商品每件进价50元．该商场购进甲、乙两种商品各多少件？解：设该商场购进甲种商品x件，乙种商品y件．根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝180，60x＋50y＝10000.))解这个方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100，y＝80.))答：该商场购进甲种商品100件，乙种商品80件．【教学建议】学生独立思考作答，教师统一答案．加减法和代入法都是通过消元解方程组，对一个方程组用哪种方法解都可以，但是不同的解法在难度上会有差异，应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法．当方程组中任意一个未知数的系数的绝对值不是1，且相同未知数的系数不成整数倍关系时，一般经过变形，利用加减法会使过程更简便．活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子(或“随堂作业”册子)相应课时【随堂训练】．【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1．你能用加减法解稍复杂的二元一次方程组吗？你能用加减法解决与二元一次方程组有关的实际问题吗？2．对于一个二元一次方程组，你能选择最适合它的解法吗？【知识结构】【作业布置】1．教材P99习题10.2第3(3)(4)，6，7，10，12题．2．《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计第2课时用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组1．用加减法解同一未知数的系数都不相等或都不互为相反数的二元一次方程组．2．一般步骤：(1)变形；(2)加减；(3)求解；(4)回代；(5)写解．3．加减法解二元一次方程组的实际应用．4．选择合适的方法解二元一次方程组．教学反思本节课是上节课的扩充和延续，通过类比用加减法解简单的二元一次方程组来解决稍复杂的二元一次方程组问题．课堂中采用引导式的教学方法，通过具体实例让学生主动思考、尝试，从而更深刻地领悟加减法，进一步体会消元思想在解决数学问题中的应用．在本节课最后，要对代入法和加减法解二元一次方程组进行总结，让学生在练习中学会利用合适的方法解决问题.解题大招一用加减法解稍复杂的二元一次方程组(1)当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，可适当变形后消去这个未知数．这种情况一般只需对其中一个二元一次方程的系数乘相应倍数即可，不需要对两个二元一次方程都进行变形．例1解方程组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝12，①8x－3y＝2.②))解：①×4，得8x＋20y＝48.③③－②，得23y＝46，y＝2.把y＝2代入①，得x＝1.所以这个方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，y＝2.))(2)当二元一次方程组中没有系数成倍数关系的相同未知数时，观察同一未知数系数的绝对值，看哪一组的最小公倍数更小．比如下面这个例题，未知数x的系数的绝对值为2，3，其最小公倍数是6，而y的系数的绝对值为2，5，其最小公倍数是10，所以选择x作为“消元”目标更简便些．例2解方程组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(3x－2y＝5，,①2x＋5y＝16.,②)))解：①×2，得6x－4y＝10.③②×3，得6x＋15y＝48.④④－③，得19y＝38，y＝2.

把y＝2代入①，得3x－4＝5，x＝3.所以这个方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，y＝2.))(3)对于未知数系数“互换”的情形，可直接采用两方程相加减来简化系数．例3解方程组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(23x＋37y＝97，,①37x＋23y＝83.,②)))解：①＋②，得60x＋60y＝180.即60(x＋y)＝180，x＋y＝3.③②－①，得14x－14y＝－14，即14(x－y)＝－14，x－y＝－1.④③＋④，得2x＝2，x＝1.把x＝1代入③，得1＋y＝3，y＝2.所以这个方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，y＝2.))解题大招二二元一次方程组的同解问题若两个含有字母系数的方程组同解，则可以将不含所求字母的两个方程联立，组成新的方程组，求出新方程组的解，再将解代入另外两个含有字母系数的方程组成的方程组中，求出字母的值．例4已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝5，4ax＋5by＋22＝0))与eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax－by＝8，x＋3y＝－5))的解相同，求a，b的值．解：解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝5，x＋3y＝－5，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co