人教版七年级数学下册第2课时用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组教学设计

第2课时用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组教学目标课题第2课时用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组授课人素养目标会用代入消元法求稍复杂的二元一次方程组的解，进一步体会“消元”思想．教学重点用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组．教学难点方程组中未知数的系数都不为1(或－1)时，如何用一个未知数表示另一个未知数从而实现代入消元的灵活运用.教学活动教学步骤师生活动活动一：旧知回顾，新课导入【设计意图】通过回忆上节课所学，引出稍复杂的二元一次方程组的形式，为新课进行铺垫.【问题引入】(1)什么是二元一次方程组？方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组．(2)①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x，,2x－y＝9，))②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋5y＝8，,2x－y＝5，))③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋7y＝11，,3x－4y＝6))是二元一次方程组吗？①②和③有什么不同？都是二元一次方程组．①②的两个方程中有一个未知数的系数为1或－1，③的两个方程中未知数的系数都不为1或－1.(3)如何用代入法解方程组①②？试着做一做．解方程组①，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－9，,y＝－27.))解方程组②，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1.))像③这样的方程组也可以用代入法求解吗？这就是我们这节课将要学习的内容．【教学建议】教师提问，学生代表进行回答，重点在于引导学生观察方程组中未知数的系数特征．也可在进入正课之前给学生时间自行尝试仿照上节课的代入法解一解，有助于体会方程形式上的特点，并对于解题难度上的区别有一个初步认知．活动二：交流合作，探究新知【设计意图】通过例题逐步设问，引导学生利用代入法解稍复杂的二元一次方程组．探究点1用代入法解稍复杂的二元一次方程组例1(教材P93例3)用代入法解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－5y＝－11，①,9x＋7y＝39.②))问题1类比上节课所学，用代入法求解这种未知数的系数都不为1或－1的二元一次方程组时，第一步应做些什么？应对某个方程进行变形，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，并注意将被表示的未知数的系数化为1.问题2对于这个方程组，选择表示出哪个方程中的哪个未知数会使计算更简便？为什么？由于方程①中的x的系数的绝对值最小，所以在方程①中用含y的式子表示x会使计算更简便．问题3根据你在问题2中的结论，写出解答过程．解：由①，得x＝eq\f(5,2)y－eq\f(11,2).③(1)变形把③代入②，得9(eq\f(5,2)y－eq\f(11,2))＋7y＝39.(2)代入解这个方程，得y＝3.(3)求解把y＝3代入③，得x＝2.(4)回代所以这个方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，y＝3.))(5)写解问题4解这个方程组时，可以先消去y吗？试试看.可以.解：由①，得y＝eq\f(2,5)x＋eq\f(11,5).③把③代入②，得9x＋7(eq\f(2,5)x＋eq\f(11,5))＝39.解这个方程，得x＝2.把x＝2代入③，得y＝3.所以这个方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))【对应训练】教材P95练习第1题.【教学建议】这部分采用上节课的教学模式，将例题分解成多个小问，学生分组讨论，合作完成解答，感悟探究过程中所蕴含的化归思想，教师适时予以提示或指导．由于本节课涉及的方程组的系数较为复杂，学生在解答完毕后可将解代回进行检验．教师也可对学生提问不同的变形方式会不会改变方程的解，鼓励学生用不同的方式去解方程，并让学生从中自行感悟缘由．【设计意图】通过运用代入法解决实际问题，提高解方程组的能力和应用意识.探究点2代入法解二元一次方程组的实际应用例2(教材P94例4)快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元．如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？问题1写出题中所包含的相等关系．相等关系1：送120件的报酬＋揽45件的报酬＝270元；相等关系2：送90件的报酬＋揽25件的报酬＝185元．问题2设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元，请用含x，y的式子表示你在问题1中得到的相等关系．120x＋45y＝270，90x＋25y＝185.问题3请根据你在问题2中的设元，及本节课学过的用代入法解稍复杂的二元一次方程组，完成本题的解答．解：根据问题2中的设元，列得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(120x＋45y＝270，①,90x＋25y＝185.②))由①，得x＝eq\f(9,4)－eq\f(3,8)y.③把③代入②，得90(eq\f(9,4)－eq\f(3,8)y)＋25y＝185.解这个方程，得y＝2.把y＝2代入③，得x＝1.5.所以这个方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1.5，,y＝2.))答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元．【对应训练】教材P95练习第2题．【教学建议】教师引导学生分析题中的两个相等关系，从而列出方程组，并独立完成解答过程．教师可引导学生对用代入法解二元一次方程组的实际问题的一般步骤进行总结：①审题，找出题中的相等关系；②设元，设出两个未知数；③列式，根据两个相等关系列出二元一次方程组；④求解，解方程组；⑤检验：有些情况下要检验方程组的解是否符合实际意义；⑥作答：最后要写出实际问题的答案．活动三：变式训练，巩固提升【设计意图】考查构造稍复杂的二元一次方程组并进行计算，强化本节课所学内容．例3对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax＋by＋1，其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算．若3*5＝15，4*7＝28，求5*9的值．解：根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＋5b＋1＝15，,4a＋7b＋1＝28，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＋5b＝14，,4a＋7b＝27.))解这个方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－37，,b＝25.))所以5*9＝5×(－37)＋9×25＋1＝41.【对应训练】若|3a＋2b＋7|＋eq\r(（5a－3b＋1）2)＝0，求a，b的值.解：根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＋7＝0，,5a－3b＋1＝0，))解这个方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(23,19)，,b＝－\f(32,19).))所以a的值为－eq\f(23,19)，b的值为－eq\f(32,19).【教学建议】解决此类求值问题，通常是根据式子中隐含的相等关系构造二元一次方程组，然后解方程组得到未知数的值，再代入所要求的式子中求值．形式多样，包括但不限于例题中的新定义运算与对应训练中的利用非负性列方程组.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子(或“随堂作业”册子)相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.你能用代入法解稍复杂的二元一次方程组吗？如何变形方程能使计算更简便？举例说明.2.你能用代入法解决与二元一次方程组有关的实际问题吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P99习题10.2第1，2(3)(4)，11题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计第2课时用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组1.用代入法解未知数的系数都不为1(或－1)的二元一次方程组.2.基本思想：消元.3.一般步骤：(1)变形，(2)代入，(3)求解，(4)回代，(5)写解.4.代入法解二元一次方程组的实际应用．教学反思本节课是上节课的扩充和延续，通过类比用代入法解简单的二元一次方程组来解决稍复杂的二元一次方程组问题．课堂中采用引导式的教学方法，通过具体实例让学生主动思考、尝试，从而更深刻地领悟代入法，进一步体会消元思想在解决数学问题中的应用.解题大招一用代入法解稍复杂的二元一次方程组当方程组中未知数的系数都不是1或－1时，一般选择未知数系数的绝对值较小的方程进行变形，这样可使计算较为简便．例1用代入法解下列方程组：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋5y＝－7，①,2x＋3y＝－3；②))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(y－1,3)＝1，①,5x＋8y＝1.②))解：(1)由②，得x＝－eq\f(3,2)y－eq\f(3,2).③把③代入①，得4(－eq\f(3,2)y－eq\f(3,2))＋5y＝－7.解这个方程，得y＝1.把y＝1代入③，得x＝－3.所以这个方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝1.))(2)整理方程①，得3x－2y＝4.③由③，得x＝eq\f(2,3)y＋eq\f(4,3).④把④代入②，得5(eq\f(2,3)y＋eq\f(4,3))＋8y＝1.解这个方程，得y＝－eq\f(1,2).把y＝－eq\f(1,2)代入④，得x＝1.所以这个方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－\f(1,2).))解题大招二用代入法解决与二元一次方程组有关的实际问题未知数的系数都不是1或－1的二元一次方程组在实际问题中，往往以“总总问题”的形式出现，即两个相等关系式都可简化为某部分＋(或－)某部分＝总的某数量．需要注意在某些特殊情况下，需要检查方程组的解是否符合实际(如正整数解等)．例2有大、小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t.(1)一辆大货车和一辆小货车一次分别可以运货多少吨？(2)若有41t货物需要运输，计划安排大、小两种货车(两种都有)恰好一次性运完，每辆货车均满载，则共有几种运货方案？解：(1)设一辆大货车一次可以运货xt，一辆小货车一次可以运货yt.根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝15.5，,5x＋6y＝35.))解这个方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2.5.))答：一辆大货车一次可以运货4t，一辆小货车一次可以运货2.5t.(2)设安排m辆大货车，n辆小货车．根据题意，得4m＋2.5n＝41.变形，得m＝eq\f(82－5n,8).因为m，n都是正整数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝9，,n＝2.))所以共有两种运货方案：方案1：安排大货车4辆，小货车10辆；方案2：安排大货车9辆，小货车2辆．培优点用代入法解稍复杂二元一次方程组中的整体思想例阅读材料：小军在解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝3，①,4x＋11y＝5②))时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形为4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5.③把①代入③，得2×3＋y＝5.解这个方程，得y＝－1.把y＝－1代入①，得x＝4.所以这个方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－1.))请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝5，①,9x－4y＝19；②))(2)已知x，y满足方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x2－2xy＋12y2＝47，①,2x2＋xy＋8y2＝36②))，求x2＋4y2的值．分析：(1)将方程②变形为3x＋6x－4y＝19，即3x＋2(3x－2y)＝19.③把①代入③，求得x的值，再代入①求出y的值．(2)将方程