四川省广元市2024−2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页四川省广元市2024−2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．32．某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为（

）A． B．C． D．3．经过点且与直线垂直的直线的方程为（）A． B． C． D．4．将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷次，第5次和第8次某一面朝下的概率分别记为，，则，的大小关系为（

）A．，的大小由确定 B．C． D．5．已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含6．已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（

）A．1 B． C． D．27．某地区今年举行了校园足球联赛.赛季结束后的数据显示：甲学校足球代表队（下称甲队）每场比赛平均失球数是1.3，每场失球个数的标准差是1.2；乙学校足球代表队（下称乙队）每场比赛平均失球数是1.9，每场失球个数的标准差是0.5.下列说法中正确的是（

）A．平均来说乙队比甲队防守效果好B．甲队比乙队技术水平更稳定C．甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好D．甲队每场比赛必失球8．已知点集，分别表示曲线，，若，有四个公共点，则的取值范围（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则（）A． B．C． D．10．下列说法中，正确的是（

）A．直线的一个方向向量为B．，，三点共线C．直线（其中）必过定点D．经过点，倾斜角为的直线方程为11．在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为，记的轨迹为，则下列描述正确的是（

）A．当时，曲线是以原点为圆心，半径为1的圆B．当时，点所在曲线的焦点在轴上C．当时，过点的直线与曲线至少有一个公共点D．当时，直线与曲线有两个不同公共点，则三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量，，若与互相垂直，则实数的值为.13．已知直线与直线平行（其中为实数），则它们之间的距离为.14．已知三棱柱，点在内，，，分别为三边的一个三等分点，为面的一个法向量，且.若到面的距离为2，则.四、解答题（本大题共5小题）15．已知椭圆长轴长为8，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)以的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为，求的方程及其渐近线方程.16．已知直线，圆（点为圆心）.(1)若直线与圆相切，求实数的值；(2)当时，判断直线与圆是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为，并求的面积，如果不相交，请说明理由.17．甲、乙两人在沙滩边进行连续多轮走步比赛，甲、乙各有一个不透明的盒子，甲的盒子里面有2个红球1个白球，乙的盒子里面有2个红球3个白球，这些球只有颜色不同.每一轮比赛的规则是：甲、乙同时各自从自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到红球，甲向前走一步，否则原地不动；如果乙摸到白球，乙向前走一步，否则原地不动.各自摸球后都放回自己的盒子中.(1)经过多轮比赛后，试估计甲、乙走的步数谁多？说明理由？(2)以频率作为概率，试求2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率.18．如图，等腰梯形的高为2，，，是上靠近的三等分点，如图①所示，将沿折起到的位置，使得，如图②所示，点在棱上.(1)求证：直线平面；(2)若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值；(3)若平面与平面所成的锐二面角为，求的值.19．已知抛物线的焦点为，第一象限内的一点在抛物线上，且.(1)求抛物线的方程；(2)直线与抛物线的另一个交点为，求的面积（其中为坐标原点）；(3)斜率分别为、的两条直线都经过点，且与抛物线的另一个交点分别为、，若，求证：直线过定点.

参考答案1．【答案】B【解析】由双曲线的方程求出，然后由离心率公式求解.【详解】因为双曲线，所以，，则，所以.故选：B2．【答案】A【详解】由题意知，抽样比例为，则，所以抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为.故选：A3．【答案】C【详解】与直线垂直的直线的斜率为，又直线过点，所以直线方程为，整理得.故选：C4．【答案】D【详解】由题设及古典概率的性质，对于任意一次某一面朝下的概率均为，不朝下的概率均为，所以.故选：D5．【答案】C【详解】由，得，半径，由，得，半径，所以，所以，即，所以圆与圆的位置关系是相交.故选：C6．【答案】D【详解】因为，，，且，，共面，所以，又，得到，解得，故选：D.7．【答案】C【详解】对于A项，平均来说甲队比乙队防守效果好，故A项错误；对于B项，乙队比甲队技术水平更稳定，故B项错误；对于C项，甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好，故C项正确；对于D项，甲队每场比赛不一定失球，故D项错误；故选：C.8．【答案】B【详解】对，若，则，即，若，则，即，则由两条射线：及组成；，即，①当时，，此时曲线，只有交点，不符；②当时，有，令，可得，当时，与必有交点、，当时，与必有交点、，当时，与只有交点；③令，若，此时该方程无解，不符；若，则，此时与只有一个交点；若，则，则与必有交点、，当时，两交点坐标为、，则此时，有三个公共点，不符；则当时，，有交点、、、，符合要求；故，有四个公共点时，的取值范围为.故选：B.9．【答案】ACD【详解】设为三次投篮命中次，则，可得，所以，，，，故ACD正确，B错误.故选：ACD.10．【答案】ABC【详解】对于选项A：因为直线的斜率不存在，所以直线的一个方向向量为，故A正确；对于选项B：因为，即，所以，，三点共线，故B正确；对于选项C：直线即为，令，解得，所以直线（其中）必过定点，故C正确；对于选项D：例如，可知不存在，故D错误；故选：ABC.11．【答案】BD【详解】设且，则，则且，当，则曲线为且，即以原点为圆心，半径为1的圆（去掉点），A错；当，则曲线，若，直线轴时，直线与曲线没有公共点，C错；当，曲线为焦点在y轴上的双曲线，联立，整理得，显然不可能有两个交点，若时，显然恒成立，所以直线与曲线有两个不同公共点，B、D对.故选：BD12．【答案】2【详解】由向量，得，，由与互相垂直，得，所以.故答案为：2.13．【答案】3【详解】因为直线与直线平行，则，解得，可知两直线分别为，，符合题意，所以两直线的距离为.故答案为：3.14．【答案】【详解】过点作平面于点，则，由三棱柱性质可得平面平面，故，则，由、、平面，故又，，，则.故答案为：.15．【答案】(1)(2)双曲线的方程为，渐近线方程为【详解】（1）由题意可知：，可得，则，所以椭圆的方程为.（2）由（1）可知：的顶点为，短轴长为，设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，由题意可知：，且焦点在x轴上，则，所以双曲线的方程为，渐近线方程为.16．【答案】(1)或；(2)直线与圆相交于不同的两点，【详解】（1）由可得，即、半径，由可得，由直线与圆相切，则有，化简得，即或；（2）当时，，此时点到直线的距离为，故直线与圆相交，即直线与圆相交于不同的两点，由，则，则.17．【答案】(1)甲，理由见解析(2)【详解】（1）因为甲的盒子里面有2个红球1个白球，甲摸到红球，甲向前走一步，所以每一轮甲前进的概率为；因为乙的盒子里面有2个红球3个白球，乙摸到白球，乙向前走一步，所以每一轮乙前进的概率为；因为，即每一轮甲前进的概率都大于每一轮乙前进的概率，所以经过多轮比赛后，估计甲走的步数多.（2）若频率作为概率，2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多有三种情况：乙走两步甲走一步，概率为；乙走两步甲走零步，概率为；乙走一步甲走零步，概率为；综上，2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率为18．【答案】(1)证明见详解；(2)；(3).【详解】（1）在图①中，过作，垂足为，则，可知点与点重合，即，在图②中，可得，又因为，，平面，所以直线平面.（2）由（1）可知：直线平面，，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，若是的中点，则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）由（2）可知：，因为点在棱上，设，则，设平面的法向量，则，令，则，可得，由题意可得：，整理可得，解得或（舍去），所以.19．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【详解】（