山西省晋中市山西现代双语学校南校2024-2025学年高二下学期开学检测 数学试题（含解析）

高二年级学业水平检测数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由抛物线标准方程类型可直接得出焦点坐标.【详解】根据抛物线标准方程为可得其焦点坐标为.故选：B2.渐近线方程为的双曲线的离心率是A. B.1C. D.2【答案】C【解析】【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得，所以c则该双曲线的离心率为e，故选C．【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若直线：的倾斜角为，则实数值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直线方程可得斜率，利用斜率与倾斜角的关系，可得答案.【详解】由直线，则该直线的斜率，由题意可得，解得.故选：C.4.椭圆与，且的（）A.长轴长相等 B.短轴长相等C.焦距相等 D.离心率相等【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，结合选项计算即可求解.【详解】对应椭圆，，所以，所以该椭圆的长轴为6，短轴为4，焦距为，离心率为；对于且），则，该方程表示的是焦点在轴上的椭圆，，所以，长轴为，短轴为，所以该椭圆的焦距为，离心率为，所以两个圆锥曲线的的焦距为，故C正确.故选：C5.在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（）A.10 B.100 C.110 D.120【答案】B【解析】【分析】利用结论：在等差数列中，其前n项和为，则数列也为等差数列，再求出的通项，代入即可.【详解】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为，则，则，又因为，所以，所以，所以.故选：B.6.已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的值，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标.【详解】设点、，线段的中点为，则，由题意，椭圆的离心率为，可得，因为、关于直线对称，且直线的斜率为，则，将点、的坐标代入椭圆方程可得，上述两个等式作差可得，可得，即，即，即，①又因为点在直线上，则，②联立①②可得，故线段的中点为.故选：C.7.过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题可知A（－1，0），所以直线L的方程为y=x+1，两条渐近线方程为y=－bx或y=bx，联立y=x+1和y=－bx得B的横坐标为，同理得C的横坐标为，∵|AB|=|BC|，∴B为AC中点，有，即有－，解得b=3或0（舍去0）所以e=，故选A．点评：中档题，结合图形特征，分析得到坐标关系，从而建立了b的方程，使问题得解．8.已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案.【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得，则①，即，由余弦定理得，，故，②联立①②，解得：，而，所以，即，故选：B【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线l：和圆O：，则（）A.直线l恒过定点B.存在k使得直线l与直线：垂直C.直线l与圆O相交D.直线l被圆O截得的最短弦长为【答案】BC【解析】【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.【详解】对A，由可得，，令，即，此时，所以直线l恒过定点，A错误；对B，因为直线：的斜率为，所以直线l的斜率为，即，此时直线l与直线垂直，满足题意，B正确；对C，因为定点到圆心的距离为，所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，C正确；对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为，此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误；故选：BC.10.设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（）A.数列是递增数列 B.C. D.中最大的是【答案】BD【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，，再利用等差数列的通项公式求得的范围可判断AC；进而得可判断B；利用可判断D，从而得解.【详解】对于AC：因为，且，所以，，又因为，所以，解得；所以等差数列是递减数列，故AC错误；对于B：因为，所以，故C正确；对于D：因为等差数列是递减数列，且，，则，，所以，，故D正确.故选：BD.11.已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（）A.若直线的斜率为，则B.的最小值为C.若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为D.若点，则的周长最小值为【答案】BCD【解析】【分析】求出抛物线的方程，得焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立方程组应用韦达定理求弦长判断A，再根据韦达定理得出焦点弦的性质，然后利用基本不等式求解后判断B，作出大致图象，过点作准线的垂线，结合抛物线的定义判断C，过作准线的垂线（是垂足），写出三角形的周长，结合抛物线的定义转化后得出不等关系，从而可得最小值判断D．【详解】抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，则第一象限内的交点的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为1，即，所以，，即抛物线方程为，焦点为，对选项A，设直线方程为，由得，设，则，，，直线的斜率为时，，所以，A错误；对选项B，由抛物线定义得，所以，当且仅当，即时等号成立，因此的最小值为，B正确；对选项C，如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点，过作轴垂线，垂足为，则，是梯形的中位线，由抛物线定义可得，所以，所以以为直径的圆与轴相切，因此为切点，所以点纵坐标为1，又是中点，所以点纵坐标为2，而是抛物线上的点，因此其横坐标为1，C正确；对选项D，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，所以的周长为，当且仅当点的坐标为时取等号（即与准线垂直），D正确．故选：BCD．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列是等比数列，满足，数列是等差数列，且，则等于__________.【答案】8【解析】【分析】先应用等比数列性质得出，再应用等差数列性质求解即可.【详解】数列是等比数列，满足，则，且不是0，所以，数列是等差数列，且，则.故答案为：8.13.若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为____________.【答案】50【解析】【分析】利用等差数列片段和性质有为等差数列，应用等差中项的性质求即可.【详解】由等差数列片段和性质知：为等差数列，所以，则，所以.故答案为：14.已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形为矩形，故，求出，再根据，利用勾股定理得到，得到，再根据上存在关于坐标原点对称的两点，使得，得到，得到，得到离心率.【详解】连接，由题意得，，又，所以四边形为矩形，故，所以，故，又，由勾股定理得，即，，故，即，故，解得，又上存在关于坐标原点对称的两点，使得，故，所以，即，所以，，解得，综上，的离心率的取值范围是.故答案为：【点睛】方法点睛：离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)的常见方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若．（1）求点的坐标以及抛物线方程；（2）若点与关于点对称，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由抛物线过点、求出可得答案；（2）求出点坐标，由可得答案．小问1详解】因为抛物线过点，则①，又，且焦点为，即②，结合①②解得(舍)，或，即；【小问2详解】当时，，则，所以．16.在公差为的等差数列中，已知，且．（1）求公差和通项公式；（2）若，求．【答案】（1）或；或；（2）．【解析】【分析】（1）根据，，利用“”法求解；（2）由（1）得，，然后分和求解.【详解】（1）因为，所以，解得或．故或．（2）因为，所以由（1）得，，设数列的前项和为，则．当时，；当时，．综上所述，17.在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角.（1）求证：；（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；（3）求平面POB与平面PAB夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）证明出，平面ABCD，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系；（2）求出平面的法向量，利用线面角求解公式得到答案；（3）求出两平面法向量，求出面面角的余弦值.【小问1详解】因为，O为CD的中点，所以．又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，所以平面ABCD．因，，，所以．取的中点，连接，则⊥，以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，．，，因为，所以．【小问2详解】设平面PAB的一个法向量为，则，即，解得，令，则，则．设直线PC与平面PAB所成的角为，又，则，所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为．【小问3详解】设平面POB的一个法向量为，则，即，解得，令，则，故．设平面POB与平面PAB的夹角为，则．故平面POB与平面PAB的夹角的余弦值为．18.如图，已知椭圆的上顶点为,离心率为，若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）直线过定点.【解析】【分析】（Ⅰ）根据条件得到解出即可；（Ⅱ）直线的方程为直线的方程为，联立直线AP和椭圆方程，得到的坐标为，进而得到，写出直线l的方程进而得到所过的定点.【详解】（Ⅰ）依题意有故椭圆的方程为（Ⅱ）由知,从而直线与坐标轴不垂直,由可设直线的方程为，直线的方程为.将代入椭圆的方程并整理得:,解得或,因此的坐标为,即将上式中的换成,得.直线的方程为化简得直线的方程为，因此直线过定点.【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.19.已知双曲线的右焦点为，离心率为．（1）求的标准方程；（2）已知点是上任意一点，直线是在点处切线，点是上异于点的动点，且过点与（为坐标原点）平行的直线交于两点，定义为双曲线在点处的切割比，记为，求切割比．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据双曲线的几何性质求的值，写出的标准方程；（2）先求出切线方程，结合两直线方程求出，再利用根与系数的关系、两点间距离公式求出、，根据切割比定义求解.【小问1详解】因为双曲线的右焦点为，所以，所以离心率为，所以，，故的标准方程为．【小问2详