2024高中数学解答题常考公式及答题模板

2024高中数学解答题常考公式及答题模板题型一:解三角形1、弧度制的定义和公式定义:α=l/R;弧长公式l2、三角函数性质函数周期奇偶性对称中心对称轴性质yT奇函数⇔φ=kπx图yT奇函数⇔φ=kπxyT奇函数⇔kπk角α中边上任意一点P为x,y,设OP=r则:sin3、图像变换图象变变选平移上下平移y=fx图象平移k得y=f左右平移y=fx图象平移φ得y=f伸缩x轴方向y=fx图象各点把横坐标变为原来wy轴方向y=fx图象各点纵坐标变为原来的A对称中心对称y=fx图象关于点轴对称y=fx图象关于直线x4、同角三角函数的基本关系:(1)sin(2)sinα“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指π2一全正,二正弦,三正切,四余弦.6、两角和差:cos7、二倍角和升降幂:sin2α=cos2α⇒,升幂公式1⇒、降幂公式cos28、万能公式:sin半角公式:cosαtan9、辅助角公式:asinx±10、正弦定理:asinA=bsinB=变形公式:(1)a=2RsinAb=2RsinB11、余弦定理:在△ABC中,有a12、三角形面积公式:S△ABC=12bc海伦公式:S13、基本不等式.:(1)ab≤a+b214、拓展三角形面积:∵∴≥∴∴三角形的周长:4≤b+⇒b+射影定理:a中线定理:∵∴角平分线定理:推导过程:S三内角和定理:A角的变换:(1)2α是α的二倍;4α是2α∞的二倍;α是α2的二倍;α(2)15∘=45∘−(5)2α=sinsinA在△ABC中sinA=sinB⇒A=B或者锐角三角形:(1)三内角都是锐角;(2)三内角的余弦值为正值;(3)任两角和都是钝角;(4)任意两边的平方和大于第三边的平方.特殊三角形:直角三角形、等腰三角形、正三角形特性常用名称和术语:坡角,俯角,仰角,方位角,方向角例&1:(2021新高考一卷19)记△ABC是内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,(1)求A;(2)若BC=3,求例&3:(2019新课标III18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a例&4:(2021新高考二卷18)在△ABC中,角A、B、C(1)若2sinC=(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出a例&5:(2021北京卷16)已知在△ABC中,c(1)求B的大小;(2)在下列三个条件中选择一个作为已知,使△ABC存在且唯一确定,并求出BC边上的中线的长度.(1)c=2b;(2)周长为专题二:数列1、概念:按照一定的次序排列的一列数。分有穷、无穷、增值、递减、摆动、常数数列等通项:an=fn2、等差数列概念定义:a通项:an=a1+n−性质:若A为a与b的等差中项,且A=a+b2若an是等差数列,则S若an=m,am若项数为2nn∈N∗若项数为2n−1n∈ℕ∗,则S2n3、等比数列概念定义:an+1an=q前n和:Sn性质:当m+n=p+q时,则有若项数为2nn∈若an是等比数列,Sn,如果数列an既成等差数列又成等比数列,a4、数列的单调性aaan+单调增数列aaan+单调减数列aaa常数列5、数列中的项的最值的求法:根据数列与函数之间的对应关系,构造相应函数求解.求一般数列中的最大或最小项

前多少项和最大:法一(邻项变号法):由不等式an≥0确定出前多少项为非负(或非正),求出各项变化趋势符号;法二:因等差数列前n项是关于n的二次函数,故化为求二次函数最值,注意数列特殊性n法四:利用等差数列的性质处理,由S17=S9可得a10+a6、等差数列的判定:设数列an,其前n项和为(1)定义(递推公式):a(2)通项公式:an=kn(3)前n项和公式:Sn=An2+Bn(1)定义法:若an+1an=qq为非零常数。)或anan−1=qq为非零常数且(4)前n项和公式法:若数列an前n项和S8、数列求通项公式法:an=a1+做差法:Sn=fan作商法:已知a1a2累加法:an+1a再将上述n−1个式子左右分别累加,可以得到:即an=a累乘法:an+1a再将上述n−1个式子左右分别累乘,可以得到:anf1⋅f构造法:(构造等差、等比数列)递推式为an+1=q待定系数法:若an若an+1倒数法:一般适用于:(1)an+1=p针对an+1=px1an+y,此时若x=1,直接借助等差数列通项公式求解即可;若x≠1,结合前面的待定系数法求解即可.针对递推关系为:pan(同除法、系数化为一):a将等式两边同除pn+1,转化为:an+1pn+1=有些时候也可以等式两边同除以pn(取对数法):a针对递推关系:an+1=panqp>0,处理时,可以将等式两边同取常用对数:lg归纳法:先通过计算数列的前几项,再观察数列中的项与系数,根据an与项数n第一数学归纳法:通过假设n=k成立,再结合其它条件去证证明的步骤如下:(1)归纳验证:验证n=(2)归纳假设:假设n=kk(3)归纳结论:得到结论:n≥第二数学归纳法:证明的步骤如下:(1)归纳验证:验证n=(2)归纳假设:假设n≤kk(3)归纳结论:得到结论:n≥公式法:(1)常见的等差数列的前n项和公式(1)Sn(2)Sn=na1(2)常见的等比数列的前n项和公式(1)Sn=n(3)Sn=a1−(3)其他的求和公式(1)12(2)13(3)Cn分组法:适用于当cn=an+S=裂项法:(1)适用于cn=man⋅an+S=m(2)适用于cn=man⋅an+S=(3)高中阶段其他的裂项形式(1)1nn+(3)ln1+k(5)nn+1(7)n+2n(9)1n(10)qn错位相减法:适用于当cn=an⋅bn,求Sn=S由(1)-(2)得:1再对b2+b3+⋯+bn部分等比数列实施求和,需注意,此时数列的项数为n适用于首尾相加为定值的数列求和,求和过程如下:Sn=c(1)fx=a(2)fx=1(3)fx=1(4)fx=1(5)fx=111、求an若等差数列an、bn的前n和分别为a待定系数法:A如设an、bn是两个等差数列,它们的前n项和分别为Sn12、口算错位相减法的结果通项公式:a∴13、数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究,利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型(1)数列中连续两项和或积的问题an(2)含有−1(3)含有a2n(4)已知条件明确的奇偶项问题.(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列an求Sn时,我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和,也可以把a2k−114、几种常见的数列放缩方法:(1)1n(2)1n(3)1n(4)Tr(5)1+(6)1n(7)1n(8)1n(9)2n(10)1=<(11)1=(12)12(13)12n−1<2n−12n−1−12n(1)证明:数列bn(2)求an例&7:(2021新高考2卷17)记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,若a3=S(2)求使Sn>a例&8:(2020年高考数学课标III卷理科17)设数列an满足a(1)计算a2,a(2)求数列2nan的前n例&9:(2019浙江卷20)设等差数列an的前n项和为Sn,a3=4(1)求数列an(2)记Cn=an2bn,n(I)求an和b(II)记cn(i)证明cn2−例&11:(2021全国甲卷18)已知数列an的各项均为正数,记Sn的前(1)数列an是等差数列:(2)数列Sn是等差数列;(3)注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.例&12:(2014高考数学课标2理科)已知数列an满足a(1)证明an+1(2)证明:1a1+1a2+⋯+1a(1)求证:an2n(2)若bn=an+1an,数列例&14:(2020天津卷19)已知an为等差数列,bn为等比数列,a1(I)求an和b(II)记an的前n项和为Sn,求证:(III)对任意的正整数n,设cn=3an[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!]高中数学解答题常考公式及答题模板专题三:空间立体几何表面积表面积体积棱柱S表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和。VV佳=13S⋅ℎ↑S棱雉SV棱台V圆柱SV圆锥SV圆台SV球SV性质定理平行关系线面判定定理:平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.a性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.a面面判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.aα//β,γ棱柱概念概念有两个面互相平行,其余每相邻两个面的交线互相平行,这样的多面体叫棱柱。两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高长方体底面是矩形的直平行六面体是长方体;正方体棱长都相等的长方体叫正方体;平行六面体底面是平行四边形四棱柱叫平行六面体;直棱柱侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱;侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱;底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱;{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体};棱锥概念有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,这样的多面体叫棱锥;正棱锥如果一个棱锥底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心,这样棱锥叫正棱雉;正棱锥的各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高(叫侧高)也相等;正棱锥的相对的棱互相垂直;1)侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心;(2)侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心;(3)斜高长相等且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心.正四面体全面积S=3a2;体积V=212[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!]线判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.m⊂αa垂直关系面判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.lα1、空间两点间的距离公式、中点公式:(1)距离公式(1)设点Ax1,AB(2)设点Px,y,z,则点P(2)中点公式:设点Px,y,z为P1)a±2)a⋅3)a⊥4)cos⟨a3、直线的方向向量和平面的法向量:(1)直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量,记作l.(2)若直线l⊥α,则该直线l的方向向量即为该平面的法向量,平面的法向量记作平面法向量的求法:设平面的法向量为α=x,y,z.在平面内找出(或求出)两个不共线的向量第一步:写出平面内两个不平行的向量a=第二步:那么平面法向n4、利用空间向量表示空间线面平行、垂直:设直线l,m的方向向量分别为l,m,平面(1)线线平行:若l//m,则线面平行:若l//a,则l⊥a⇔(2)线线垂直:若l⊥m,则线面垂直:若l⊥α,则l//α⇔如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为BO=AB6、利用空间向量求空间角设直线l,m的方向向量分别为l,m,平面(1)直线l,m所成的角为θ,则0≤(2)直线l与平面α所成的角为θ,则0≤θ≤(3)平面α,β所成的二面角为θ,则如图(1),AB,CD是二面角α−则二面角的大小θ=⟨(1)(2)(3)如图(2)(3),n1,n2分别是二面角α−l−β的两个半平面α,最小角定理斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角,且有cosθ=cosθ高中数学解答题常考公式及答题模板例&15:(2021全国乙卷)如图,四棱雉P−ABCD的底面是矩形,PD1,M为BC的中点,且(1)求BC;(2)求二面角A−例&16:(2021全国甲卷)已知直三棱柱ABC−A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB(1)证明:BF⊥(2)当B1D为何值时,而BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?例&17:(2021新高考1卷)如图,在三棱雉A(1)证明:OA⊥(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E−BC例&18:(2020年新课标II20)如图,已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1(1)证明:AA1//(2)设O为△A1B1C1的中心,若AO/l平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E(1)证明:图2中的A,C,G,(2)求图2中的二面角B−图1图2[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!]例&20:(2018年高考数学课标III卷)如图,边长为2的正方形ABCD所在平面与半圆弧CD所在的平面垂直,M是弧CD上异于C,(1)证明:平面AMD⊥平面BMC(2)当三棱雉M−ABC体积最大时,求面MAB与面例&21:(2019年北京卷)如图,在四棱雉P−ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD//(I)求证:CD⊥平面PAD(II)求二面角F−(III)设点G在PB上,且PGPB=23.判断直线[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!]例&22:如图,已知△ABC为等边三角形,D,E分别为AC,AB边的中点,把△达点P,平面PDE⊥平面BCDE,若BC(1)求PB与平面BCDE所成角的正弦值;(2)求直线DE到平面PBC的距离.例&23:如图,在四棱雉P−ABCD中,PA⊥平面ABCD,ADPA=(1)求证:AB⊥(2)在线段PD上,是否存在一点M,使得二面角M−AC−D的大小为45∘[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!]专题四:概率统计1、频率分布直方图:纵轴表示频率,频率组距小长方形的面积=组距×频率2、百分位数:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有100计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下:第1步,按从小到大排列原始数据;第2步,计算i=n第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第i+13、频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法:(1)样本平均数:可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替.(2)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应相等.(3)将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值.4、方差、标准差:(1)假设一组数据为x1平均数x=x1+x(2)如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y则称S2=1Nii+1NYi−Y2为总体方差,(3)如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,⋯,yn(4)标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.5、如果随机事件A在n次试验中发生了m次,当试验的次数n很大时,我们可以将发生的频率mn作为事件A发生的概率的近似值,即P6、概率的基本性质:性质1对任意的事件A,都有PA≥0性质2必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即PΩ性质3如果事件A与事件B互斥,那么PA性质4如果事件A与事件B互为对立事件,那么PB性质5如果A⊆B,那么性质6设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有(1)包含关系:B⊇A(或A⊆B),并(和)事件:A∪(2)并(和)事件包含三种情况:(1)事件A发生,事件B不发生;(2)事件A不发生,事件B发生;(3)事件A,B都发生.即事件(3)互斥事件具体包括三种不同的情形:[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!](1)事件A发生且事件B不发生;(2)事件A不发生且事件B发生;(3)事件A与事件B都不发生.8、条件概率的概念:一般地,设A,B为两个随机事件,且PA>0,我们称P9、概率乘法公式:对任意两个事件A与B,若PA>010、条件概率的性质:设PA(1)PΩ(2)如果B和C是两个互斥事件,则PB(3)设B和B互为对立事件,则PB11、全概率公式:一般地,设A1,A2,⋯,An是一组两两互斥的事件,A1∪1.回归方程y=b(注:b=i=1n公式作用:通过刻画线性相关的两变量之间的关系,估计和分析数据的情况,解释一些实际问题,以及数据的变化趋势.公式联系:是进行残差分析的基础.2.样本相关系数的具体计算公式:r公式作用:反映两个变量之间线性相关关系的强弱.当r的绝对值接近1时,表明两个变量的线性相关性越强;当r的绝对值接近0时,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.规定当r>公式联系:(1)由于分子与回归方程中的斜率b的分子一样(这也给出了公式的内在联系以及公式的记法),因此,当r>0时,两个变量正相关;当(2)常配合散点图判断两个随机变量是否线性相关.散点图是从形上进行粗略地分析判断,这个判断是可行的、可靠的,也是进行线性回归分析的基础,否则回归方程失效;它形象直观地反映了数据点的分布情况.相关系数r是从数上反映了两个随机变量是否具有线性相关关系,以及线性相关关系的强弱,它较精确地反映了数据点的分布情况,准确可靠.3.我们可以用相关指数R2R用R2来刻画回归的效果.对于已经获取的样本数据,R2表达式中的i=1nyi−y2为确定的数.因此R2越大,意味着残差平方和i2.独立性检验:假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为x1,x2和yy总计xabaxcdc总计abaK213、分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=14、排列、组合的定义:从n个不同元按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个排列的定义素中取出m元素的一个排列组合的定义≤n合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合排列数、组合数的定义、公式、性质:排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m从n个不同元素中取出m(m≤公式ACm=性质AC正确理解组合数的性质:(1)Cnm=Cnn−m:从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n−m个元素的方法数.(2)Cnm+15、二项式定理:二项式定理a二项展开式的通项公式Tk+1二项式系数二项展开式中各项的系数C二项式系数的性质:(1)Cn0=(3)当k<当k>当n是偶数时,Tn当n是奇数时,Tn+1(4)a+bn(5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和等于2n常用结论:(1)Cnkan−kb(3)通项公式中含有a,16、离散型随机变量及其分布随机变量及分布列概念随着试验结果变化而变化的量叫做随机变量,所有取值可以一一列出的随机叫做离散型随机变量。分布列离散型随机变量的所有取值及取值的概率列成的表格。性质1事件的独立性条件概率概念:事件A发生的条件下,事件B发生的概率,PB性质:0≤PB∣A独立事件事件A与事件B满足PAB=PAP离变量及n次独立重复试验F次试验中事件A发生的概率为p,在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为PX典型分布超几何分布PX=k=CMk二项分布分布列为:PX=k=正态分布φx=−1G−xe−2数字特征数学期望EX方和标准差方差:DX=i17、熟记常用结论:若Y=aX+b,其中(1)Ek=k(2)EaX(3)EX(4)DX(5)若X1,X例24:(2020年高考数学课标I卷理科)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!]例25:(2019年高考数学课标全国I卷理科)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定,对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pti=0,1其中a=PX(i)证明:pi(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.例26:(2018年高考数学课标II卷(理))下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,⋯,17)建立模型(1):y=−30.4(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!]例27:(2017年高考数学新课标【卷理科）(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布Nμ(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在μ−3σ,μ+(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在μ−(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116i=116用样本平均数x作为μ的估计值μ,用样本标准差s作为σ的估计值σ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除μ−3σ,μ附:若随机变量Z服从正态分布Nμ,σ2,则PμA地区:62 73 81 92 95 74 64 53 76B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82(I)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);A地区B地区456789(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:​aA地区用户的满意度等级高于例29:(2015新课标I理)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y单位:t和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xxywiiii46.65636.8289.81.61469108.8表中wi(I)根据散点图判断,y=a+bx与y=(II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(III)已知这种产品的年利率z与x、y的关系为(i)年宣传费x=(ii)年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?附:对于一组数据u1,v分别为β=例&30:(2020年新课标II18)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据xi,yii=1,i(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本xi(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!]附:相关系数r=例&31:(2021.全国・(理1))甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品质量情况统计如下表:一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附:P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828例&32:(2021.新高考.(2卷))一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代…,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X(1)已知p0=0.4(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2专题五:圆锥曲线1、倾斜角:已知直线的倾斜角为a,且a≠90∘,则斜率k=tanα直线方程法:ax+by+直线的方向向量法:a=1,k若过两点x1,y已知直线在y轴上的截距为b和斜率k,则直线方程为y=kx+2、设直线方程的一些常用技巧:1)知直线纵截距b,常设其方程为y=(2)知直线横截距x0,常设其方程为x(3)知直线过点x0,y0,当斜率k存在时,常设其方程为y=(4)与直线l:Ax+(5)与直线l:Ax+提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解;3、椭圆的定义:平面内与两个定点F1、F椭圆方程的推导设Mx,y是椭圆上任意一点,焦点F1−a2−cx注(1)2a>F1F2表示椭圆;(2)2a椭圆的标准方程x椭圆的参数方程x椭圆的一般式方程Ax椭圆的定义式方程:(1)第一定义:x+c25、椭圆的基本参数:1.对称性标准方程的图形,不仅关于x轴和y轴轴对称,同时,还关于原点中心对称.2.顶点A1−a3.长轴和短轴长轴为2a,短轴为2b,注意区分长半轴为a,短半轴为b.短轴和短轴长轴为4.焦点F1−c5.焦距F1F2=2cc>0注对于基本概念要扎实掌握,一定要区分长轴、短轴、焦距,和长半轴、短半轴、半焦距;尤其在大题中,一定要看清!6.离心率e=c椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据.因为a>c>0,所以e的取值范围是0<e<1;(1)e越接近1,则c就越接近a,从而b7.(1)准线x=±a2c;或y=±8.焦半径椭圆上的点到焦点的距离;设Px0,y0为椭圆上的一点,F1在负半轴,F2在正半轴;(1)焦点x轴焦半径P(4)焦半径的取值范围是[a易错提醒焦半径公式,在考试之时,不能直接使用!!9.焦点弦若过焦点的直线与椭圆相交于两点AxA,yA(1)如图,当焦点弦过左焦点时,焦点弦的长度AB=2a+e类似地,当焦点在y轴上时,焦点弦AB=(2)过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短,通径为2ep=2b已知椭圆的弦长AB=d,则d≥6、双曲线的定义:平面内与两个定点F1、F注(1)当0<2a<(2)当2a=F1F2时,点的轨迹为以F1,1.双曲线的标准方程x2.双曲线的参数方程x2注参数θ,同椭圆类似,是物理上的离心角,结合离心率理解.3.双曲线的一般式方程A注焦点位置判断当A>0,B<0时,焦点在4.双曲线的定义式方程(1)第一定义:x+c28、双曲线的基本参数:1.对称性标准方程的图形,不仅关于x轴和y轴轴对称,同时还关于原点中心对称.2.顶点A1−a3.实轴和虚轴实轴为2a,虚轴为2b;注意区分实半轴和虚半轴.4.焦点F1−c5.焦距F1F2=2cc>06.离心率e=双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据,分析和上面的椭圆类似,譬如,当e接近1时,b越来越小,双曲线的“张口”越来越小.[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!]7.(1)准线x=±a2c;或y=±8.焦半径设Px(1)焦点在x轴:P在左支PF1=−(2)焦点在y轴:P在下支PF1=−9.焦点弦若过焦点的直线与双曲线的一支相交于两点AxA,yA注双曲线焦点弦的推导方法与椭圆类似,结果也是仅与弦中点的横坐标或者纵坐标有关.10.双曲线的渐近线:x(1)求双曲线的渐近线,把标准方程中的“1”用“0”替换,然后因式分解或者开方得到.(2)反之,若渐近线方程为y=±bax⇔xa(3)与双曲线x2a2−y2b2=1有公共渐近线的双曲线系方程是:9、椭圆的焦点三角形椭圆焦点三角形的面积公式:已知椭圆方程为x2a2+y2b2=(1)PF1P证明不要只记结论,推导过程也要熟悉!根据S△F1易错提醒使用焦点三角形的面积公式之时,有时要注意检验y0短轴端点处∠F1PF2张角最大已知椭圆x2a2+证明设PF1=m,cosθ其中,当且仅当m=n时取等号,此时点P位于短轴端点,又因为余弦函数y=cosx在0,10、双曲线焦点三角形的面积公式:已知双曲线方程为x2a2−y2b(1)PF1P11、抛物线的定义:抛物线的定义平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹;其中,定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线.注(1)抛物线的定义,其实质可归结为“一动三定”.一个动点M,一个定点F(抛物线的焦点),一条定直线l(抛物线的准线),一个定值(点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1).(2)定点F∉l,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F垂直于直线12、抛物线的基本参数:下面以抛物线标准方程y2=2pxp的几何意义参数p是焦点到准线的距离,称为焦准距,故p恒为正数.顶点为原点O0,0,以x轴为对称轴,且没有对称中心,焦点为F抛物线的离心率e都等于1,故抛物线通径为2ep=焦半径PF=焦点弦x1+x2+p=p1−cosθ=2psin2θθ13、抛物线和椭圆、双曲线的比较:(1)抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来,差别较大.它的离心率等于1;它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线;它无中心,也没有渐近线.(2)椭圆、双曲线都有中心,它们均可称为有心圆锥曲线;抛物线没有中心,称为无心圆锥曲线.抛物线的焦点弦模型:过抛物线y2=2pxp>0焦点F,且倾斜角为θ的直线交抛物线于Ax1,y1、Bx2,y2两点,设Mx0,y0是AB的中点,l是抛物线的准线,过点1.焦半径AF=AC=x1+p2.1FA+13.焦点弦AB=x1+x4.原点O到焦点弦AB的距离为p2sinθ,又AB=2psin26.(1)以焦点弦AB为直径的圆与准线l相切于点N,则DNA⊥NB;2在Rt△ANB中,NM=12证明(1)由于MN是梯形ACDB的中位线,故MN=12(2)连结CF、DF,分别交y轴于点J、K,则点J、K分别是OS、OT的中点.[利用CS⇒OF](3)以焦半径为直径的圆和(4)以两垂足C、D直径端点的圆与焦点弦AB相切,且切于焦点F,即证明利用AC=AF,AC//OF,可得:∠AFC=∠FCA=∠CFO[利用解析法,则等价于证明:yCyD(5)FN⊥AB;A、J、N三点共线,B、K、N三点共线(或AN垂直平分CF交证明由上面的(4)知:在Rt△CDF中,有NF=CN=12CD同时,结合(2)可知:A、J、N三点共线,即AN垂直平分CF交y轴于点J,同理可得:BN垂直平分DF交y轴于点K.[“FN⊥证明作JI⊥AF于点I,易知△ASJ注(1)焦点弦相关的垂直关系(亦即共圆关系)比较多,如果从几何角度证明,可以大致记个证明的顺序是:从矩形JNKF的左上角N→右下角F→余下的两个角(2)上述的几何证明了解即可,可不必硬性掌握,考试之中,如果出现,果断利用解析法,毕竟解析法思路简单直接,计算量也不是很大.7.假设焦点弦AB与x轴不垂直,过点M作AB的垂线交x轴于点E,则有:(1)点E的坐标为x0(2)由(1)可得EF=12AB;又NM=12AB,且8.设MN交抛物线于Q,则Q平分MN;连结QF,则QF=证明易知N−p2,y1+9.(1)A、O、上述命题反过来也是成立的:(3)设直线AO与抛物线的准线的交点为D,则BD平行于x轴;(4)设直线BO与抛物线的准线的交点为C,则AC平行于x轴.[拓展推广见“极点极线模型之共轭点的等分点模型”]证明此处以(1)为例进行证明,(2)证明类似,(3)(4)也比较简单,故略过;易得点D−p2,y2,又10.记△ACF、△BDF、△CDF的面积分别为S1、证明以直线AN为例:易知抛物线在点Ay122p,y1处的切线斜率为py1,又N[利用p2=−yℎyℎ,这一“常值代换”的技巧,在抛物线的证明中还是比较常用的!]背景抛物线互相垂直的切线的交点轨迹是抛物线的准线.[可类比蒙日圆]12.阿基米德三角形的面积S△ABN=y116.设AF=λFB,则有:(1)cosθ=(2)Apλ定比点差法的妙用过抛物线y2=2pxp>0焦点F的直线交抛物线于A、B两点,过A、B作抛物线的两条切线交于点N、作求证:(1)N在l上;(2)NF⊥AB证明设AF=λFB,A又AC=λBD,可得x1−λx2=p2λ−1⋯(2),由(1)(2)可得:x1=pλ2,x至此,A、B、14、抛物线的切线专题(极点极线):根据点P的位置分成如下三种情况:(1)极点P在抛物线上,对应的极线l是抛物线的切线方程(1)抛物线y2=2px上的一点P(2)抛物线x2=2py上的一点P(2)极点P在抛物线外,对应的极线l是抛物线的切点弦方程(1)抛物线y2=2px外一点P(2)抛物线x2=2py外一点P(3)极点P在抛物线内,对应的极线l是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹,且此时的极线l必和抛物线相离(1)抛物线y2=2px内一点P(2)抛物线x2=2py内一点P抛物线两条切线的交点一一双切线模型:焦点在x轴如图所示,直线和抛物线y2=2pxp>0交于A、B两点,过点A、因此,过点P作PQ平行x轴,交AB于点Q,则Q是弦AB的中点.证明易知抛物线在点A、B处的切线方程为:y1由(1)-(2)可得:y1−y2y记忆说明显然,切线交点P的纵坐标是两个切点A、抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形,这个三角形常被称为阿基米德三角形.这是由于阿基米德最早利用逼近的思想证明了:抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的2316、阿基米德三角形的常见性质:此处以抛物线y2=2pxp>0为例进行说明:以F为焦点的抛物线y2=2px抛物线在点I处的切线分别交PA、PB于点S、T,此时,一般称1.设点Ax1,y12.(1)若点P为定点x0,y0,则底边(2)若底边AB过定点x0,y0,则点P在定直线ygy=px+x3.(1)阿基米德三角形的底边中线平行于x轴,如图,设底边AB的中点为Q,则PQ//x轴;(2)设PQ与抛物线交于点M,则M是线段(3)过点M作抛物线的切线,则此切线和底边AB平行.抛物线的中切线性质已知二次函数的割线与二次函数相交于A、B两点,若二次函数在点C处的切线与割线平行,则A、证明不妨令二次函数为fx=a则kAB4.AF⋅BF=PF25.∠PFA具体参见前面的相关专题]6.切点△IAB的面积是切线△PST面积的2倍,即证明设Ay12注意到yA−yB=yA−y2,yS−yT=S△所以,欲证明S△IAB=直线AB的方程为:y1+y2y抛物线在点I处的切线为:yy3=px+x由于Π1I17.(1)切线△PST的外接圆过抛物线的焦点F,即P、S(2)特殊地,设直线AP、BP分别与y轴交于点C、D,则P、证明(1)设Ay122p,注意到∠SPT,即∠APB的大小只和y1、y2有关,因此,只要能够证明∠SFT易知kAP=py1,ktan∠因此,tan∠APB+tan∠SFT=0(2)直线AP为yyℎ=px+x1=px+yℎ22p,令8.切线△PST的垂心H在抛物线的准线x9.(1)当点P在直线x=m上运动时,则底边AB恒过定点−m,0(2)特殊地,当点P在准线x=−p2上运动时,则底边AB恒过焦点p2,0,且kPA10.设底边AB与x轴的焦点为N,则kPA+k11.(1)设Px0,y0(2)特殊地,当底边AB过焦点Fp2,0时,由于y1证明(1)直线AB的方程为:y1+y2y=2pxd又AB=1+如果利用x0=y1y注(1)原汁原味含参推导是最快的,且和抛物线的两点式方程相呼应!即使是过焦点!!(2)阿基米德三角形面积公式的形式有两个,该选择哪个?根据具体的题目具体选择使用.12.(1)ASSP(2)对△IAB而言,可以视切线△PST为割线应用“梅涅劳斯定理”,即为设点A、B、I的纵坐标分别为yA则ASSP=y同理可证得:PTTB=SI13.抛物线的焦点到切线三角形三个顶点的距离之积与到切点三角形三个顶点的距离之积相等.16、直线与圆锥曲线的位置关系:1.代数法:把圆锥曲线方程C与直线方程l联立,消去y(也可以消去x),整理得到关于x(或者y)的一元方程ax(1)当a≠0时:计算若Δ>0,则C与若Δ=0,则C与若Δ<0,则C与2.当a=0且b≠0时:即得到一个一次方程,则若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2.几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线的图像,利用图象和性质可判断C与l的位置关17、弦长公式:(1)题设:若斜率为k的直线l与圆锥曲线方程C有两个不同的交点MxMN=1+(2)通径:(1)过椭圆的一个焦点且与焦点所在轴垂直的弦,长度为:2b(2)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦,长度为:2b(3)题设:若斜率为k的直线l经过抛物线C:y2=±2px的焦点F,且与C交于两点M(1)MN=x1(4)题设:若斜率为k的直线l经过抛物线C:x2=±2py的焦点F,且与C交于两点M(1)MN=y118、面积问题:涉及面积的计算问题,常用到三角形面积公式、焦点三角形面积公式、点到直线的距离公式,或把待求面积分解成两个易于求和的三角形面积之和.(1)椭圆焦点三角形面积:S△F1PF2=(2)双曲线焦点三角形面积:S△FPF2=b(1)题设:若斜率为k的直线l经过抛物线C:y2=±2px的焦点F,且与C交于两点MS△(2)题设:若斜率为k的直线l经过抛物线C:x2=±2py的焦点F,且与C交于两点MS19、距离公式:假设AxA,yAAB20、抛物线中的弦长公式:(1)已知抛物线y2=2pxp>设Ax1(2)已知抛物线x2=2pyp>设Ax121、圆锥曲线题目中的条件往往与坐标无关,那么具体如何转化为坐标表达:下面举出常见的案例已知直线AB与某曲线相交,设Ax1,,x2情形一:当遇到OA⊥OB遇到MA⊥MB或者AM情形二:遇到MA=MB情形三:遇到A,B,M三点共线可转化为k情形五:M在直线AB上,AM=2情形六:△AOM的面积等于ΔBOM的面积的2倍情形七:∠情形八:AB的中垂线过点M答:AM或者取AB的中点为M0,则kABk情形九:点M在以AB为直径的圆上转化为MA若点M在以AB为直径的圆内转化为MA情形+:T1情形十一:设Ax1,y1,BAB情形十二:若I是△ABC的内心,则设Ax1,y情形十三:点M,N在x轴上,点Q在y轴上,∠情形十四:y2=2px在x2=2py在情形十五:MA与圆C相切于点A,MB与圆C相切于点B,求答:sin∠AMC=半径情形十六:△AOM中,∠情形十七:OA可以看出:上述案例转化后的落脚点都是长度、垂直、平行、向量表示、三点[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!]共线、直线方程。这是因为我们的长度有距离公式的坐标表达,像垂直、平行、向量都可转化为相应的坐标表达。对于角度的处理,我们往往借助三角函数,可以把角度转化为长度表达.有时候还需要借助几何分析:如初中三角函数定义,相似三角形,圆的相关几何定理,平行四边形的性质等。22、韦达定理公式和硬解定理:1.一元二次方程公式(1)求根公式设x1、x2是二次方程注(1)推导方法一般利用配方法,即ax+b(2)韦达定理设x1、x2是二次方程拓展公式(1)x1(2)x1x2注(2)的用法见后面的非对称韦达定理专题.2.硬解定理一一此处以直线和椭圆方程的联立为例进行说明联立x2a2+y(1)韦达定理x1注(1)a2A2+b2B2,等效判别式的前半部分;消去y时,都有(2)如果是消去x,只需要把公式中的字母中的a、A分别换为b、即y1(3)考试的时候,可以先写出韦达定理,再逆推出联立的方程!!(2)完全判别式Δx注(1)一定要和“等效判别式”Δ′(2)判别式中的B2,消去谁就留谁!故消去x,对应的判别式为:Δ(3)弦长公式弦长=注(1)公式的分母都是a2(2)记忆口诀这个公式有点“二”,小方积、大方和,大方小方成对去虐单C方,虐完C方去下方.(3)公式的好处传统的弦长公式有两个,一定要注意区分两者的区别!!,因此,熟记上述弦长公式,可以避免由于用错弦长公式而带来的错误!!!!消y版:弦长=1消x版:弦长=1(4)和判别式串联显然利用(3)中的公式,也可轻松逆推出判别式Δx或Δ(5)易错提醒如果是椭圆,公式中绝对值符号可以直接拿掉!但是,对于双曲线,绝对值符号不能省略!!同时,直线和双曲线的渐近线二合一方程“x2(4)求根公式写出通式,利用上面韦达定理和判别式相应代入即可!不过,实际没啥用!!x=y=请思考如果是直线和双曲线联立,即x2分析由于x2a2−y2b2=x2a2+y易错提醒对于直线和双曲线的渐近线二合一方程“x2a2述硬解定理是不成立的!!使用说明硬解定理以前在网络上还是很流行的,所以本人在此给出一个简单总结,其中包含的公式有很多,但是,个人认为,只有那个弦长公式还有点实用性,毕竟解析几何大题中,经常用到弦长公式,考试之时,可以作为检验之用!同时,弦长公式有口诀,也不是很难记忆!!至于韦达定理公式,实际上也没啥大用,毕竟把直线和圆锥曲线联立,这个过程并不复杂;至于完全判别式公式,实际解题时,往往“等效判别式”就足够用的了,因此,也么啥用.23、直线方程复杂时的换元联立:比如联立y=因此,可以令m=y024、两种点差法:点差法:中点点差法和对称点点差法(1)设AB是椭圆x2a2+y2b2=1的不平行于对称轴的弦,M为证明设Ax则x12a2+故得证.注(1)对于kOM(2)对于kAB(3)当点A、B不断接近,直至为同一点M时,设点M处的切线为l,此时亦有(2)设AB是双曲线x2a2−y2b2=1的不平行于对称轴的弦,M为(3)如图,设AB是抛物线y2=2px的不垂直于对称轴的弦,M为AB的中点,设Mx0易错提醒1由于“AB是不平行于对称轴的弦”,因此,在使用点差法解题之时,需要讨论斜率为0和斜率不存在两种情况!!易错提醒2点差法是形式化的定义,与有心圆锥曲线的焦点在哪个轴没有关系!!25、中点弦和弦中点轨迹1.中点弦的轨迹方程(1)在椭圆x2a2+y2b2=注当中点M无限接近椭圆时,则x02a2+y0(2)在双曲线x2a2−y2b2=注双曲线中点弦存在定理:若Mx0,y0不是原点,则双曲线x2a2−y2b2如图所示,只要点M不在阴影(含边界,除去原点)内,就一定存在中点弦;下面给出两个证法,[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!]同时,可以结合下面具体的例题共同理解.证法一对x2Δ解得x02a证法二注意到中点弦xx0a2−x(3)在抛物线y2=2px中,若弦AB的中点为My2.弦中点的轨迹方程(1)过椭圆x2a2+y2b2=x注性质的证明是很简单的,利用点差法即可!当然,也可以利用上面的中点弦方程进行分析:设弦AB的中点为Mx1,y1,则以M代入点Px0,x(2)过双曲线x2a2−y2b2=x(3)过抛物线y2=2px内点Px0,y0的弦AB,则弦注(1)下面是中点弦方程和弦中点方程的二合一版本,实质也是替换法则的应用!由于满足替换法则(极点极线),因此,必然也和极点极线有着内在的联系!!(1)椭圆:x2a2(3)抛物线:y2(2)实际上,更一般的,对于一般式的二次曲线φ:不妨记φxφxφx,y(3)此外以椭圆为例,如果从位似共心椭圆的角度进行分析,上述替换规律是很显然的!如图所示,外部椭圆x2a2+y2b2=1和内部椭圆x2a2+y2b1.斜率和二次曲线上定点之间的关系过二次曲线ψ上一定点M做两条直线交ψ于A、B两点,两条直线的斜率分别为k1、k2,且2.高中常见的类型(1)椭圆过椭圆x2a2+y(1)若kPA⋅kPB=(2)若kPA+kPB=(2)双曲线过双曲线x2a2−y(1)若kPA⋅kPB=(2)若kPA+kPB=(3)抛物线过抛物线y2=2px上任一点P(1)若kPA⋅kPB=(2)若kPA+kPB=3.特例:斜率和为零过圆雉曲线上任一点Px0,y0引两条弦PA、PB,若直线PA、PB例如,对于椭圆x2a2+y2b背景根据结论:圆锥曲线上的四点共圆,则斜率互补!!可参见后面的四点共圆专题)如图所示,则有kAB+kCD=0kDA+kCB=01.定比分点:若AM=λMB,则称点M为点A(1)当λ>0时,点M在线段(2)当λ<0λ≠−1(3)补充定义:当λ=−1时,对应的定比分点可以认为是无穷远的点.已知点Ax1,若点Ax1,x4.定比点差法(1)若点Ax1,y1x为了和定比分点的坐标公式的形式保持一致,将右边的1−λ2x(2)对于抛物线y2y=此时,左右两边再同时除以1+y注(1)对于抛物线的定比点差法,实际上是逆推得到的,猜想理由如下:注意到(1)中的x1+λ的,因此,可以猜想:yy0=验证,这个猜想也是成立的!!(2)也正是基于上述的一致性,因此,和极点极线有关的题目,尤其是和定比分点或者和调和点列有关的题目,一般都可以尝试利用定比点差法进行处理!(3)定比点差法是一种变形技巧,没有超纲,因此,使用定比点差法解题,不用担心被扣分!定比点差法的一般变形公式椭圆以椭圆x2a2+y由AM=λMB得:xx即x0x12如果消去x1、x2,整理可得:2x0x2a至此,我们得到一组对偶公式:2(1)记φx2φ(1)如果我们令x0=0或y0=Bx2,y2(3)在前面的基础上,如果我们继续设点Cx3,2由(2)-(3)得:2x如果λ=μ,则AC//BD,且x0x1更多相关内容,可参见后面的极点极线章节之椭圆的平行弦模型.抛物线在上面椭圆的基础上,我们也可以大胆猜测,对于抛物线y2=2px,设点A2经验证,上式也是成立的,因此,此对偶公式也可以推广到一般形式的二次曲线.5.极点极线vs调和点列此处以椭圆为例进行说明,双曲线和抛物线类似处理.例过异于原点的点Px0,y0引椭圆x2a2+y2b2=1a>分析此处的必要性选用定比点差法进行证明,而充分性是构造关于定比λ的二次方程+韦达定理进行证明.实际上,必要性也可以利用构造关于定比λ的二次方程+韦达定理进行证明.[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!]此外,对于“充分性”和“必要性”,不要搞混了!!先证明必要性:即如果P、Q调和分割A、B,则点易知P、Q调和分割A、B等价于条件:设Ax1由x12a可得:x1将(1)(2)代入(3),可得x0⋅xQa再证明充分性:即如果点Q在定直线xx0a2+yy注意到调和点列的共轭性,即“若P、Q调和分割A、B,则亦有A、AP=λPBAQ=−设Ax1,yℎPA将(1)代入椭圆方程:b2同理,将(得(2)代入椭圆方程:b2x32+b的两个根,故λ1因此,PAAQ=PBBQ,即PAPB27、圆锥曲线统一的极坐标方程圆锥曲线的统一定义与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e(离心率)的点的轨迹.圆锥曲线的统一极坐标方程如图所示,以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点,过点F作相应准线l的垂线,垂足为H,设HF=p,并以设圆锥曲线的点为Pρ,θ,点P在准线l上的投影为点P故e=PFPP相关说明(1)p的几何意义焦点到对应准线的距离,即焦准距,对于椭圆和双曲线,p=(2)e是离心率当0<e<1时,方程表示椭圆;当e>1(3)统一极坐标方程对应的极点和极轴方向(1)焦点都在x轴上,椭圆是以左焦点为极点抛物线是以右焦点为极点双曲线是为极点,极轴方向与x轴正方向同向;(2)焦点在注从图像上看,统一开口朝着x轴或y轴的正方向!θ是焦半径到x轴或y轴的正方向的角(4)当然,对于椭圆和双曲线,也可以选择另一个焦点作为极点,但是,此时的极坐标方程会有变[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!]化!譬如,以椭圆为例,以右焦点为极点,极轴方向与x轴正方向同向,此时极坐标方程:ρ分析如图,如果极轴方向与x轴反方向同向,则极坐标方程和上面的类似,应该是ρ=ep1−ecos因此,一定要注意把握极坐标的实质,不要被选取的焦点所迷惑,注意极角方向始终和圆锥曲线的开口方向一致,不要被x、(5)圆锥曲线的极坐标方程,也可以理解为焦半径的倾斜角公式!(5)请思考如果焦点在y轴,以焦点为极点,x轴的正方向为极轴的正方向,此时又是如何?分析和上面的分析类似,把角度进行相应的替换即可,譬如,以椭圆为例,(1)若焦点在y轴的负半轴,则ρ(2)若焦点在y轴的正半轴,则ρ=(5)焦点在x轴上的圆锥曲线的焦半径形式汇总(1)椭圆的极坐标:x(2)双曲线的极坐标相对复杂一点,但是,“右右”和“左左”和上面的规律是一致的.x⇒ρ=ep焦弦常数设点P为椭圆或双曲线上任一点,过焦点F1、F2分别作弦PA、PB,设PF(1)λ+(2)QF1+QF证明(1)1P(2)如图,作CF2//BF1交PA于点C,则λ同理可得:QFQF推广如果将焦点F1、F2换成证明对PM1=28、焦点弦的弦长公式:焦点弦的弦长公式:(1)对于椭圆,AB=(2)对于双曲线,分成两种情况:(1)若A、B在双曲线同一支上,(2)若A、B在双曲线不同支上,(3)对于抛物线,AB=29、题型:AF性质已知圆雉曲线ψ的离心率为e,过焦点F的弦AB与ψ的焦点所在的轴的夹角为θ,且AF=λ(1)当焦点F内分弦AB时,有e⋅cos设直线AB的斜率为k,则有:(1)e1+k2=1−λ1+λ(2)当焦点F外分弦AB时(此时曲线为双曲线),有e⋅cosθ=1+λ1(1)e1+k2=1+λ1−λ证明AF=λFB注(1)注意到θ是夹角,不是直线的倾斜角!(2)对于双曲线,要先判断弦AB和双曲线的位置关系,是交于单支还是双支;(3)上面的公式可能很多,但是,考试中,一般都是焦点在x轴的情况,且内分,因此,可以熟记公式e⋅而且分母的结构类似,便于记忆.至于其他的公式,可以在此公式的基础上,进行相应的修改即可.(4)如果可以预先知道λ和1的大小关系,可以先去掉公式中的绝对值符号.(5)当然了,如果记不住上面的公式,那就老老实实利用极坐标公式求解!!!个人并不推荐记忆这些公式!!30、原点为极点的极坐标系:在直角坐标系中,如果以原点为极点,极轴与x轴的正方向同向,建立极坐标系,根据极坐标和直角坐标系的转换关系:x=椭圆:x2双曲线:x2抛物线:y2此时,ρ的几何意义是:圆锥曲线的上的点到原点的距离.原点极坐标系的使用说明:特征条件,夹角是π2注原点极坐标系和三角函数的的定义是相通的,因此,解题时,也可以直接以三角函数定义的形式书写,具体参考例题.31、直线参数方程基础知识1.直线参数方程的标准式过点P0x0,y0,倾斜角为α的直线l的参数方程是:x=x0+t(1)设Px,y为直线上任意一点,参数t的几何意义是从点P0到点(1)数量上有:P0(2)方向上有:当点P在点P0的上方时,t>0;当点P在点P0的下方时,t<0;当点(2)若P1、P2为直线P[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!][说明:P1P2(3)若P1、P2、P3是直线上的点,所对应的参数分别为t1、t2、t(4)若P0为P1P(5)直线l上的点与对应的参数t是不是一对应关系?我们把直线l看作是实数轴,以直线l向上的方向为正方向,以定点P0为原点,以原坐标系的单位长为单位长,这样参数t便和这条实数轴上的点P2.直线参数方程的一般式过点P0x0,y0,斜率为其中,直线的方向向量为a,b,aa2+b2,b3.直线参数方程的标准式vs一般式(1)参数t的含义不同一般式x=x0+aty=y0+bt(2)距离(弦长)公式的区别正是因为参数t的含义不同,也造成了距离公式的不同!设点P1、P(1)如果用的标准式,则P1(2)如果用的一般式,则P1这对于初学直线参数方程的人来说,是一个很常见的易错点,因此,在解题之时,一定要先看清题目所给出的直线参数方程的形式,然后再选取相应的距离公式进行求解!分析很多时候,直线方程要和曲线方程联立,而参数式方程中的cosα,sinα但是,也不是绝对的,有时为了避免讨论斜率,还是用含有cosα一般情况下,如果涉及到与定点P0过定点P0x0,y0,且倾斜角为α的直线l的标准参数方程为:x=x0把(1)代入(2),整理得at2+bt+c=0,设A、B两点对应的参数的值分别为t1、t2,则:Δ>0t1+32、三角形和四边形的坐标面积公式:三角形在△ABC中,已知AB=xS四边形在四边形ABCD中,AC和BD是对角线,且AC=S其中θ为AC与BD的夹角.[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!]例&33:(2020年高考数学课标I卷)已知A、B分别为椭圆E:x2a2+y2=1a>1的左、右顶点,例&34:(2021.全国乙卷)已知抛物线C:y2=E的另一交点为D.(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!]例&35:(2020年北京卷20)已知椭圆C:x2a2(I)求椭圆C的方程:(II)过点B−4,0的直线l交椭圆C于点M,N,Q.求PBBQ的值.例&36:(2021年高考全国乙卷理科)已知抛物线C:x2=2py+y(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,[脚踏实地才能仰望星空,不忘初心方能遇见更好的自己!]例37:(2021.全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点(1)求C,⊙(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A例&38:(2021新高考1卷)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1−17,0、F(1)求C的方程;(2)设点T在直线x=12上,过T的两条直线分别交C于A、B两点和P,Q两点,且TA例&39:(2021⋅新高考II)已知椭圆C的方程为x2a2+y(I)求椭圆C的方程;(II)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2x>0相切.证明:M,(1)证明:直线AB过定点。;(2)若以E0,52为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段例&41:(2017年高考数学新课标I卷)已知椭圆C:x2a2+y(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点,若直线P2A例&42:(2019年高考数学课标全国II卷)已知点A−2,0,B2,0,动点Mx,(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交(i)证明:△POG是直角三角形;(ii)求△高中数学解答题常考公式及答题模板专题六:导数说是fx0函数fx的一个极大值。记作yℝ1、概念:fx在点x0x0,就说是fx0函数f2、几何意义:极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小(1)“在”点x1,y1处的切线:i.并不意味着它在函数的整个